傳說全世界不到20人能看懂的論文，終於被找出了漏洞

本文轉自科研圈

2012 年，京都大學數學家望月新一發布了幾篇論文，聲稱證明了 ABC 猜想。這些論文長達五百多頁，論述晦澀難懂，坊間傳言能完全讀懂的不到二十個人。

近六年過去了，數學界終於漸漸意識到，許多人都對它有相似的疑慮，但又都希望別人先提出來。

圖片來源：Klaus Kremmerz for Quanta Magazine

來源

撰文 Erica Klarreich

翻譯 戚譯引

審校 孫英特

在 9 月 20 日發佈的一篇論文裡，波恩大學的彼得·舒爾茨（Peter Scholze）和法蘭克福大學的雅各布·斯蒂克斯（Jakob Stix）稱，望月新一（Shinichi Mochizuki）發佈的系列論文中有一個“嚴重的，無法解決的錯誤”，用斯蒂克斯的話說。望月新一是京都大學的一名極富才華的數學家，在 2012 年，他在論文中嘗試證明ABC猜想，這是數論中最深奧的問題之一。

~ 望月新一關於ABC猜想的論文 ~

Mochizuki, Shinichi (2011), "Inter-universal Teichmüller Theory: A Progress Report", Development of Galois–Teichmüller Theory and Anabelian Geometry. The 3rd Mathematical Society of Japan, Seasonal Institute.

Mochizuki, Shinichi (2012a), Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theaters

Mochizuki, Shinichi (2012b), Inter-universal Teichmuller Theory II: Hodge–Arakelov-theoretic Evaluation

Mochizuki, Shinichi (2012c), Inter-universal Teichmuller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice

Mochizuki, Shinichi (2012d), Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations

儘管數論學家召開了多場會議來討論望月的證明，他們仍然難以理解它的深層思想。那些論文總計五百多頁，論述極為晦澀難懂，而且引用了另外五百多頁的望月先前的工作。斯坦福大學數學家布萊恩·康拉德（Brian Conrad）形容研讀這些論文有“一種無限後退的感覺”。

諾丁漢大學的伊萬·費森科（Ivan Fesenko）在一封郵件中寫道，約 12 到 18 名深入研究過這個證明的數學家認為它是對的。但康拉在去年十二月的一次博客討論中評論，只有“跟望月在同一條軌道”的數學家為證明的準確性作出了擔保，“就算是私下討論，也沒有其他人願意說他們肯定這個證明是完備的”。

不過，在十二月的一篇博客文章中，芝加哥大學的法蘭克·卡里加利（Frank Calegari）指出：“數學家很不願意指出望月的論證中有問題，因為他們不能指出任何確定性的錯誤。”

這個局面現在有了變化。舒爾茨和斯蒂克斯在文章中指出，在望月新一的四篇論文中的第三篇，“推論 3.12”的證明的末尾處的一行論證有根本缺陷。這條推論對望月新一的 ABC 猜想的證明極為重要。

舒爾茨說：“我認為 ABC 猜想仍然是公開問題，每個人仍然有機會證明它。”

圖片來源：Nyani Quarmyne for Quanta Magazine

舒爾茨和斯蒂克斯的結論的理論依據不僅來自他們自己對論文的研究，還來自於一次為期一週的訪問。三月，他們到京都大學訪問了望月及同事星裕一郎（Yuichiro Hoshi），討論了這個證明。舒爾茨說，這次訪問發揮了巨大的作用，讓他和斯蒂克斯能夠將反對意見進一步提煉出精華。兩人在報告中寫道，他們“得出結論，（ABC 猜想）沒有被證明“。

但是，那次會面導致了一個令人不滿的奇特結果：望月無法說服舒爾茨和斯蒂克斯，他的論證是可靠的；而另外兩人也無法說服望月新一，他的論證並不可靠。望月新一已經將舒爾茨和斯蒂克斯的文章貼到了自己的網站上，並附上了幾篇自己的文章作為反駁。（本文作者曾邀請望月和星作出評論，但兩人沒有回覆。）

在反駁中，望月認為舒爾茨和斯蒂克斯的批評是源自對他的工作的“某些基本的誤解”。他寫道，他們的“負面姿態”不能說明（他的理論中）任何缺陷的存在。

正如望月新一的聲譽讓數學界將他的工作視為證明 ABC 猜想的一次嚴肅的嘗試，舒爾茨和斯蒂克斯的地位保證了數學界會關注他們所說的內容。年僅三十歲的舒爾茨在這個領域中已經聲名鵲起，今年八月，他獲得了數學界的最高榮譽菲爾茲獎。而斯蒂克斯是望月的研究領域——非阿貝爾幾何學（anabelian geometry）中的專家。

康拉德說：“彼得和雅各布都是極其謹慎而深思熟慮的數學家，他們的任何顧慮……絕對值得被嚴肅對待。”

膠著點

康拉德將 ABC 猜想稱為“數論中最傑出的猜想之一”，它始於一個你能想到的最簡單的問題：a + b = c。設 a、b、c 為正整數，且沒有任何公共的素數因子——例如，我們可以考慮 8 + 9 = 17，或 5 + 16 = 21；但 6 + 9 = 15 不符合條件，因為6、9 和 15 都能被 3 整除。

給定這樣的一個方程，然後考慮這三個數字所有的素因數。例如，對 5 + 16 = 21，我們的質因數是 5、3、2、7。將這些數字相乘，得到 210，這個數字比原先的等式中任何一個數字都要大得多。相比之下，對等式 5 + 27 = 32，其質因數為 5、3 和 2，它們的乘積為 30，比原先的等式中的 32 要小。這個乘積之所以變得很小，是因為 27 和 32 是由較小的素因數（分別為 3 和 2）多次乘積得到。

如果你開始探索其他的 ABC 組合，你會發現第二種情形極其罕見。例如，從 1 到 100 之間，你能得到 3044 個不同的數字組合，而其中只有 7 個組合的質數乘積小於 c。這種組合極少出現。ABC 猜想最初在上世紀八十年代被提出，對這個直覺判斷進行了描述。

具體而言，回到 5 + 27 = 32 的例子中，32 要大於 30，但只比它大一點點。它小於 30

牛津大學的金明迥（Minhyong Kim）說：“ABC 猜想是一個關於乘法和加法的基本命題。”而正是這樣的命題，“讓你感覺彷彿正在揭開一個你從未見過的數字系統的某種非常基礎的結構”。

而且，a + b = c 方程的簡潔意味著大量其他的問題都落入了它的範圍之中。例如，費馬大定理描述形式為 xⁿ+ yⁿ= zⁿ 的方程，而卡特蘭猜想（Catalan's conjecture）認為 8 和 9 是僅有的兩個連續的完全冪數（因為 8 = 2³，9 = 3²），它涉及到方程 x^m+ 1 = yⁿ。而 ABC 猜想將以特定形式將對這兩個定理提出新的證明，並解決大量與其相關的公開問題。

雅各布·斯蒂克斯是非阿貝爾幾何領域的專家，這正是望月工作的領域。圖片來源：MFO

哥倫比亞大學的多利安·戈德菲爾德（Dorian Goldfeld）曾寫道，這個猜想“彷彿永遠處在已知與未知的邊界之上”。

ABC 猜想的證明將帶來極其豐富的成果，這使得數論學家相信證明這一猜想很可能極其困難。因此，當 2012 年有傳言稱望月已經給出了證明，許多數論學家一頭扎進了他的工作中，卻被陌生的語言和不同尋常的表達方法弄得一頭霧水。定義綿延好幾頁，接下來是命題同樣冗長的定理，而他的證明基本上只說：

卡里加利在十二月的博文中寫道：“每次我聽到一個專家（私底下）對望月的論文進行分析，報告都令人厭煩地相似：大量的細節，然後是一道未被證明的結論的懸崖。”

舒爾茨是論文的早期讀者之一。他以能夠快速深度吸收數學知識聞名，走得比許多數論學家都要遠；在論文發佈之後不久，他便讀完了四篇主要的論文，他稱之為“艱難的閱讀”。舒爾茨對冗長的定理和簡短的證明感到困惑，他覺得這有效但不夠充分。他後來寫道，在中間的兩篇文章裡，“似乎並沒有發生什麼”。

隨後，舒爾茨轉向第三篇論文中的推論 3.12。數學家通常用“推論“（corollary）一詞表示之前的重要定理的次級結論。但是，對於望月的推論 3.12，數學家們同意這是 ABC 猜想證明的核心。卡里加利寫道，沒有它“就根本沒有證明”，“那是一個關鍵步驟”。

這條推論是中間兩篇論文中唯一一條證明過程超過幾行的定理——足足有九頁。舒爾茨在閱讀過程中發現，有一個地方他完全不能跟上邏輯。

舒爾茨當時只有 24 歲，他相信這個證明過程有缺陷。但他大多數時候沒有參與關於論文的討論，只在被直接詢問意見的時候作出回答。儘管如此，他認為其他數學家或許會在論文中找到被他忽略的重要思想。或者，他們也許最終會作出和他一樣的結論。他認為，無論以哪種方式，數學界肯定能找到點什麼。

埃舍爾的階梯

與此同時，其他數學家正在與這些論文艱苦搏鬥。2015 年末，一場討論望月工作的會議在牛津大學進行，許多人對此滿懷希望。但是，康拉德在會議之後不久發表的一篇報告中寫道，當幾個與望月合作密切的學者試圖描述證明的核心思想的時候，聽眾彷彿遇到了“一團濃霧”。他寫道：“那些理解了這項工作的人需要更好地向算術幾何（代數幾何的一個分支）學家解釋它為何有效”。

在康拉德的帖子發佈之後幾天內，就有三位數學家分別主動郵件聯繫了他（其中一位就是舒爾茨），他們都提到了同一件事：他們都閱讀和理解了那些論文，直到遇到了某個點。

金也從另一位數學家越川皓永（Teruhisa Koshikawa，現任職於京都大學）那裡聽到了相似的對推論 3.12 的質疑。而斯蒂克斯也被卡在了同一個地方。漸漸地，多位數論學家開始意識到這個推論是一個死結，但他們仍不明確到底是這個論證有漏洞，還是望月需要更好地解釋他的論證。

隨後，2017 年末有謠言稱望月的論文已被接受，即將發表，這令許多數論學家大驚失色。望月本人就是相關期刊《數學科學研究所公刊》（Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences，簡稱PRIMS）的主編，這個安排被卡里加利稱為“糟糕的決策”（不過編輯通常會避免讓自己陷於這樣的境地）。不過相比之下，許多數論學家更關心的是這些論文是否仍然如此難以閱讀——在他們看來。

在 2015 年的一場討論他的工作的學術會議上，望月新一出現在視頻中。圖片來源：Philipp Ammon for Quanta Magazine

芝加哥大學的馬修·艾默頓（Matthew Emerton）寫道：“沒有一個聲稱讀懂了這些論證的專家成功向（為數眾多的）其他仍舊一頭霧水的專家進行了解釋。”

對於，卡里加利在一篇博文中批評這樣的情況是“徹底的災難”，得到了眾多著名數論學家的一致贊同。“我們現在面臨著這個荒謬的情況，ABC 在京都成了一個定理，但是在其他任何地方都仍然是一個猜想”，卡里加利寫道。

PRIMS 很快對媒體作出回應，聲明這些論文實際上並沒有被接受。不過在此之前，舒爾茨決定公開他先前一段時間對數論學傢俬下討論的內容。他認為，圍繞這一證明的討論變得“過於社會化”：“每個人都在說這感覺不像一個證明，但是沒有人說出來，‘實際上證明中有一個地方沒人能看懂’。

因此，在卡里加利博文的評論區，舒爾茨留言稱自己“完全無法跟上推論 3.12 的證明中圖 3.8 之後的邏輯”。他補充，“那些聲稱理解了證明的數學家不願意承認，這個地方還缺點什麼。”

望月在京都大學的同事、菲爾茲獎得主森重文（Shigefumi Mori）給舒爾茨發送郵件，提議讓他和望月進行一次會面。舒爾茨聯繫了斯蒂克斯，三月，兩人來到京都，與望月和星談論了證明中的這道關卡。

在證明 ABC 猜想的嘗試中，望月將其轉換成一個關於橢圓曲線的問題，這是一種特殊的三次方程，有兩個變量 x 和 y。這個轉換過程很簡單，在望月的工作之前就已經廣為人知——只需要將每一個 ABC 方程與一條圖像與 x 軸相交於 a、b 和原點的橢圓曲線聯繫起來，但它能讓數學家探索橢圓曲線的豐富結構，從而將數論與幾何、微積分和其他領域聯繫起來。（同樣的轉換正是安德魯·威爾斯(Andrew Wiles) 1994 年證明費馬大定理的核心過程。）

隨後，證明 ABC 猜想就相當於證明橢圓曲線的兩個量值之間具備一定的不等關係。望月工作將這個不等關係進一步轉換成另一種形式，斯蒂克斯說，這可以被認為是對比兩個集合的體積量。推論 3.12 正是望月證明這個新的不等關係的過程，如果它成立，ABC 猜想就得到了證明。

正如舒爾茨和斯蒂克斯所描述的那樣，望月新一的證明中將兩個集合的體積量看作處在兩個不同的實數系的空間中，而這兩個空間可以看作是一個環上的六個不同的實數系空間中的一部分。並且其通過映射來解釋了每個空間和其環上的鄰域中的其它空間之間的相互關係。斯蒂克斯說，要想弄清楚集合的體積量之間的關係，就需要理解在每個不同的空間中的體積的測量標準之間的關係。

斯蒂克斯說：“如果兩個東西之間有不等關係，但是‘量尺’會因為你無法控制的一個因素而縮水，那麼你就對這個不等關係的實際意義失去了控制。”

舒爾茨和斯蒂克斯相信，正是論證中的這個關鍵點導致了錯誤。在望月的映射中，“量尺”互相之間是局部相容的。但是斯蒂克斯說，如果你沿著環面的不同方向前進，你最終會得到不同的測量標準。他說，這種情況就像是著名的埃舍爾階梯，你不停地向上走，卻總是來到比出發時更低的地方。

舒爾茨和斯蒂克斯稱，這種體積測量標準的不相容性意味著它所得出的不等關係建立在錯誤的量上面。而且他們表示，如果你作出調整，使得體積測量局部相容，那麼這種不等關係就毫無意義。

加利福尼亞大學的數學家基蘭·凱德拉雅（Kiran Kedlaya）曾深入研究過望月的論文，他認為舒爾茨和斯蒂克斯“識別出了一種使論證可能不成立的方式”，“所以，如果這個論證是正確的，它必須具備某種（與舒爾茨和斯蒂克斯所描述的）不一樣的、微妙得多的東西”。

望月反駁，那種微妙得多的東西正是證明所做的。他寫道，舒爾茨和斯蒂克斯犯了錯，任意將兩個不同的數學對象混為一談。他表示，當他對同事說明舒爾茨和斯蒂克斯的反對意見的本質時，他的描述“得到了驚人的一致反應，那就是震驚甚至不相信（有時還伴隨著大笑！），這表明可能發生了巨大的誤解”。

現在，數學家們得消化一下舒爾茨和斯蒂克斯的論證，還有望月的回應。但舒爾茨希望這個局面能與望月最初的一系列論文的遭遇有所不同，它不該停滯不前，因為他和斯蒂克斯的反駁的主旨並不高度技術性。他說，其他數論學家“應該完全能夠跟上這個星期我們和望月之間的討論”。

而望月的看法截然不同。在他看來，舒爾茨和斯蒂克斯的批評來自於“缺少足夠的時間來深入思考所討論的數學”，或許還伴隨著“一種對於用新方式思考熟悉的數學對象的深層的不適，或者說陌生感”。

金說，那些已經對望月的 ABC 猜想證明感到懷疑的數學家或許會將舒爾茨和斯蒂克斯的報告視為故事的結局。其他人或許會想要研讀新的報告，金自己就已經開始了這項活動。他在一封電子郵件中表示：“我覺得我得更仔細研究一番，才能作出判斷。”

在過去幾年中，許多數論學家已經放棄了試圖理解望月的論文。但如果望月和後來者能夠給出一個詳盡而自洽的解釋，說明為什麼舒爾茨和斯蒂克斯的理解過於簡化（假設它就是這樣），那麼“這可能將大大減少人們的疲憊感，或許還能讓人們更願意重新研究這個課題”，凱德拉雅說。

與此同時，舒爾茨表示：“我認為這不該被視為一個證明，除非望月能作出詳盡的修訂，並更好地解釋這個關鍵步驟。”他個人認為：“我真沒有發現什麼能讓我們離證明 ABC 猜想更接近的關鍵思想。”

金說，無論這場討論的結果是什麼，找出望月的論證中這個特殊的部分都有助於讓問題更加清晰。他說：“雅各布和彼得所做的工作是對數學界的一個重要貢獻。無論發生什麼，我很確信這些報告邁出了決定性的一步。”

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