德國海德堡當地時間9月24日上午9時45分至10時30分（北京時間9月24日下午15時45分至16時30分），89歲的邁克爾·阿蒂亞（Sir Michael Francis Atiyah）爵士正在海德堡獎獲得者論壇上做關於黎曼猜想的宣講。據早先海德堡獎獲得者論壇的官方消息，邁克爾·阿蒂亞稱自己會給出一個“簡單”且“全新”的證明方法，同時他還透露自己的證明是基於馮·諾依曼（John von Neumann，1936）、希策布魯赫（Hirzebruch，1954）和狄拉克（Dirac，1928）的研究成果。
黎曼猜想一旦被證明，數學界將於“一夜間”新增1000多條定理
黎曼猜想被認為是數學史上最偉大的猜想，由德國著名數學家波恩哈德·黎曼在1859年提出。在這之後的159年裡，數學界一直沒有停止對它的探索，但迄今並未獲得顯著進展。
德國數學家戴維·希爾伯特在第二屆國際數學家大會上提出了20世紀數學家應當努力解決的23個數學問題，其中便包括黎曼假設。
現今克雷數學研究所懸賞的世界七大數學難題中也包括黎曼假設。
美國數學家蒙哥馬利還曾表示，如果有魔鬼答應讓數學家們用自己的靈魂來換取一個數學命題的證明，多數數學家想要換取的將會是黎曼猜想的證明。
海德堡獎獲得者論壇官方消息：邁克爾·阿蒂亞稱其證明了黎曼猜想
以下是邁克爾·阿蒂亞的黎曼猜想論文預印本全文：
阿蒂亞爵士宣佈證明了黎曼猜想！黎曼猜想是什麼？我們來一步步走近它。今天我們來研究一個很神奇的問題：全體自然數的和是多少？
愛好數學的小朋友也許聽到過這樣一種說法：全體自然數的和是-1/12，也就是說：
類似這種結論的式子還有好多，例如：
看起來，這似乎顯然是錯的，因為等號左邊應該是無窮大，而等號右邊是個確定的數字，兩邊不應該相等。那麼為什麼會有這樣的等式出現呢？
1
歐拉級數
為了理解這個等式，我們還是需要從數學家歐拉說起。歐拉曾經研究過這樣一個級數求和的問題：
這裡的ξ讀作“可塞”，是一個希臘字母，而Σ讀作“西格瑪”，也是一個希臘字母，表示求和的意思。這個級數是指：把全體自然數的s次冪取倒數，再把它們求和。
這個級數有什麼奇妙的性質呢？
我們首先來看s=1的情況：
這個級數稱為調和級數，調和級數有無窮多項，但是越往後越小。如果最後無窮多項加起來是一個有限的數，就稱為級數收斂；如果最後加起來是無窮大，就稱為級數發散。大家知道這個級數是收斂還是發散的嗎？
在中世紀的時候，人們已經證明了這個級數是發散的，方法很簡單：放縮。我們可以把1/3變小為1/4， 把1/5、1/6、1/7、1/8變小為1/8，再把1/9、…、1/16都變小為1/16，以此類推，這樣整個級數就縮小了。縮小後的級數有兩個1/4，加起來是1/2；有4個1/8，加起來是1/2，有8個1/16，加起來是1/2….這樣一來，新的級數一定會增長到無窮大，而調和級數比縮小後的級數大，調和級數自然是發散的。
我們再來看s>1的情況。例如s=2，這時級數變為
即全體自然數平方的倒數和。它的提出是在1644年，而最終在1735年由歐拉解決，當時歐拉只有28歲。為了紀念歐拉，人們把這個問題稱為巴塞爾問題，巴塞爾是瑞士第三大城市，歐拉的故鄉。
歐拉指出：這個級數的和是一個很奇怪的數字，與圓周率有關。
不僅如此，歐拉以及後來的數學家證明了：只要s>1，級數ξ(s)總是收斂的，也就是雖然項數有無窮多項，但是越往後數字越小，最後加起來是一個確定的數。
如果s<1，情況又是如何呢？有讀者可能已經感覺到了：s<1的時候級數ξ(s)會比調和級數更大，調和級數都發散，那麼s<1的時候自然更加的發散了！這是一個合乎情理的推理，但是常人不能理解的歐拉居然算出了s=-1,-2和-3時的級數和。
我們以s=-1為例。此時級數變為
為了計算這個和，歐拉首先計算了一個函數的冪級數展開式：
這個展開式的計算並不難，類似於等比數列求和的方法，我們後面會給大家介紹。從這個式子出發，歐拉把x=-1代入其中，得到
這個式子已經非常奇怪了，因為按照我們理解，等號右邊應該如果兩項兩項的看，應該一直在增大才對，怎麼會變為-1/4呢。
歐拉繼續對這個內容進行操作：他把右邊所有負的項放在一起，又進行了填補：
這樣一來，就得到了全體自然數的和：
歐拉用類似的辦法計算了全體自然數的平方和為零，全體自然數的立方和為1/120。
2
解析延拓
一邊是越來越大的發散級數，一邊是一個確定的數字，看似非常不合理。問題出在哪裡呢？其實，歐拉的問題在於沒有考慮收斂性的問題，也就是他將一個不在定義域範圍內的數字代入了表達式。
為了能夠理解這個問題，我們必須首先弄清楚一個概念：解析延拓。
如果有一個函數f(x), 它的定義域是A1，另外一個函數g(x)，定義域是A2，A1完全包含於A2，並且在A1的範圍內，f(x)與g(x)完全相同，那麼我們可以說g(x)是f(x)的延拓。我們用一個圖表示出來：
有一個函數f(x)，它只在x取0.5到1之間的值時候有意義，超過了這個範圍就沒有意義了。另一個函數g(x)在x屬於全體實數的時候都有意義，並且在0.5到1之間，兩個函數完全重合，那麼我們就稱g(x)是f(x)的延拓。
如果僅僅是這個條件，那麼延拓的方法有無窮多種，因為我們可以在f(x)的兩邊隨意畫出各種各樣的曲線。但是人們規定了一個更強的條件：如果延拓之前的函數處處可導，延拓之後的函數也是處處可導，那麼這種延拓稱為解析延拓。如果可導這個概念不好理解，我們大致可以理解成“非常光滑”，我們常見的函數如三角函數，指數函數，對數函數等，都滿足這個性質。雖然解析延拓的真正含義比這個複雜，但基本內涵就是這樣。人們在研究過程中發現了一個結論：如果給出了一個解析函數，那麼它的延拓方法是唯一的。
我們不妨來舉一個例子：
這是一個等比數列求和，只有在-1 再把這個數列與第一個數列做差，得到 這樣我們就得到了 我們可以令 顯然，如果單獨看g(x)，它的定義域範圍是x不等於1，比f(x)的定義域範圍大。而且在-1到1之間，兩個函數是完全重合的，這兩個函數都是解析函數，於是我們就可以說g(x)是f(x)的解析延拓。 如果我們把x=1/2代入，那麼無論代入f(x)還是代入g(x)，二者的結果都是相同的，因為1/2在兩個函數的定義域範圍裡。因此 如果我們把x=2代入，那麼f(x)就沒有意義了，g(x)還是有意義的，顯然此時二者不能相等。如果我們強硬的代入x=2並且還認為二者相等，就會得到： 這樣荒謬的結論。 我們打一個比方：很多年前人和猴子都是一樣的祖先，後來人進化了，猴子沒有進化，相當於人進行了解析延拓。人進入課堂學習數學，就可以成為一個數學家，這必然是沒有錯，那麼有人說猴子進入課堂也能成為數學家，這顯然是不對的。 歐拉當時就沒有搞清楚這個概念，所以得出了全體自然數的和等於-1/12這樣奇怪的結果。 
3
黎曼ζ函數
歐拉在1740年研究的這個問題，在一百年以後由德國數學家黎曼解決了。
黎曼對歐拉研究的數列
進行了解析延拓。歐拉研究的這個函數只有在s是實數，並且s>1時才是收斂的，但是如果進行解析延拓，那麼它就可以在s是不等於1的全體複數的時候都有意義。實數對應數軸上的點，而複數對應複平面內的點。關於複數的含義和計算方法，請移步我的另一篇文章：最美公式——歐拉恆等式閱讀。
世界上最美的數學公式：歐拉等式
黎曼函數有許多種形式，其中一種是：當s是一個複數且s不等於1時
由於s是一個複數，而函數的結果也是一個複數，它具有實部和虛部，所以我們要畫出這個函數圖像必須採用一種比較奇怪的方法：定義域著色。大概的意思是用不同的顏色表示一個複數的模和幅角。
這樣畫出的黎曼函數長這個樣子：
神奇的是，當s取-1時，黎曼函數的值ζ(-1)果然等於-1/12，當s取-2時，黎曼函數的值ζ(-2)果然等於0，當s取-3時，黎曼函數的值ζ(-3)果然等於1/120。也就是說，一百年前的歐拉雖然沒有搞清楚解析延拓的概念，但是卻得出了與解析延拓後完全相同的結果。只是這個結果並不能用自然數的和、平方和和立方和表示而已。歐拉果然就是歐拉。
說到這裡，大家是不是明白了？1+2+3+4+…=-1/12並不是合理的，只是左邊級數進行了解析延拓之後得到了右側，而左側級數此時已經沒有意義了。黎曼函數的意義不僅如此，它的應用非常廣泛，尤其在質數領域，黎曼函數具有非常重要的意義。著名的黎曼猜想就是關於黎曼函數的猜想。
本文綜合整理自：澎湃新聞、李永樂老師
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