阿蒂亞訪談記

阿蒂亞(Michael Atiyah) 生於1929年，在劍橋三一學院獲得其學士及博士學位。他歷任牛津大學的薩維爾幾何講座教授、及普林斯頓高等研究所數學教授，現在他是牛津大學的皇家學會專職研究數學教授。

阿蒂亞教授榮獲的稱號包括：皇家學會會員以及法國、瑞典、美國的科學院院士，他在1966年國際數學家大會上獲菲爾茲獎，2004年與辛格共同獲得阿貝爾獎。他的研究領域涉及到數學的廣大部分，包括拓撲、幾何、微分方程和數學物理。

編者注：2018年9月20日，有網友在微博上爆料阿蒂亞爵士宣稱證明了黎曼猜想，並將在24號的海德堡獲獎者論壇上發表宣講。黎曼猜想——這個被數學家認為最重要的數學猜想，是否真的如阿蒂亞所宣稱的那樣已經被證明，一切都要等到24號見分曉。

今天我們要給大家分享的文章，是由著名的數學普及刊物《數學情報員》（The Mathematical Intelligencer）原編輯米尼奧在1984年對阿蒂亞所做的訪談。原文鏈接https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2FBF03024202.pdf，在本公眾號直接回復

本中譯文曾發表於《數學譯林》，譯者是中科院數學所的王啟明教授（已故）。本號發佈時編者對文字略作了調整。

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米尼奧（以下簡稱為M）：我認為關於你的一些背景性材料可能是有價值的，你是什麼時候開始對數學發生興趣的？有多早？

阿蒂亞（下面簡稱為A）：我覺得我年紀很輕時就開始對數學有興趣。有一個階段，大約是15歲時，我對化學有濃厚的興趣，認為它很有前途；大約經過了一年的高等化學的學習之後，我發現它不是我想研究的東西，因而又回到了數學。我從來沒有認真考慮過去幹別的。

M：這一點在很早就顯露出來了？

A：是的，我認為如此。從我小時候起，我的父母就認為我生來就是搞數學的料，他們一直這麼認為。

M：但他們不是數學家？

A：不是。

M：你在中學時得到過指導嗎？你的老師對你還好嗎？

A：我認為我的老師都挺好，我們的關係也好，我開始是在埃及上的學，那是個相當好的學校。

M：你生在那裡？

A：不，我出生在英格蘭，但我在中東長大，我父親在蘇丹工作，因此我中學主要是在埃及唸的。大戰結束後我們回國，我在英國又唸了幾年，那是個好學校，那兒有很多好學生，然後我去劍橋，那兒的好學生也很多。我認為我沒有受到哪一個人的特別大的影響。但是我受到的教育是好的，我有很多機會去接觸好的數學家，在這個意義下我的底子是好的。

M：在劍橋你主要是自己幹？

A：我是服了兩年兵役之後去的劍橋（這是非同尋常的）。事實上，我去劍橋的時間比學年開始要早一點兒。我念了一個夏季學期，那兒的迷人的氣候及美麗的環境給我極其深刻的印象。我喜歡呆在圖書館裡讀書，周圍全是書。那兒的氣氛令人難忘，它誘發了我的想像力。那兒有許多聰明的學生，我從教師那兒也得到應有的指導，我不覺得哪位老師給我的靈感特別多：有些課是好的，有些並不那麼好。

M：你早期的論文之一是與霍奇合作的，是吧？

A：是的，它事實上是我的學位論文的一部分。他是我的研究導師，對我來說，能與他一起工作是很重要的事。我來到劍橋時幾何學正著重在老式的經典的投影代數幾何上，我非常喜歡它。要不是霍奇使我認識到他所代表的新潮流，即微分幾何要與拓撲掛鉤，我會一直沿那個方向搞下去的。這是我的非常重要的抉擇。我完全可以搞更傳統些的東西，但我認為我的這一抉擇是明智的，通過與他一起工作，我更加熟悉了近代的思想。他給我很好的指導而且在一個時期還合作過。那時法國出了一些有關層論的最新工作。我對此有興趣，他也有興趣，我們一起工作併合寫了論文，即我的學位論文的一部分。這對我是很有益的。

M：一個突出的事實是，你同其他人合作得很多，如辛格，希策布魯赫，博特。

阿蒂亞 與 希策布魯赫（已故）

辛格（他與阿蒂亞一起分享了Abel獎）

博特

A：是的，是如此，我經常與別人合作，我認為這是我的風格。這有許多原因，其中之一是我涉獵於好幾個不同的領域。不同學科的東西有相互作用這一事實正是我有興趣的；有的人在另一些方面知道得多些，可以補充你的不足，與他們合作是很有幫助的。我發現與別人交流思想是非常激勵人的。我同許多人合作過。與其中一些，應該說其中許多人，合作持續多年而且是廣泛的。這一方面是由於我的性格，我喜歡與別人交流的思考方式。另一方面也是由於我喜歡搞的數學面比較廣，因而很難自己一人完全瞭解透徹。周圍有對另一些領域知道得較多的人是很有益的。例如，我與辛格合作，他的分析強得多，我則較弱，而我對代數幾何及拓撲知道得更多。

M：是否是由你來把問題提煉出來？

A：不，不是。這種合作是完完全全的交融。我們首先統一感興趣的東西，然後互相學習對方的技巧。經過一段時間後，對問題的大多數部分雙方的認識趨於一致，只是我們的專長有點不同罷了。

M：你是如何選擇研究題目的？

A：我認為你這樣問就已經暗含了所選的題目有解答。我覺得這根本不是我做研究的方式。有的人會這樣做，他說：“我想解決這個問題。”然後坐下來，說：“我怎樣才能解決這個問題？”我不這樣做。我只是在數學的海洋中漫遊，同時思索著，充滿好奇心和興趣。我與別人交談，把各種思想攪拌在一起：新的東西一出現，就緊追不捨。或者是，我發現某個東西同我已經知道的另外的東西發生了聯繫，我就試圖把它們放在一起，從而新的東西發展了起來。事實上我們從來沒有過從一開始就對我將要搞出的東西或者會搞成什麼樣子有任何概念：我對數學有興趣，我交談，我學習，我討論，有意義的問題自然就呈現出來。除了理解數學這個目標外，我在開始幹之前從不訂下什麼具體的目標。

M：K-理論就是這樣產生的吧？

A：是的，這從某些方面看很帶有偶然性。我當時對格羅滕迪克在代數幾何中做的事情有興趣，到了波恩後我曾有興趣學點拓撲，我感興趣的是詹姆斯（I. James）當時在研究的有關射影空間的拓撲中的某些問題。我發現用格羅滕迪克的公式可以解釋這些現象，可以得到更好的結果。那時已有博特關於週期性定理的工作；我認識他，也知道他的工作。用上這些，我發現一些有趣的問題可以得到解決。於是看起來有必要建立一個體系使它們形式化，於是K-理論就這樣產生了。

你不可能靠事先預言嶄新的思想或理論的辦法來發展它們。它們本來只能通過深入考察一系列問題而顯現。但是不同人的工作方式是不同的。有的人決心去解決某個基本性的問題，例如奇點的消解或有限單群的分類。他們把一生的大部分時間都花在這個問題上。我從沒有這樣幹過，主要是由於那樣做需要一心一意地獻身於一個問題，那是極大的冒險。

那樣做也要求方法上的專一，從正面強攻，這意味著你必須對專門的技巧運用得爐火純青。現在有些人很擅長那樣，我確實不如。我的專長是圍繞那個問題，在它附近轉到它的背後去……這樣使問題解決。

M：你是否覺得數學中有主流的課題？是否有些學科比別的更重要？

A：是的，我認為是這樣。我很反對那種認為數學是一些孤立的學科的並集，以及你可以寫下公理1，2，3等等，一個人閉門造車就可以發明一門新數學分支的觀點。數學更加像是一個發育的機體。它同過去以及同其他學科的聯繫的歷史是悠久的。在某種意義上，核心的數學一直沒有變。它是研究現實的物質世界中產生的問題，以及與數、基本的計算及解方程有關的由數學本身產生的問題。這一直是數學的主體。任何能推動這些問題發展的都是數學的重要部分。

那些與這些問題相隔遙遠、背道而馳並且對數學的主要部分沒有幫助的分支，不大可能是重要的。也可能一個分支自己產生出來並且後來對其他部分有用，但是如果它走得太遠而被修剪掉，從數學上看這確實無關大局。確有些創新的思想，它們在一段時間內開闢了新的方向，但它們還與數學的其他的重要部分聯結在一起並且互相作用。數學的某個分支的重要性大體上可以用它與數學其他分支的相互作用的多少來衡量。這好像是重要性的一個無矛盾的定義。

M：但是，某個東西在一段時期內沒有用，而很多年之後它又被用上，這是可能的吧？

A：我認為確實會有人提出超前於他的時代的數學思想，也可能有人提出一個聰明的想法，但人們在很長的時期內看不到它的意義。顯然這些都可能發生。我剛才並沒有怎麼想到這類事情，我剛才想得更多的是現在的一種趨勢，即人們閉門造車式地，並且相當抽象地創立一個個整個的數學領域。他們只是像海狸那樣一個勁地啃。如果你問他們這是為什麼，其意義何在，與其他的關係如何，你將發現他們說不上來。

M：你願意舉個例子嗎？

A：近代數學的每個分支都有些例子：抽象代數的一些部分，泛函分析一些部分，點集拓撲一些部分；在這些部分裡，人們會看到公理化方法的最惡劣的表現。公理是為了把一類問題孤立出來，然後去發展解決這些問題的技巧而提煉出來的。一些人認為公理是用來界定一個自我封閉的完整的數學領域的。我認為這是錯的。公理的範圍越窄，你捨棄得就越多。

當你在數學中進行抽象化時，你把你想要研究的與你認為是無關的東西分離開，這樣做在一段時期裡是方便的，它使思維集中。但是通過定義，捨棄了宣佈你認為不感興趣的東西，而從長遠看來，你丟掉了很多根芽。如果你用公理化方法做了些東西，那麼在一定階段後你應該再回到它的來源處，在那兒進行同花和異花受精，這樣是健康的。你可以發現約三十年前馮·諾依曼（von Neumann）及魏爾(Weyl)就表達了這種意見。他們擔心數學會走什麼樣的路，如果它遠離了它的源泉，就會變得不育，我認為這是非常正確的。

M：顯然你對數學的整體性有很深的體會。你認為你的工作方式及你本人在數學上的貢獻在多大程度上造成了這種整體性？

A：很難把一個人的個性同他對數學怎麼看分開。我相信把數學看成是一個整體是非常重要的。我的工作方式反映了這一觀點，至於哪個在前這很難說。我發現數學不同分支的相互作用是有趣的。這一學科的豐富性就是來自這個複合性，而不是來自純粹性及孤立的專門化。

但是，也還有哲學的及社會的道理。我們為什麼搞數學？我們搞數學主要是因為我們喜歡它。但從深一層上講，為什麼給我們錢搞數學？如果有人要我們辯明這一點，那麼我們必須承認這個觀點，即數學是一般的科學文化的一部分。即使我正在搞的那個數學領域對於他人無直接關係和用途，我們也還是在為一個整個的思想的有機體做貢獻；如果數學是思想的聯合體，每一部分都有潛在的應用到其他部分的可能性，那麼我們都是為一個共同的對象做貢獻。

如果數學被看成是一些支離破碎的門類，而且互不相干地、自管自地發展，那就很難回答為什麼要給人出錢去搞數學。我們不是表演者，像網球運動那樣，我們唯一的依據是數學對人類思想有真正的貢獻。即使我不直接搞應用數學，我覺得我也是在對這樣一種數學作貢獻，即它能夠而且必將對於那些有興趣於把數學應用到其他地方的人們有用。

每個人都要為他的人生哲學辯護，至少要向自己辯護。如果你教書，你可以說：“我的職業是教書，我培養出了年輕人，因而我得到報酬。至於研究嘛，我是在業餘搞。他們是出於寬宏大量才讓我搞的。”但是如果你是專職搞研究的，那麼你要為自己的工作辯護就要更費力氣去想了。

在某種意義上，我還在搞數學，因為我喜歡搞。我很高興有人出錢讓我做我喜歡的事。但是我也試圖去感覺它還有更嚴肅的一面。提供辯護的一面。

M：有這種論調：“純粹數學用處不大，五年之內所有人都只有搞計算了。”對此你是如何看的？

A：這種觀點含有某種危險，如果純粹數學家採取象牙塔的態度，不去考慮他們與其他學科的關係，那麼就存在這樣一種危險，即人們會出來說，“我們確實不需要你們——你們是奢侈品——我們要僱用做更實際的工作的人”。我認為這種危險性一直是有的，而在財政困難的時期則更為嚴重，例如我們現在正處於這個時期。我認為已經有這種信號出現了。

當然，在過去的五年或十年中，純粹數學家越來越瞭解到他們必須更好地為他們自己乾的事辯護。但我還是同意很多人的這種看法，即這是不自然的，是在壓力之下才這麼做的。倘如廣大的純粹數學家更有自我批評的精神，那麼情況就會健康起來。

A：我認為有，我與辛格一起證明的指標定理從很多方面看都是我所做過的東西中最清晰的一個。我確實認為指標定理是人們可以談論的定理中一個好的、清晰的定理。我的大部分工作都是以不同的方式以它為中心做的。

它從拓撲學及代數幾何的工作開始，但後來它對泛函分析有相當的推動；過去十年來，這個方向有許多人搞。而且現在還發現它與數學物理有有趣的聯繫。所以從很多方面看它仍在發展並且仍然活躍。在某種意義上，它象徵了我的主要興趣，即數學所有領域之間的相互作用及聯繫。這是一個代數拓撲與分析（還有各種形式的微分方程）非常自然地結合在一起的領域。

M：你是否預見到了近來數學家對數學物理重新發生興趣這件事？

A：實在沒有。我對數學物理的興趣有相當長時間了。它並不很深——我試圖弄懂量子力學及有關的課題。但是過去五年發生的事情——數學家對規範場理論的興趣——我是沒料到的。我對物理知道得還不夠多，無法預料這件事情會發生的程度。對我個人來講，量子場論是那些神秘的大的字眼之一。

我認為物理學家自己也感到意外。幾何的一面變得重要並且佔了統治地位這一事實，他們很多人也沒有預言過（而且有些人仍然不同意這一點！），一些主要的問題看上去好像很不一樣——分析的問題，代數的問題。像彭羅斯這樣一些人沒有感到意外。他們從自己的觀點在這方面工作了很久。但是我認為這是個好的例證：如果你是在主流中做有意思的、基本的數學工作，那麼當別人用上你的工作時，你不應感到意外。這證實了對於數學，包括物理在內的整體性的信仰。

M：你對這個命題相信的程度有多深?

A：我學的物理越多，我越加堅信物理提供了數學在某種意義上最深刻的應用。物理中產生的數學問題的解答及其方法過去一直是數學的活力的來源。現在仍是這樣。物理學家處理的問題從數學的角度看是極其有趣的，並且是困難和富有挑戰性的問題。我認為應該有更多的數學家參與進來，並且設法學一些物理；他們應該把新的數學方法引進物理問題中去。物理是很不簡單的。它是非常數學的，物理的洞察力與數學方法的結合。

數學在（比如說）社會科學、經濟學、計算上的較新的應用是重要的。我們培養具有這種應用數學的觀點的學生是重要的，因為這是商業世界所要求的。成千上萬的學生需要這樣的觀點。

另一方面，從用到的數學的深度來看，則是不可同日而語的。在諸如經濟學與統計學中，也有些有意思的問題，但總的說來，用到的數學十分淺顯。真正深刻的問題仍然在物理科學中。為了數學研究的健康，我認為儘可能多保持這種聯繫是非常重要的。

M：你對教育顯然有興趣。另一方面，就你的職業而言，很清楚你是作研究的數學家。你如何解釋這一點？

A：我對教育有興趣的理由與我對數學的整體性有興趣的理由一樣。大學是教育的機構並且還從事研究。我認為這是很重要的——應該有大學的及整個社會結構的整體性來保持數學教育與數學研究之間的廣泛的平衡。當大學裡為了教育的目的開課時，他們應該確保他們對學生做的事是對的，而不是僅僅因為他們對培養做研究的學生有興趣而開（比方說高等拓撲學課）。否則那將是災難性的錯誤。

大學必須保持兩種活動的平衡。他們應該知道學生學些什麼是有用的，要記住學生將來做什麼。同時，他們還應該扶助研究。一些人將來全做研究，一些人將來主要是教書，而大部分是介於兩者之間。顯然我只介入大學的研究任務，但我生活在大學裡，我在大學裡有同事，我知道他們在幹什麼，所以我對大學裡各種職能是否達到平衡很關切。

M：你是否認為過去二十年裡英國的大學增加得太多了？

A：我不認為增加得太多了。與其他國家特別是美國比，顯然英國受過高等教育的人比例太小，應該更多些；更重要的是，大學應繼續增加。我不能相信到下個世紀，受到高等教育的人的比例還是現在這麼多。那是肯定要改變的。

在一段時期的增長之後（這在戰後是必要的），確實會產生一些問題。它帶來了不連續性。你要了大量的人去大學教書，而當這個增長一旦停止時，你已經把所有的位置佔滿了——你不能再要年輕人了。人們可以批評當年各大學頭腦發熱和欠謹慎，以致沒有預見到這樣做必然會產生的一些困難。例如，不像美國大學，英國大學在增長時期，拿到博士後可立即得到永久性的位子，因為當時各大學在互相競爭。我認為這是個錯誤，現在他們正在為這個錯誤付出代價。

如果不是從一開始就給終身的職位而是採用靈活些的制度來使他們適應，那就明智些。我們現在已經有了這個尖銳的不連續性，這將導致危機與衝突。也許大學的人應該謹慎為好。

M：再用點時間回到教學與研究上去。你說過兩者都是大學生活的重要部分，但你仍然是分別談到它們的。近來研究所在增加——波恩，沃裡克，普林斯頓——哪兒都不教書，你認為這是健康的嗎？

A：關於這類研究所首先要指出的是它們或者沒有終身研究人員，或者只有很少的終身研究人員。大多數去那些地方的人都是進修性質的。他們從各大學到那兒呆一學期或者一年，然後再回去。所以它們類似廣義的會議中心，人們在那兒碰頭和交流思想，然後回去進行他們的工作。他們只是幫助大學的人對科研保持活躍的興趣——那是它們的主要功能。

可是，如果你採用類似於東歐的制度，即設立僱用大量終身職位的人員的龐大研究所，並且從各大學抽走相當比例的教授，這就會帶來問題。那樣你就真正使大學與研究嚴重脫節。但是就數學而言，這種中心數目是很小的，研究員也很少，而且去那兒再回來的人都只是為了加強大學體系，我認為這是十分健康的。

它們還有另一個目的，即幫助或引導人們進入那些富有成果的數學思想的領域。除了到一箇中心去推動自己當前的工作之外，年輕人也可以到這類中心以期被引導選定一個有成效的研究方向。

普林斯頓的研究所，即我獲得博士後所去的地方，在實現這一目的方面做得很好。我完成了博士學業，寫好了論文，但我仍在尋找我在數學上的歸宿。我不知道往哪兒走，也不知將來幹什麼。我來到這個大的中心，那兒有許多來自世界各地的有各種思想的能幹的年輕人、老年人。在差不多一年之後，我滿載著新思想與新方向回到英國，這對我以後的數學發展有巨大的影響。

普林斯頓高等研究所

M：普林斯頓的人當中誰對你影響最大？

A：我覺得主要不是那些終身研究員。我是1955年去的，當時去那兒的人比現在去那兒的同類型人年紀稍大些。我碰上了希策布魯赫，塞爾，博特，辛格……他們都是我去這個研究所時認識的。小平邦彥及斯潘塞當時也在。我認識了這一大批人，在數學上受到他們的影響。後來我與同樣的這批人的合作不是偶然的。

我覺得還有另一方面，即它不但改變了你的觀點和你的工作，而且它使你接觸到其他的活躍的人物並且在以後保持這種個人聯繫，這對以後維持你在數學上的發展是很重要的，與不同國家的人會面是重要的——數學是非常國際性的，而這些中心提供了這種在其他地方很不容易得到的機會。

M：國際會議也提供了大家見面的機會，但也許不太能達到提供人們一起工作並且真正學到些東西的目的？

M：國際數學家大會如何？

A：我覺得國際數學家大會完全不同。自從1954年以來，每一屆我都參加了，我從中得到的好處則很難講。

我還是年輕學生時，第一次參加的那次大會是非常好的。我有機會去聽魏爾的報告，那是心理上的極大的推動。我感到我是數千名數學工作者的團體中的一員。大部分報告我都聽不懂，我去了之後就坐了“飛機”直上雲霄。從數學上懂了多少具體的東西上看，我認為什麼收穫也沒有，但心理上的推動是巨大的。

現在我年紀大些了，國際大會的價值就小了。我是出於盡義務才去的——我有事要做——去與人們交談，去做報告。我實在受益不多，因為那兒人太多了。一些報告我很喜歡，我認為國際數學家大會有好處，但是不很大。

除了對年輕人的好處，即給予他們國際成員感之外，另一個主要的職能恐怕是幫助那些數學不那麼活躍的國家的人們。如果你是西歐或美國人，那麼也許它們並不很重要。但是如果你來自非洲或亞洲或東歐，因而旅行及與人見面的機會少得多，那麼我認為這是你去了解別人在幹什麼的唯一機會，我覺得這是它的主要目的。

M：你是否認為菲爾茲獎的設立起到了積極的作用？

A：我認為略有一些，我感到幸運的是菲爾茲獎沒有像諾貝爾獎那樣。諾貝爾獎使科學，特別是物理學嚴重畸形。諾貝爾獎所帶來的榮譽及大吹大擂的宣傳，以及大學花錢拉攏諾貝爾獎獲得者等等，都是極端的行為，某個人能獲獎與不能獲獎的區別很難說——這是個十分人為的區分。但是，如果你得到了諾貝爾獎，我沒有得到，那麼你就得到雙倍於我的工資，而且你所在的大學會給你蓋一個大實驗室，我覺得這是很不幸的。

但是在數學方面，菲爾茲獎根本沒有影響，所以也沒有消極的效果，那是授予年輕人的，以作為對他們以及整個數學界的一種鼓勵。

我也被授予過菲爾茲獎和給予鼓勵，它提高了我的自信心和士氣。我不知道倘若我沒有得到這個獎的話，情形會有什麼不同；但是在那個時期得到它的確使我受到鼓舞，激發起我的熱情。因此我認為在這種意義下菲爾茲獎是有用的。

我發現在一些國家這個獎的名聲很大，例如在日本。在日本，獲得菲爾茲獎如同獲得諾貝爾獎。所以當我去日本，人家介紹我時，我感覺像個諾貝爾獎獲得者，但在我國，根本沒有人注意。

M：你是否發現在不同國家裡，數學家的地位十分不同？

A：當然，在不同的國家裡，數學的含義有些差別。在我國，主要是數學與應用數學及物理的分野有相當的不同；在大多數國家裡，純粹數學的獨立性更大些。這可能對人們關於數學家的概念有廣義的影響，他們不像在美國那樣把數學家十分狹義地與純粹數學聯在一起，在美國，數學家是指純粹數學家。

除此之外，我認為在法國，數學家從傳統上有較高的地位，這是因為法國具有較看重哲學、文學及藝術的傳統，而數學屬於這一類。而在我國，他們對這些從來也不怎麼重視。

在德國，教授也有傳統的較高的地位，雖然這一情形也在迅速地改變。

我認為在關於人們如何看數學及大學的問題上，顯然各國有差別。但那也是在變化的——不同的文化的差異正在縮小。

M：我有幾個關於你是如何工作的問題。例如，你使用的是什麼樣的思維表象（mentalimage）？

A：我不敢說我能答上來這個問題。我覺得有時我腦子裡確實有個視覺的圖像，某種模式圖。但是這是否真的是某種圖像或者只是純粹的符號，我也不知道。我認為這是個很困難的問題，它與心理學的關係比數學更大。

M：我的問題的意思是想區別幾何直觀與代數操作。

A：是的，是有區別，我猜想這個一分為二的現象在大腦中是真實的。我搞的東西是比較幾何的，但我不像瑟斯頓，他可以同樣自如地看見覆雜的、高維的幾何。我的幾何是比較形式化的。但我也不是代數學家——我不喜歡操作。也許從心理學的角度講，我不是典型的極端人物，我像是普通的中間的人。

如果你去問瑟斯頓，也許他會說他的確能看見他心裡的複雜的圖形，他要做的事只是把它畫在紙上，從而給出證明。也可以去問湯普森，他怎樣看見一個群；我不知他會如何回答。差別是有的，這是個複雜的問題，但它四分之三是心理學，只有四分之一是數學。

M：記憶對你的工作的重要性有多大？

A：我提到過當我15歲時我對化學有強烈的興趣。我用了整整一年去攻化學後來就放棄了。原因很簡單，在化學裡，要記憶大量的事實。當時我有幾本大部頭的無機化學書，我要做的只是去背通過不同的手段，用不同的物質得到的這種或那種物質，能夠幫助你記住這些東西的結構性聯繫是微乎其微的。有機化學稍好一些。與此相比，在數學裡，你幾乎根本不需要記憶，你不必去記憶事實；你所需要做的只是去理解整個東西是如何裝配起來的。所以我認為在這種意義下，數學事實上不需要科學家或醫科大學生的那種記憶力。

在數學中，另一種形式的記憶是重要的。比如我思考一個問題，突然我領悟到這個問題同我上星期或上個月同別人交談時聽到的某個問題有關係。我的很多工作都是這麼出來的。我出去買東西，與別人交談，得到別人的思想，這些思想我只是半懂，然後就存進我的記憶中。這樣我就有了這些數學領域的片斷的龐大的索引卡片盒。所以我認為，記憶在數學中是重要的，但是它是與其他領域的記憶不同的一種記憶。

M：當你工作時，在你尚未找到某個結果的證明之前，是否能判斷它是對的？

A：為了回答這個問題我應該首先指出我不是為解決某個問題而工作的。如果我對某個科目有興趣，那我就去設法理解它；我只是不斷地想著它，並試著一點點兒往深挖。如果我把它弄懂了，那麼我就知道什麼是對的，什麼是不對的。

當然，也可能你沒有真弄懂，可你認為你懂了，但後來發現你錯了。粗略地講，一旦你真正感到弄懂了一樣東西，而且你通過大量例子以及通過與其他東西的聯繫取得了處理那個問題的足夠多的經驗，對此你就會產生一種關於正在發展的過程是怎麼回事以及什麼結論應該是正確的直覺。然後的問題是：你如何去證明它？而這可能要花很長時間。

例如，我們提出了指標定理並且知道它應該是對的，但我們花了幾年功夫才找到證明。其中的一個原因是證明中涉及到一些全然不同的技巧，所以我必須學一些新東西以求得一個證明（對這個例子，我們是找到了幾個證明）。我對於證明的重要性並不大注意，我認為更重要的是理解。

M：那麼證明的重要性是什麼？

A：證明的重要性在於它是對於你的理解的一個檢驗。我可以認為我懂了，但是證明是你懂與否的檢驗，僅此而已。它是行動的最後一步——最後的檢驗——但它根本不是主要的東西。

我記得我證明過一個定理但卻不能理解這個定理為什麼是對的。為此我想了好幾年。它涉及K-理論與有限群的表示的關係。為了證明這個定理，我必須把群分解成可解的與循環的；還用到很多的歸納步驟及其他的信息，為了保證這個證明通得過，每一個環節都必須一點兒也不差——換言之，你必須有好運氣，我很驚訝地發現證明成功了並且老是在想，如果這個鏈中的一環突然斷開，如果論證中有一點兒瑕疵，那麼整個證明就要垮下來。因為我不能理解它，也許它根本不是正確的。我一直在想，直到五六年之後我才弄懂了它為什麼是對的。從而我通過有限群到緊緻群的轉化給出了完全不同的證明。用完全不同的技巧可以使它為什麼是正確的這個問題變成顯然的。

M：你是否有辦法不通過證明而把你的理解傳授給別人？

A：我理想地認為：當你傳授數學時，你應該設法傳授理解。這通過交談比較容易辦到。當我同別人合作時，我們就是在這種理解的水平上交換思想的——我們理解這個問題且依靠直覺。

當我作報告時，我總是設法表達出問題的主要之點，但是在寫論文或書時，這就困難得多了。我不怎麼寫書。在論文中，我盡我的所能去寫一個導言或解說來給出思想，但在論文中你必須有證明，所以你必須寫證明。

現在，大多數的書傾向於太形式化，它們用於形式化證明上的篇幅過多，而用於啟發和思想的篇幅過少，當然，給出啟發和思想是困難的。

有一些例外，我覺得俄國人是例外。我認為俄國的數學傳統比起西方的傳統更少形式化和結構化，後者受到法國數學的影響。法國數學一直是佔據統治地位並且產生了一個很形式化的學派，我認為大多數書都在向這種過度抽象的方向發展並且不去傳授理解。

但是傳授理解是不容易的，因為它只有通過與一個問題一起生活一個很長的時期才能做到。你可能要研究它好幾年，你才得到它的直覺並使它進入你的骨骼中。你不可能把它傳授給另外的人，如果你花了五年時間研究一個問題，那麼你可以做到這一點，即把它講給別人聽，使得別人花較少的時間就可以到達你現在的水平，但是如果別人沒有鑽進這個問題中去並且看到所有的難點，那他們還沒有真正理解它。

M：你如何得到你所搞的東西的思想的？是否只要坐下來並且說“好了，我現在要花兩小時做數學了”就行了？

A：我認為只要你在積極地進行數學的研究工作，數學總是同你在一起的，當你想問題時，它總是在那兒。當我早上起床刮臉時，我想的是數學；當我吃早飯時，我仍然想著我的問題；當我駕汽車時，我也仍在想我的問題。但注意力集中的程度各不相同。

有時你會問自己，你一邊做那些事時一邊想這些問題是否值得，是否有所幫助，也許你這不過是徒勞無功地反覆思索。

有的上午你坐著並且集中精力想某個問題，那種高度的精神集中很難持續長久，而且也不總是成功的。有時你認真思索就會得到解答。但真正有趣的思想是當你靈感的火花迸發時產生的。它們的本性決定了其偶然性；它們可能在隨便的交談中產生：也許你正在同某人談話而對方提到了某個東西，你心想“老天爺，這不正是我要的嗎！……它能解釋上星期我想的問題”，然後你把這兩樣東西擺在一起，你把它們融合，這樣從中產生出某種東西來。把兩種東西放在一起，就像拼圖遊戲一樣，這在某種意義上是隨機的。但是你若想從隨機的相互作用中得到最大的機會，你就必須經常在腦子裡反覆思考這些東西。我想龐加萊講過這種話。它是一種或然性的結果：思想在你的腦海中飛舞，而有成果的相互作用產生於某些隨機的、幸運的突變。技巧就在於使這種隨機度儘可能大，這樣你才有增加有成果的相互作用的機會。

從我的觀點看，我同不同類型的人談得愈多，我對於各種不同的數學問題想得越多，那麼我從別人那兒得到新鮮的想法並且進而與我已經知道的某個東西聯繫起來的機會就愈大。

例如，指標定理就有偶然的成分。辛格和我碰巧都在牛津研究希策布魯赫的工作產生出的黎曼-羅赫定理。我們倆在一起玩的時候產生了這樣一個想法：對迪拉克算子也給一個這樣的公式，那時斯梅爾路過牛津，我們同他談了，他告訴我們前幾天他剛剛讀到蓋爾範德一篇文章，是關於算子的指標的一般性的問題的，他還說此文可能與我們正在做的事有關係。我發現這篇文章很難懂，它一般性地提出了問題，而我們要找的是一個重要的特例。後來我們認識到我們必須把我們正在做的東西推廣從而導致了整個東西的產生，但是是過路的斯梅爾使我們走上正確的軌道的。

另一個例子是我關於瞬子的工作。那也是帶有偶然性的事。當時我知道彭羅斯和他領導的一批人在搞物理的幾何方面的東西，其中一個叫沃德的做出了好結果。他正在討論班上報告，我當時問自己：“我是否應該去，它是否會有些枯燥？好，還是去。”於是我去了。討論班講得很清晰，我聽懂了他在做的東西，我回去時說：“嗨，確實棒。”我回去後用了三整天苦苦思索，突然間我發現了它是怎麼回事，它怎樣與代數幾何掛上鉤的。從那時起，問題開始有了突飛猛進的發展。我要是不去聽那個討論班，可能那個問題至今仍是老樣子。過去數學家與物理學家之間的差距很大。我懷疑在過去思想會這麼快地得到溝通。當然，你也可能參加很多次討論班卻得不到啟發。

M：你是否有最喜歡的定理或問題？

A：那不是一個很要緊的問題，因為我是不相信定理本身的。我相信的是數學是一個整體的東西；一個定理只是一個補給站，我知道很多好的題材，好的事實，好的東西，但我認為單個的它們並不具有多大的重要性。我想對於問題也是這樣。

我不想給人以印象：好像我把數學只看成是一個抽象理論而沒有實體，一個理論之所以有意思是因為它解決了許多特殊問題，並且把它們放在恰當的位置上；它使你全部理解它們，一個理論常常是在某人解決了一個很難的問題之後，人為了理解這裡面的過程而發展起來的——即你在它周圍築起了上層建築。沒有硬問題的軟理論是無用的。

M：你對於有限群的分類有何感想？

A：我的感想是（褒貶）兼而有之。首先，證明的篇幅太大，我覺得如果這是僅有的證明方法，那麼我們對於它的理解的程度是相當有限的。人們希望關於所有這一切的一個更透徹的理解會產生出來，也許我的看法是錯的，但我相信如果真的會產生出來，它將由這樣的人們來完成，即他們從外傾的觀點，而不是內傾的觀點來看群。

因為群在自然中產生，它們是使事物運動的東西，它們是變換或置換。從抽象的角度看，你把群看成是一個內在的結構，具有它本身的乘法——這是很內傾的觀點。如果你只允許自己用這種內傾的觀點，你的武器庫將是很有限的。但是如果你從群的表現形式來看群，從外面的世界去看，則你可藉助外來世界裡所有的東西。這樣你就得到了或應該得到一個強有力得多的理解。我的想法，我的夢想是：通過群是在一些自然的背景中（作為變換群）產生的這一事實，人們應該能證明關於群的深刻的定理，從而使其結構變得一目瞭然。

而且，我也不能肯定整個這個結果的重要性。有些人會說數學中最重要的是建立起有公理1，2，3的公理化體系，現在有群、空間這些對象。問題就在於給它們分類。我認為這是不正確的觀點。理解這些東西的本性並且使用它們才是目的；分類只是告訴你理論的範圍大致有多大。

例如，李群的分類是有點特殊的。你面前有個分類表，有典型群，也有例外群，但是對大多數實用的目的，你只用到典型群。例外李群的存在性只告訴你這個理論還要大一點兒。它們很少冒出來。倘若有無窮多個例外李群，使李群的分類變得極其複雜，李群分類的理論也不會有多大不同。

所以我認為，不同類的（有限）單群的存在與否對於數學沒有什麼影響。那是智慧的一個好的終點，但我認為它沒有基本的重要性。【注：後來阿蒂亞改變了他的看法。】

M：但是，如果有另外的辦法去做，即某種外傾的觀點那麼它是否會有較大的影響？

A：那將會有這種意義下的影響，即它告訴人們事情可以用另外的方式來做。但我認為結果沒有基本的重要性；它不能與，舉例來說，群的表示論相比擬。

分類的這個觀點可以被極度地誇大。它在一段時期裡是注意的焦點。它指出好的問題和挑戰。但是，如果它佔去了大量的精力，人們會想是否有更好的方法去做，找到一個更好的方法這件事本身也許會是有趣的，並且會揭示出新的思想與新的技巧。你瞧這個結果，它看上去不錯，你給出了這個冗長的複雜的證明，去尋求更好的方法是個挑戰，做此探索可能是有益的，其好處主要是來自新思想而不是你找到新證明這件事實。

麥基有次對我說的話我認為是很正確的。在數學的某個領域中，重要的東西常常不是技術上最困難的即最難證明的東西，而常常是較為初等的部分。因為這些部分與其他領域、分支的相互作用最廣泛，即影響面最大。

在群論中有許多極端重要的，並且在數學的各個角落到處都出現的東西。這些是較為初等的東西：群及其同態、表示的基本觀點，一般的性質，一般的方法——這些才是真正重要的。

分析也是如此，有些關於傅立葉級數在什麼條件下收斂的很細緻的論證；這些東西技巧性很高，也很有趣。但對於使用傅立葉級數的那些數學家來說它們並不重要。一個領域的專家們往往醉心於困難的技術性問題，但從數學家集體的觀點去看，他們雖也讚歎這些東西，但卻並不需要它們。

M：你最佩服的數學家是誰？

赫爾曼·魏爾

A：這個問題很好答，我最欽佩的人是赫爾曼·魏爾。我發現我在數學中乾的差不多每一件事，赫爾曼·魏爾都是第一個做過的，我所搞的大多數領域都是他搞過的並且他自己還有開創性的、很深刻的工作，當然，拓撲學是例外，這是在他的時代之後才產生的，但是他的興趣包括了群論、表示論、微分方程、微分幾何、理論物理；我所做的差不多每件事都與他做類似的東西時的精神相符合。並且我完全同意他對數學的看法及他關於數學中什麼是有意思的東西的觀點。

我在阿姆斯特丹的國際數學家大會上聽過他的報告。他在那兒把菲爾茲獎章授予了塞爾和小平邦彥。然後我去了普林斯頓的研究所，但是他那時在蘇黎世並在那兒去世。我在普林斯頓沒見到他。我只見到他那麼一次，所以並不是由於個人的接觸才使我欽佩他的。

有很多年，每當我進入一個不同的領域，當我去找幕後的人時，沒有錯，準是赫爾曼·魏爾。我感到我關心的重點同他一樣，希爾伯特比較代數味兒；我認為他沒有同樣強的幾何洞察力。馮·諾依曼則比較側重分析並且較多搞應用的領域，我認為從數學的哲學及數學的興趣上講，顯然赫爾曼·魏爾是同我最接近的人。

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