前面的文章我們已經研究了人們是如何用五度相生律構造出7音階的過程，並知道這7個音分別是：{1, 1.125, 1.265625, 1.333, 1.5,1.6875, 1.8984375}，它們對應的音名是：{C, D, E, F, G, A, B}。後來人們不斷的改進音階的生成方式，並增加純八度音程內的音數，直到十二平均律這一黃金律制產生。今天我們就來研究7音階是如何演化為12音階的。
隨著製作工藝的不斷進步，樂器的音準越來越高，人們慢慢意識到五度相生律產生的7音階與理想曲線相比誤差實在是太大了。我們現在知道，當相鄰的音都為等比關係時，音階才最平滑。而原始7音階中的第3個音和第7個音看起來是那麼突兀，這樣構造出來的音樂確實不夠好聽。後來有人提出"純律"學說，但究竟是誰最早提出的至今還存在爭議。有人認為純律和五度相生律都是畢達哥拉斯提出或整理的，也有人認為純律在中國2400年前的戰國時代就已開始應用，還有人說是古希臘學者亞理斯托森努斯發明……不過可以肯定的是純律在2000多年前就已被人類所掌握。純律構造音階的方法與五度相生律不同，它是由純五度（2:3）和大三度（4:5）為素材確定7音階的律制。純率生成的7個音的頻率分別是：{f, 9f/8, 5f/4,4f/3, 3f/2, 5f/3, 15f/8}。確實比五度相生律的那些巨大的分數簡單多了，那他的平滑度怎麼樣呢？請觀察圖1。
圖1 五度相生律音階（藍），純律音階（綠）和理想音階（橙）對比
好是好點，不過就那麼一點點而已，而且還打破了五度相生律產生的內部協調性。此外7個音也開始顯得不夠用了，人們希望通過變調使得音樂更加豐富，看來還得繼續探索。
之前人們為了計算第7個音，就要計算2/3的5次冪，這對於2000多年前的計算水平來說確實有點難了。然而數學的發展又一次給音樂帶來了新生。人們通過計算發現，2/3的12次冪約為129.74634，約等於基準頻率f上面的第7個八度音的頻率f×28=128f，那麼可否繼續應用五度相生律再產生一些音呢？看下錶：
由這些倍率產生的12音階為（用倍率除以它下面的第一個2n而得）：{1, 1.0679, 1.125, 1.2014, 1.2656,1.3515, 1.4238, 1.5, 1.6018, 1.6875, 1.802, 1.8984}，把他們畫在座標系中，請觀賞圖2。
圖2 五度相生律產生12音階（新產生的五個音為綠色）
震驚了嗎？多麼平滑的一條折線，而且新產生的音都被"均勻"地安插在了原先的7音階中間。我們不得不驚歎造物主的神奇，這也是音樂是世界上唯一通行的語言的原因吧！由於之前的七個音和它們的音名{C, D, E, F, G,A, B}已經非常流行了，且新產生的音都可以看作是用原7音階中的某個音升半音而得，因此這5個新產生的音就被叫做{C#, D#, F#,G#, A#}，這也正是為什麼E和F、B和C之間是半音的原因。
看起來已經很完美了，還有改進的空間嗎？答案是有的。儘管五度相生律生成的12音階已經相當平滑了，但仍然不是理想的"等比"音階，這樣就會導致一個潛在的問題。我們舉例來說，大家都在KTV唱過歌，應該知道有些KTV的點播機有升降音的功能，當伴奏比較高而人聲又吼不上去時，可以用降音功能把伴奏的音高統一降低一些，這樣聽起來仍然是非常自然的。比如一首歌原先的音的序列是
圖3 至今仍有一些古老的樂器難以實現轉調
後來人們又想出了各種修正的辦法，比如構造一些等差數列來修正每個音與理想曲線的誤差等等，但這些方法既複雜又不能從根本上解決問題。這時整個音樂界都在急迫的等待新律制的誕生。直到公元17世紀的明朝人朱載堉提出十二平均律，並由利瑪竇帶到西方，才拯救西方音樂界於水火之中。雖然十二平均律看起來那麼完美，但也不是完全沒有問題。有人認為十二平均律破壞了純四度和純五度的協調關係，也就是說我們之前講的F音應該是C音頻率的4/3=1.33333倍，G音應該是F音的3/2=1.5倍，而在十二平均律中它們的倍率分別是：1.33484和1.49831。其實所差無幾，不是嗎？在通常的演奏音域範圍內，人耳幾乎是不可能聽出這些區別的，這也是十二平均律沿用至今而五度相生律和純律都已遭淘汰的原因。
閱讀更多 雷音似 的文章
