前面的文章我们已经研究了人们是如何用五度相生律构造出7音阶的过程，并知道这7个音分别是：{1, 1.125, 1.265625, 1.333, 1.5,1.6875, 1.8984375}，它们对应的音名是：{C, D, E, F, G, A, B}。后来人们不断的改进音阶的生成方式，并增加纯八度音程内的音数，直到十二平均律这一黄金律制产生。今天我们就来研究7音阶是如何演化为12音阶的。
随着制作工艺的不断进步，乐器的音准越来越高，人们慢慢意识到五度相生律产生的7音阶与理想曲线相比误差实在是太大了。我们现在知道，当相邻的音都为等比关系时，音阶才最平滑。而原始7音阶中的第3个音和第7个音看起来是那么突兀，这样构造出来的音乐确实不够好听。后来有人提出"纯律"学说，但究竟是谁最早提出的至今还存在争议。有人认为纯律和五度相生律都是毕达哥拉斯提出或整理的，也有人认为纯律在中国2400年前的战国时代就已开始应用，还有人说是古希腊学者亚理斯托森努斯发明……不过可以肯定的是纯律在2000多年前就已被人类所掌握。纯律构造音阶的方法与五度相生律不同，它是由纯五度（2:3）和大三度（4:5）为素材确定7音阶的律制。纯率生成的7个音的频率分别是：{f, 9f/8, 5f/4,4f/3, 3f/2, 5f/3, 15f/8}。确实比五度相生律的那些巨大的分数简单多了，那他的平滑度怎么样呢？请观察图1。
图1 五度相生律音阶（蓝），纯律音阶（绿）和理想音阶（橙）对比
好是好点，不过就那么一点点而已，而且还打破了五度相生律产生的内部协调性。此外7个音也开始显得不够用了，人们希望通过变调使得音乐更加丰富，看来还得继续探索。
之前人们为了计算第7个音，就要计算2/3的5次幂，这对于2000多年前的计算水平来说确实有点难了。然而数学的发展又一次给音乐带来了新生。人们通过计算发现，2/3的12次幂约为129.74634，约等于基准频率f上面的第7个八度音的频率f×28=128f，那么可否继续应用五度相生律再产生一些音呢？看下表：
由这些倍率产生的12音阶为（用倍率除以它下面的第一个2n而得）：{1, 1.0679, 1.125, 1.2014, 1.2656,1.3515, 1.4238, 1.5, 1.6018, 1.6875, 1.802, 1.8984}，把他们画在坐标系中，请观赏图2。
图2 五度相生律产生12音阶（新产生的五个音为绿色）
震惊了吗？多么平滑的一条折线，而且新产生的音都被"均匀"地安插在了原先的7音阶中间。我们不得不惊叹造物主的神奇，这也是音乐是世界上唯一通行的语言的原因吧！由于之前的七个音和它们的音名{C, D, E, F, G,A, B}已经非常流行了，且新产生的音都可以看作是用原7音阶中的某个音升半音而得，因此这5个新产生的音就被叫做{C#, D#, F#,G#, A#}，这也正是为什么E和F、B和C之间是半音的原因。
看起来已经很完美了，还有改进的空间吗？答案是有的。尽管五度相生律生成的12音阶已经相当平滑了，但仍然不是理想的"等比"音阶，这样就会导致一个潜在的问题。我们举例来说，大家都在KTV唱过歌，应该知道有些KTV的点播机有升降音的功能，当伴奏比较高而人声又吼不上去时，可以用降音功能把伴奏的音高统一降低一些，这样听起来仍然是非常自然的。比如一首歌原先的音的序列是
图3 至今仍有一些古老的乐器难以实现转调
后来人们又想出了各种修正的办法，比如构造一些等差数列来修正每个音与理想曲线的误差等等，但这些方法既复杂又不能从根本上解决问题。这时整个音乐界都在急迫的等待新律制的诞生。直到公元17世纪的明朝人朱载堉提出十二平均律，并由利玛窦带到西方，才拯救西方音乐界于水火之中。虽然十二平均律看起来那么完美，但也不是完全没有问题。有人认为十二平均律破坏了纯四度和纯五度的协调关系，也就是说我们之前讲的F音应该是C音频率的4/3=1.33333倍，G音应该是F音的3/2=1.5倍，而在十二平均律中它们的倍率分别是：1.33484和1.49831。其实所差无几，不是吗？在通常的演奏音域范围内，人耳几乎是不可能听出这些区别的，这也是十二平均律沿用至今而五度相生律和纯律都已遭淘汰的原因。
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