德国海德堡当地时间9月24日上午9时45分至10时30分（北京时间9月24日下午15时45分至16时30分），89岁的迈克尔·阿蒂亚（Sir Michael Francis Atiyah）爵士正在海德堡奖获得者论坛上做关于黎曼猜想的宣讲。据早先海德堡奖获得者论坛的官方消息，迈克尔·阿蒂亚称自己会给出一个“简单”且“全新”的证明方法，同时他还透露自己的证明是基于冯·诺依曼（John von Neumann，1936）、希策布鲁赫（Hirzebruch，1954）和狄拉克（Dirac，1928）的研究成果。
黎曼猜想一旦被证明，数学界将于“一夜间”新增1000多条定理
黎曼猜想被认为是数学史上最伟大的猜想，由德国著名数学家波恩哈德·黎曼在1859年提出。在这之后的159年里，数学界一直没有停止对它的探索，但迄今并未获得显著进展。
德国数学家戴维·希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，其中便包括黎曼假设。
现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼假设。
美国数学家蒙哥马利还曾表示，如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明，多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。
海德堡奖获得者论坛官方消息：迈克尔·阿蒂亚称其证明了黎曼猜想
以下是迈克尔·阿蒂亚的黎曼猜想论文预印本全文：
阿蒂亚爵士宣布证明了黎曼猜想！黎曼猜想是什么？我们来一步步走近它。今天我们来研究一个很神奇的问题：全体自然数的和是多少？
爱好数学的小朋友也许听到过这样一种说法：全体自然数的和是-1/12，也就是说：
类似这种结论的式子还有好多，例如：
看起来，这似乎显然是错的，因为等号左边应该是无穷大，而等号右边是个确定的数字，两边不应该相等。那么为什么会有这样的等式出现呢？
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欧拉级数
为了理解这个等式，我们还是需要从数学家欧拉说起。欧拉曾经研究过这样一个级数求和的问题：
这里的ξ读作“可塞”，是一个希腊字母，而Σ读作“西格玛”，也是一个希腊字母，表示求和的意思。这个级数是指：把全体自然数的s次幂取倒数，再把它们求和。
这个级数有什么奇妙的性质呢？
我们首先来看s=1的情况：
这个级数称为调和级数，调和级数有无穷多项，但是越往后越小。如果最后无穷多项加起来是一个有限的数，就称为级数收敛；如果最后加起来是无穷大，就称为级数发散。大家知道这个级数是收敛还是发散的吗？
在中世纪的时候，人们已经证明了这个级数是发散的，方法很简单：放缩。我们可以把1/3变小为1/4， 把1/5、1/6、1/7、1/8变小为1/8，再把1/9、…、1/16都变小为1/16，以此类推，这样整个级数就缩小了。缩小后的级数有两个1/4，加起来是1/2；有4个1/8，加起来是1/2，有8个1/16，加起来是1/2….这样一来，新的级数一定会增长到无穷大，而调和级数比缩小后的级数大，调和级数自然是发散的。
我们再来看s>1的情况。例如s=2，这时级数变为
即全体自然数平方的倒数和。它的提出是在1644年，而最终在1735年由欧拉解决，当时欧拉只有28岁。为了纪念欧拉，人们把这个问题称为巴塞尔问题，巴塞尔是瑞士第三大城市，欧拉的故乡。
欧拉指出：这个级数的和是一个很奇怪的数字，与圆周率有关。
不仅如此，欧拉以及后来的数学家证明了：只要s>1，级数ξ(s)总是收敛的，也就是虽然项数有无穷多项，但是越往后数字越小，最后加起来是一个确定的数。
如果s<1，情况又是如何呢？有读者可能已经感觉到了：s<1的时候级数ξ(s)会比调和级数更大，调和级数都发散，那么s<1的时候自然更加的发散了！这是一个合乎情理的推理，但是常人不能理解的欧拉居然算出了s=-1,-2和-3时的级数和。
我们以s=-1为例。此时级数变为
为了计算这个和，欧拉首先计算了一个函数的幂级数展开式：
这个展开式的计算并不难，类似于等比数列求和的方法，我们后面会给大家介绍。从这个式子出发，欧拉把x=-1代入其中，得到
这个式子已经非常奇怪了，因为按照我们理解，等号右边应该如果两项两项的看，应该一直在增大才对，怎么会变为-1/4呢。
欧拉继续对这个内容进行操作：他把右边所有负的项放在一起，又进行了填补：
这样一来，就得到了全体自然数的和：
欧拉用类似的办法计算了全体自然数的平方和为零，全体自然数的立方和为1/120。
2
解析延拓
一边是越来越大的发散级数，一边是一个确定的数字，看似非常不合理。问题出在哪里呢？其实，欧拉的问题在于没有考虑收敛性的问题，也就是他将一个不在定义域范围内的数字代入了表达式。
为了能够理解这个问题，我们必须首先弄清楚一个概念：解析延拓。
如果有一个函数f(x), 它的定义域是A1，另外一个函数g(x)，定义域是A2，A1完全包含于A2，并且在A1的范围内，f(x)与g(x)完全相同，那么我们可以说g(x)是f(x)的延拓。我们用一个图表示出来：
有一个函数f(x)，它只在x取0.5到1之间的值时候有意义，超过了这个范围就没有意义了。另一个函数g(x)在x属于全体实数的时候都有意义，并且在0.5到1之间，两个函数完全重合，那么我们就称g(x)是f(x)的延拓。
如果仅仅是这个条件，那么延拓的方法有无穷多种，因为我们可以在f(x)的两边随意画出各种各样的曲线。但是人们规定了一个更强的条件：如果延拓之前的函数处处可导，延拓之后的函数也是处处可导，那么这种延拓称为解析延拓。如果可导这个概念不好理解，我们大致可以理解成“非常光滑”，我们常见的函数如三角函数，指数函数，对数函数等，都满足这个性质。虽然解析延拓的真正含义比这个复杂，但基本内涵就是这样。人们在研究过程中发现了一个结论：如果给出了一个解析函数，那么它的延拓方法是唯一的。
我们不妨来举一个例子：
这是一个等比数列求和，只有在-1 再把这个数列与第一个数列做差，得到 这样我们就得到了 我们可以令 显然，如果单独看g(x)，它的定义域范围是x不等于1，比f(x)的定义域范围大。而且在-1到1之间，两个函数是完全重合的，这两个函数都是解析函数，于是我们就可以说g(x)是f(x)的解析延拓。 如果我们把x=1/2代入，那么无论代入f(x)还是代入g(x)，二者的结果都是相同的，因为1/2在两个函数的定义域范围里。因此 如果我们把x=2代入，那么f(x)就没有意义了，g(x)还是有意义的，显然此时二者不能相等。如果我们强硬的代入x=2并且还认为二者相等，就会得到： 这样荒谬的结论。 我们打一个比方：很多年前人和猴子都是一样的祖先，后来人进化了，猴子没有进化，相当于人进行了解析延拓。人进入课堂学习数学，就可以成为一个数学家，这必然是没有错，那么有人说猴子进入课堂也能成为数学家，这显然是不对的。 欧拉当时就没有搞清楚这个概念，所以得出了全体自然数的和等于-1/12这样奇怪的结果。 
3
黎曼ζ函数
欧拉在1740年研究的这个问题，在一百年以后由德国数学家黎曼解决了。
黎曼对欧拉研究的数列
进行了解析延拓。欧拉研究的这个函数只有在s是实数，并且s>1时才是收敛的，但是如果进行解析延拓，那么它就可以在s是不等于1的全体复数的时候都有意义。实数对应数轴上的点，而复数对应复平面内的点。关于复数的含义和计算方法，请移步我的另一篇文章：最美公式——欧拉恒等式阅读。
世界上最美的数学公式：欧拉等式
黎曼函数有许多种形式，其中一种是：当s是一个复数且s不等于1时
由于s是一个复数，而函数的结果也是一个复数，它具有实部和虚部，所以我们要画出这个函数图像必须采用一种比较奇怪的方法：定义域着色。大概的意思是用不同的颜色表示一个复数的模和幅角。
这样画出的黎曼函数长这个样子：
神奇的是，当s取-1时，黎曼函数的值ζ(-1)果然等于-1/12，当s取-2时，黎曼函数的值ζ(-2)果然等于0，当s取-3时，黎曼函数的值ζ(-3)果然等于1/120。也就是说，一百年前的欧拉虽然没有搞清楚解析延拓的概念，但是却得出了与解析延拓后完全相同的结果。只是这个结果并不能用自然数的和、平方和和立方和表示而已。欧拉果然就是欧拉。
说到这里，大家是不是明白了？1+2+3+4+…=-1/12并不是合理的，只是左边级数进行了解析延拓之后得到了右侧，而左侧级数此时已经没有意义了。黎曼函数的意义不仅如此，它的应用非常广泛，尤其在质数领域，黎曼函数具有非常重要的意义。著名的黎曼猜想就是关于黎曼函数的猜想。
本文综合整理自：澎湃新闻、李永乐老师
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