朝雲伴霧
在量子力學的發展史上，當人們試圖寫出電子運動所需滿足的波動方程的時候，狹義相對論已經提出來了，因此符合相對論協變性，或與狹義相對論不衝突，是寫出正確的電子方程的必要條件。
但這些努力都不成功。比較典型的是“克萊因-戈登方程”：
這個方程其實就是把相對論的“能量-動量公式”
裡的E和p分別用能量算符和動量算符替代得到的。但如果把這個方程看做是電子運動需滿足的波動方程，則會碰到如下兩個困難：（1）負幾率問題；（2）負能量問題。不過後來這個方程在量子場論興起後，獲得了新的意義，被認為是描述標量場（一個分量）的方程。
在量子力學中取得成功的第一個波動方程反而是一個完全不考慮相對論效應的方程——（單分量）薛定諤方程，它算出了氫原子的玻爾能級。
但用薛定諤方程來研究原子物理的問題的時候，還是會覺得不完美，比如相對論效應如何考慮，比如自旋如何理解等。
原子物理的問題顯然與電磁學相關，其核心問題是電子在原子核產生的電磁場中運動，而狹義相對論也是電磁理論發展的自然結果（電磁學是否滿足伽利略協變性），這提示我們原子物理，與電磁學，及狹義相對論有很緊密的聯繫。
根據電磁學，我們除了可以用電場（E），磁場（B）來描述物理問題外，我們還可以引入A（磁矢勢），φ（電標勢）來描述，為了符合相對論協變性，我們把它們統一寫為Aμ=(A0, A1, A2, A3)。
在這種記號下電子在原子核中的勢能V就是eA0，並且我們需要在做正則量子化的時候，把電磁場的動量也考慮進去。這樣電子在原子中的哈密頓量就可以寫為：
對應波動方程是：
這個波動方程是考慮了電磁場之後電子滿足的薛定諤方程。假設Aμ=0，就是非相對論的自由電子滿足的波動方程。
在非相對論量子力學中，我們是通過實驗直接引入自旋概念的，並認為自旋角動量與磁矩之間的關係是：
這裡gs是自旋的朗德因子，與電子作軌道運動導致的朗德因子gl=1不同，這裡gs=2。
自旋在磁場B中的能量是塞曼能，對應
這裡形式上e取正，並引入泡利矩陣σ來描述自旋S，
考慮了自旋後，自由電子在非相對論情形下的哈密度算符是，
考慮電磁場後，
在這個計算中考慮到A與動量算符p不對易，化簡可得：
這裡利用了電磁學裡磁場與磁矢勢A之間的關係：
以上，我們由更基礎的物理原理出發推出電子的朗德因子gs是2。
利用泡利矩陣，我們把相對論性能量-動量關係改寫為能描述自旋1/2的矩陣形式：
進一步改寫成算符的形式：
這裡x0=ct，φ表示兩分量的波函數。
假設：
這意味著：
以上兩式分別相加，相減：
在此基礎上定義一個新的四分量波函數ψ，
滿足，
這就是自由電子的狄拉克方程，引入γ矩陣：
改寫成常見的形式：
考慮不含時的量子力學問題，得到定態狄拉克方程：
這裡α和β是兩個4乘4的矩陣，
考慮電子在電磁場中運動，
這裡eA0相當於前式中的V（電子在電場中的靜電勢能），上式的特點是兩分量波函數ψA和ψB是混合在一起的，單獨某一個無法歸一化。
我們可以在形式上把ψB消掉，
我們現在的任務是在非相對論極限下，把狄拉克方程化簡，比如在非相對論情形下，我們說的能量其實是相對論的能量減去電子的靜能量，並且等於動能加勢能。
這意味著：
忽略(v/c)平方項，得到：
上式整理簡化後是：
這裡就只剩下一個二分量的波函數ψA了，同時上式就是考慮電磁場後的定態薛定諤方程。
即使是在非相對論極限下（A=0，E=mc^2），仍然有一部分ψA變成了ψB，
歸一條件：
引入新的兩分量波函數Ψ，
使得：
考慮磁矢勢A=0，但電標勢A0不為0，ψA滿足的方程是：
在上式中我們考慮了相對論(v/c)^2項的修正，但ψA的問題是其有一部分會變為ψB，為了避免這個問題，我們考慮Ψ，這裡面是包含了ψB的成分的，並且已經在形式上歸一化，其滿足的波動方程是：
我們現在把上式展開，並忽略掉其中比(v/c)^2更高階的貢獻（這部分計算較繁瑣，過程略去），得到：
由於在開始的時候假設A=0，所以上式中沒有出現塞曼項，但這裡出現了自旋軌道耦合項（上式中的第四項），上式中的第三項可以從相對論能量動量公式的展開中直接看出來，最後一項是達爾文項，與原子中的電荷分佈有關。
現在重點看一下自旋軌道耦合項，
上式中的E表示電場強度，
代回自旋軌道耦合項：
就是常見的自旋軌道耦合項的表達形式。
小結一下，狄拉克方程是一個四分量的波動方程，在非相對論極限下，狄拉克方程退化為一個二分量的波動方程，對應包含塞曼項的薛定諤方程，並且會自然地得到電子的自旋朗德因子是2，在保留相對論效應(v/c)平方項的近似下，我們得到了包含自旋軌道耦合項的薛定諤方程。
物理思維
薛定諤方程和狄拉克方程都是量子力學框架下描述微觀粒子運動規律的基本方程。
兩者的區別在於，薛定諤方程本質上源自於光譜學和分析力學的結合，是描述微觀粒子的量子力學基本方程。狄拉克方程是薛定諤方程在考慮相對論效應下的新形式。
在量子力學發展初期，相對論的發展也是非常迅速的。那個時代提出的物理理論，最“時髦”的就是總是會加一個所謂“相對論項”，強行去考慮一個相對論情形下的物體運動規律，似乎這才代表一個完備的理論。具體例子有很多，其中最鼎鼎大名的就是薛定諤方程的相對論形式——狄拉克方程。
也許狄拉克是無心插柳，但是不得不佩服他的遠見卓識。把薛定諤方程改寫成相對論形式後，就會發現微觀粒子可以進行一些重新的分類。首先，根據量子力學基本原理，可以分為玻色子和費米子兩大類，取決於粒子的自旋是整數還是半整數。其次，根據狄拉克的方程，費米子還可以可以出現反粒子，如果一個費米子的反粒子和它自身不同，那麼就是狄拉克費米子，如果一個費米子的反粒子和它自身相同，那就是馬約拉納費米子。一個無質量的狄拉克費米子，可以是有手性的外爾費米子，即左手性和右手性。
在科學研究中，粒子和反粒子的存在已經被實驗證實。例如電子的反粒子就是正電子，它和電子的質量一樣，但是帶一個單元的正電荷。而尋找粒子和反粒子都是自身的馬約拉納費米子則是物理學研究的熱點方向之一。
飛賊克斯和康德馬特
施鬱
（復旦大學物理學系教授）
筆者認為，薛定諤方程有兩個含義，一個是任何量子態所滿足的隨時間演化的方程，也就是說，量子態隨時間的變化率，乘以虛數單位再乘以普朗克常數，等於哈密頓量作用在這個量子態上；另一個含義特指非相對論系統波函數隨時間的變化率，乘以虛數單位再乘以普朗克常數，等於它的哈密頓量，也就是動能算符加上勢能，作用在這個波函數上。後者是前者的一個具體情況。
狄拉克方程也有兩個含義。一是在現代量子場論中，狄拉克方程是自旋1/2的費米子場算符所服從的方程。這樣，它就與薛定諤方程就沒有特別的關係。 另一個含義是，在相對論量子力學中，狄拉克方程是自旋1/2的相對論費米子的波函數所滿足的方程，這裡的波函數有4個分量。簡單地說，是波函數的每個分量隨時間的變化率，以及隨3個空間分量的變化率，所組成的4個方程，一般統一寫成一個矩陣方程。
從狄拉克方程的第二種含義，即波函數的相對論方程，考慮低速極限，也就是非相對論極限，就可以推導出非相對論的波函數演化方程，也就是上面我所說的薛定諤方程的第二種含義。
另外，通過狄拉克方程，還可以預言存在負能量的狀態。歷史上，狄拉克就是這樣預言了正電子的存在。
但是狄拉克方程詮釋為相對論的波動方程已經過時了。更嚴格的詮釋是將它看成場算符所滿足的方程。
注意這種把兩個方程都明確地說成有兩種含義，只是本人的表述方式，你在教科書上看不到。
