來源 | 茅塞頓開
轉自 | 算法與數學之美
從古至今，無論在自然科學還是人文社科方面，學科分支越來越細，內容也越來越豐富。究其原因，一方面是工具的增加，使人們發現不同現象的能力比以往更強。另一方面，伴隨著全世界人口大量增長，不同種族、宗教、習俗的人在互相交流後，他們的觀點和學問得到融會貫通，從而迸發出新的火花。
兩千多年前，孔子談論自己的學問時曾說：“吾道一以貫之”。面對越來越紛繁複雜的學科，今天的學者還能做到孔子所說的“一以貫之”嗎？我將探討這個問題。
最重要的是
創造力和腳踏實地基礎上的豐富情感
在建構一門新的學問，或是引導某一門學問走向新的方向時，學者的原創力從何而來？為什麼有些人看得特別遠，找得到前人沒有發現的觀點？這是一種本能的理性選擇，還是讀書破萬卷的結果？諸多因素當然都極其重要，但在這其中，我認為最重要的是創造力和腳踏實地基礎上的豐富情感。
在中國文學史上，屈原作《楚辭》，李陵作《河梁送別詩》，太史公作《史記》，諸葛亮作《出師表》，曹植作《贈白馬王彪詩》，庾信作《哀江南賦》，王粲作《登樓賦》，陶淵明作《歸去來辭》，這些作品可以說是千古絕唱。
然後，我們又看到李白、杜甫、白居易、李煜、柳永、晏殊、蘇軾，一直到清朝的納蘭性德、曹雪芹。他們的詩詞文章，激情澎湃，蕩氣迴腸，感情從筆尖下源源不斷傾瀉而出，成為瑰麗的作品。
這些作者並未刻意為之，卻是情不自禁。何以故？孟子說：“吾善養吾浩然之氣也。”太史公說：“意有所鬱結也。”能夠影響古今傳世文章的氣必然至柔至遠，至大至剛！
其實，中國文人在文藝以外的活動，表現出來的感情也是極為豐滿，不少人為了理想而不惜性命。
西漢時，張騫出使西域，間關萬里，而衛青和霍去病奔馳大漠，出生入死。東晉時，外族入侵，祖狄謀復中原之地，帶兵渡江時，祖狄擊楫而誓，說“祖狄不能清中原而復濟者，有如此江！”這是何等的志氣！
同在東晉，法顯為求佛法，五十九歲行走河西走廊，過玉門關，橫越沙河，翻過蔥嶺，直達印度。其間歷盡艱險，全程十三年四個月。他在《佛國記》裡面說：“顧尋所經，不覺心動汗流。所以乘危履險，不惜此形者，蓋是志有所存。專其愚直，故投命於不必全之地，以達萬一之冀”。
宋朝，文天祥被蒙古人囚禁，作正氣歌。其實，他的“氣”正是孟子說的浩然之氣，也是古往今來，中國文學家和科學家所共同享有的。
《過零丁洋》——文天祥
至於數理方面，也講究相似的氣質。自希臘的科學家到現代科學家，文筆優美雅潔的大有人在。他們並沒有刻意為文，然而文既載道，自然可觀。數理之與人文，實有錯綜交流的共通點。
古代希臘人和中國戰國時的名家，雅好辯論，尋根究底。在西方，因此而產生了對公理的研究，影響了整個自然科學的發展。從歐幾里得的“幾何公理”到牛頓的“三大定律”，再到愛因斯坦的“統一場論”，莫不與公理思維有關。
無論在西方或是在中國，科學的突變或革命都以深刻的哲學思想為背景。希臘哲學崇尚自然，為近代的自然科學和數學發展打好了基礎。中國人偏重人文，在科學上主要的貢獻在於應用科學。
但有趣的是，中國人提出五行學說，希臘人也企圖用五種基本元素來解釋自然現象，柏拉圖甚至用當時發現的五個最對稱的多面體來跟這些元素一一對應。
中國人提出陰陽的觀點，西方人也講究對偶，事實上，希臘數學家研究的射影幾何就已經有極點（pole）和極線（polar）的觀念。文藝復興時的畫家則研究投影幾何，對偶的觀念，從那時候，就已經開始了。
對偶的觀念雖然肇源於哲學和文藝思想，但對近代數學和理論物理的影響巨大。七十年前，物理學家已經發現負電子的對偶是正電子，而幾何學家則發現光滑的緊緻空間存在著龐加萊對偶性質。後來，高能物理學最成功的標準型理論的主要骨幹就是幾個重要的對稱群的表示，這種表示理論在近代幾何和數論也有著奠基性的重要作用。
近三十多年來，物理學家發現他們在此前引入的超對稱觀念，可以提供粒子物理和幾何豐富的思想，它預測所有粒子都有超對稱的對偶粒子，同時極小的空間和極大的空間可以有相同的物理現象，假如實驗能夠證明超對稱的想法是正確的話，陰陽對偶就可以在基本物理中具體地表現出來了，說不定現代物理的概念可以修正和改進中國人對陰陽的看法。
文藝復興時期的科學家理文並重，他們也將科學應用到繪畫和音樂上去。從笛卡爾、伽利略到牛頓、來布尼茲，這些大科學家們在研究科學時，都講究哲學思想，通過這種思想來探索大自然的基本原理。
以後偉大的數學家高斯、黎曼、希爾伯特、外爾等都尋求數學和物理的哲學思想。“黎曼幾何”就從哲學和物理的觀點來探討空間的基本結構。至於愛因斯坦在創造廣義相對論時，除了用到“黎曼幾何”等觀念，更是大量採用哲學家恩斯特·馬赫（Ernst Mach）的想法。
恩斯特·馬赫
能夠左右科學發展主流的學問必須包含如下的性質：它能夠對大自然對數學的現象有普遍和深入的瞭解。
在物理學中，我們對一些現象進行抽象、解釋，從而創立理論，在這些理論基礎之上，我們去推導，找尋新的現象，並重新觀察，反覆實驗，來檢驗這些理論。當這些理論得到驗證之後，如果應用範圍很廣泛，我們就稱之為定律。
受到歐幾里得公理化的影響，經典力學的支柱是牛頓三大定律，其敘述極為簡單，而描述的現象卻極為深刻，它的真實不受時空的限制！這是一千多年來，無數物理學家智慧的結晶。
回顧歷史，我們會發現，將無數有意義的現象抽象和總結而成為定律時，中間的過程總是富有情感！在解決大問題的關鍵時刻，科學家的主觀感情起著極為重要的作用，這種感情是科學發現的原動力！伽利略對教會的挑戰就是這一感情的集中表現。
當科學家發現的定律或定理是如此的簡潔，既不失普遍性，又無比有力地解釋各種現象時，我們不能不讚嘆自然結構的美妙，也為這個定律或這個定理的完成而滿意。這個過程值得一個科學家投入畢生的精力！苟真理之可知，雖九死其猶未悔！
科學家與文學家
不僅有感情共鳴，在研究方法上也多有類似
我遇見過很多大科學家，尤其是有原創性的科學家，對文藝都有涉獵。他們的文筆流暢，甚至可以媲美文學家的作品。
出色的理文創作，必須有濃厚的感情和理想，在這一點上，中國人並不比西方人遜色。中國古代學者都有濃厚的感情，它們充分的表現在詩詞歌賦上。
詩人墨客，詩詞歌賦，最能表現這種高尚的情懷。現代的傑出科學工作者，肉體上未必經得起上述諸賢的艱苦經驗，但他們做研究時的毅力卻可以跟上述諸賢媲美。
科學家與文學家有很多能夠產生共鳴的地方。事實上，除了有共同的感情，在研究的方法上，他們也有很多類似的地方。
數學家也可以用和古代中國文學家賦比興類似的手法，做出一流的創作。
蘇東坡是一代詞宗。在他七歲時，見到眉山的一個老尼，姓朱，年約九十。她告訴蘇軾，自己曾經去過蜀主孟昶的宮廷中。有一日，天氣炎熱，蜀主和他的妃子花蕊夫人深夜納涼於摩訶池上。孟昶作了一首詞。這個尼姑還能記得這首詞，並把他告訴了蘇軾。
四十年後，蘇軾只能夠記得詞中頭兩句。蘇軾有天得暇，尋找詞曲，猜測這詞應該為洞仙歌令。蘇軾因此循著這兩句的意境猜測蜀主的想法，將詞續完，成為《洞仙歌》：“冰肌玉骨，自清涼無汗。水殿風來暗香滿。繡簾開，一點明月窺人，人未寢，倚枕釵橫鬢亂。起來攜素手，庭戶無聲，時見疏星渡河漢。試問夜如何，夜已三更，金波淡，玉繩低轉。但屈指西風幾時來，又不道流年暗中偷換”。
《洞仙歌》——蘇軾
蘇軾續詞對中國文學是一個貢獻。但我們想想，不同的文人面對殘缺的詞句，一定會有不同的反應。
假如是清代的乾嘉學者，就可能花很多時間對這件事做考據，得出一個結論：就是這詞不可考！因此不會去續這首詞。有一些文人，可能沒有能力去猜測到這詞的詞牌名，另外有一些文人，可能像蘇軾一樣，猜到了詞牌名，卻沒有興趣去將它續起來。還有一些文人，雖然找到詞牌名，但文藝功力太差，續出來沒有趣味的詞。但是，蘇軾卻興致勃勃地花了時間去推敲，寫了一篇傳世的傑作！
科研的創作也有類似的情形。現在來看看科學的發展。
在1905年，物理學家知道兩個重要的理論，就是牛頓的“引力場論”和“狹義相對論”。它們都與引力有關，同時都基本正確，卻互相矛盾。愛因斯坦對這個問題有無比的興趣，他知道這兩個理論是一個更完美的引力理論的一部分，他在數學家閔科夫斯基、高斯、黎曼和希爾伯特的幫助下，完成了曠世大作，就是讓我們欽佩的“廣義相對論”。
愛因斯坦的創意和能力當然遠勝於蘇軾補《洞仙歌》，但卻有點兒相似。我來做一個不大合適的比擬，蘇軾記得蜀主的兩句詞，一句可比擬為“牛頓力學”，另一句可比擬為狹義相對論裡面的“洛倫茲變換”。愛因斯坦花了十年工夫來研究引力場，就是從這兩件事情作為出發點，用他深入的物理洞察力和數學家提出的數學結構。
物理學需要實驗，數學需要證明，文學卻不需要這麼嚴格，但是離現象太遠的文學，終究不是上乘的文學。一首詞續得好，需要有文學修養，也需要有意境，才能夠天衣無縫，但和大型歌劇或小說比較，它的創作，還是來得容易些。
現在來看看文學和科學的領域裡，大型的結構是如何被創作出來的。曹雪芹並沒有把經典著作《紅樓夢》全部完成，這千古憾事，如何將它續完呢？除了需要有出色的文學技巧外，還需要了解該書的內容和背景。由於這部書的內容錯綜複雜，在現代的觀點來看，可能需要用統計和數學的方法來幫忙。
曹雪芹小像
曹雪芹寫《紅樓夢》，借用了自身的經歷來描述當年家族的榮華富貴，也描述封建社會大家族所遇到的無可避免的腐敗和墮落。
他與評書人脂硯齋，一路著書，一路觸目愁腸斷。書中的筆墨，充滿了他澎湃的感情，但卻是有條有理的創造和敘述。在這本書差不多完成時，作者卻因傷感而去世了，“芹為淚盡而逝”。但至今還沒有任何作者能夠將這部鉅著完滿地續成，對曹雪芹當年的想法如何處理，仍是爭論不已的大問題。
《紅樓夢》的創作過程有如一個大型的數學創作，或者一個大型的科學創作。數學家和科學家，也是企圖構造一個架構，來描述見到的數學真理或是大自然的現象。
在這個大型結構裡，有很多已知的現象或者定理。在這些表面上沒有明顯聯繫的現象裡，我們要企圖找到它們的關係。當然我們還需要證明這些關係的真實性，也需要知道這些關係引起的效果。
但如何找到這些聯繫的方法，因作家而異。在小說的創作裡，小說家的能力和經歷，會表現在這些地方。一個好的科學家，都會創造自己的觀點，或者自己的哲學，來觀察我們研究的大結構。
韋伊（André Weil）要用代數幾何的方法來研究數論的問題，而朗蘭茲（Robert Langlands）要用自守型表示理論來研究數論。他們在建立現代數論的大結構時，就用了不同的手法來聯繫數論中不同的重要部分，得到數論中很多重要的結論，令人驚訝的是：他們得到的結論往往一樣，殊途同歸。
韋伊和朗蘭茨
當年我和一群朋友建立“幾何分析”這門學問時就採取一個觀點：大量的幾何現象需要用非線性微分方程來解釋，方程的解往往可以決定空間的幾何性質。
幾何學家想研究的現象包括了子流形和不同的幾何結構，我在1976年完成的“卡拉比猜想”就是要構造複流形上的幾何結構，方法是解非線性微分方程。二十世紀代數幾何和算術幾何的發展就是一個宏偉的結構，比紅樓夢的寫作更瑰麗，更結實，但它是由數十名大數學家共同完成的。
在整個數學洪流中，我們見到大數學家各展所能，發展不同的技巧，解決了很多懸而未決的問題，但是要左右整個大流方向的數學家，實在不多，我們上面提到的韋伊、朗蘭茲就是很好的例子。
中國數學家在創新的路上提不起勇氣
與中國對數理感情的培養不夠有關
在漢朝，中國數學家已經開始研究如何去解方程式，包括計算立方根，到宋朝時，已經可以解多次方程，比西方早幾百年，但解決的方法是數字解，對方程的結構沒有深入的瞭解。
一個最簡單的問題就是解二次方程：X²+1=0
事實上，無論X是任何實數，方程的左邊總是大於零，所以這個方程式沒有實數的解，因此中國古代數學家不去討論這個方程式。
大約在四百多年前，西方數學家開始注意這個方程，文藝復興後的意大利數學家發現它跟解三次和四次方程有關。他們知道上述二次方程沒有實數解，就假設它還是有解，將這個想象中的解叫作虛數。
虛數的發現很了不起！有了虛數後，西方學者發現所有多項式都有解，而且解的數目剛好是多項式的次數。所以有了虛數後，多項式的理論才成為完美的理論。
完美的數學理論很快就得到無窮的應用。事實上，後來物理學家和工程學家發現虛數是用來解釋所有波動現象最佳的方法，這包括音樂、流體和量子力學裡面波動力學的種種現象。數論研究對象的重要部分是整數，但為了研究整數，我們不能避免地要大量用到複數的理論來幫忙。
狄拉克
在19世紀初葉，柯西和黎曼開始了複變函數的研究，將我們的眼界由一維推廣到二維，改變了現代數學的發展。黎曼又引入了Zeta函數，發現了複函數的解析性質可以給出整數中的質數（prime number）的基本性質。另一方面，他也因此開發了高維拓撲這個學科。
由於複數的成功，數學家企圖將它推廣，製造新的數域，但很快就發現除非放棄一些條件，否則那是不可能的。但是哈密爾頓（William Rowan Hamilton）和凱利（Arthur Cayley）先生卻在放棄複數域中某些性質後，引進四元數（quarterion）和八元數（Cayley numbers）這兩個新的數域。
這些新的數域影響了狄拉克（Paul Dirac）在量子力學的構想，創造了狄拉克方程。從這裡可以看到數學家和物理學家為了追求完美化而得到重要的結果。
愛因斯坦創造廣義相對論時，人類觀察到的宇宙空間實在不大，他卻得到數學家的大力幫助。在愛因斯坦完成廣義相對論後，外爾和很多科學家開始融合引力場理論和電磁場理論，外爾率先提出規範場的理論，經過十年的掙扎，才將麥克斯韋的電磁理論看作和廣義相對論類似的規範場論，在物理學上，這是一個偉大的突破。
二十多年以後，泡利（Wolfgang Pauli）、楊振寧和米爾斯將規範群推廣到非交換群后，完成了一般的規範場理論，成為近代物理學標準模型的基礎。
有趣的是，外爾說：假如理論和見到的現象有衝突，而這個理論漂亮而簡潔的時候，我寧願相信理論。這個看法對規範場理論的發展有很大的幫助。在這裡，我們又看到了文學家和科學家類似的地方。
將一個問題或現象完美化，然後，將完美化後的結果應用到新的數學理論，來解釋新的現象，這是數學家的慣用手法，與文學家有很多相似的地方，只不過文學家用這種手法來表達他們的感情罷了。
在中國古代，很多傳說都是憑想象力，根據已知知識誇大地描述很多無法證明的事情。文學家為了欣賞現象或者舒解情懷而誇大，而完美化，但數學家卻為了瞭解現象而構建完美的背景。有些時候，數學家花了幾千頁紙的理論將一些模糊不清的具體現象用極度抽象的方法去統一、描述、解釋。
這是值得驚喜的事：近代數學家在數學不同的分支取得巨大的成果，與文學家的手段極為類似。所以好的數學家最好有人文的訓練，從變化多姿的人生和大自然中得到靈感來將科學和數學完美化，而不是禁錮自己的腳步和眼光，只跟著前人的著作，做少量的改進，就以為自己是一個大學者。
我們需要培養一些能望盡天涯路，又能衣帶漸寬終不悔的學者，這需要濃郁的文化和感情的背景。中國數學家太注重應用，不在乎數學嚴格的推導，更不在乎數學的完美化。因此至明清時，中國數學家實在無法跟文藝復興的數學家相比。
直到如今，除了少數兩三個大師外，中國數學家走的研究道路基本上還是蕭規曹隨。在創新的路上提不起勇氣，不敢走前人沒有走過的路。這一點與中國近幾十年來文藝教育不充足，對數理感情的培養不夠有關。
到今天，中國的理論科學家在原創性還是比不上世界最先進的水平，我想一個重要的原因是我們的科學家在人文的修養還是不夠，對自然界的真和美感情不夠豐富。
我們中華民族是一個富有感情和富有深度的民族。上述的文學家、詩人、小說家的作品，並不落後於世界！
但是，我們的科學家對人文的修養卻不大注意，一些管理教育的官員們卻有很奇怪的教育政策，他們似乎認為語文和歷史的教育並不重要，轉而用一些淺顯而沒有深度的通識教育來代替這些重要的學問，大概他們以為國外注重通識教育的緣故吧。這種做法其實是捨本逐末。
坦白說，我還沒有看到過一個有水平的國家和城市不反覆地去教導國民們本國或本地的歷史。
我兩個孩子在美國一個小鎮讀書。他們在小學、中學，將美國三百年的事情念得滾瓜爛熟！因為這是美國文化的基礎。我敢說，不懂或是不熟習歷史的國民，必定會認為自己是無根的一代。一般來說，文化的根基比較膚淺的人容易受愚弄和誤導，因為他們看不清楚事情的前因後果。
史為明鏡，它不單指出古代偉人成功和失敗的原因，它也將千年來我們祖先留下來的感情傳給我們，我們為秦皇漢武，唐宗宋祖創下的豐功偉績感到驕傲，為他們的子孫走錯的路而感嘆！中國五千年豐富的文化使我們充滿自信心！我們為什麼不好好地利用我們祖先留給我們的遺產？
或許有人說，我不想做大科學家，所以不用這樣學。其實這並不矛盾。當一個年輕人對自己要學習的學問懷有濃厚的感情後，學習任何學問都會變得輕而易舉。至於數學和語文並重，在先進國家一向是理所當然的。美國比較好的大學招生時，都注重看待SAT中語文和數學部分。
除了考試以外，美國好的中學也鼓勵孩子多元化，儘量涉獵包括人文和數理的科目。美國有很多高質量的科普雜誌，銷量往往都在百萬本以上。而中國好的科普雜誌不多，銷量也少得可憐，從這一點，就可以看到中西文化的差異，希望在未來能夠漸漸改進。
最後要指出，數理人文和所謂博雅教育（Liberal education）有著莫大關係。博雅教育的目標廣闊，既著眼於基礎知識、鑑古知今、推理分析，又能培養學生在藝術上的創造性，兼且對科學的概念和實驗的精準性有所瞭解，同時也強調因材施教，反對重複不斷的操練，防止出現過早學科化和專業化的潮流。
以培養專業人才為目標是許多名校的優良傳統，但這絕非哈佛大學的使命。哈佛學子在專注於某門學問的同時，學校更希望他們成為一個事事關心、善於分析和獨立思考的人，畢業後有志貢獻於社會，並不斷學習。
雅典學院
美國名校的教育使得不少的學者跨越不同的領域而得到極大的成就。有些學生在本科時讀英文系，畢業後卻可以成功地創立高科技公司。當代數學物理有極為傑出成就的威騰（Edward Witten）教授在本科時念歷史。
這些例子在美國名校不勝枚舉，但在華人社會卻不多見。這應當歸功於美國博雅教育的結果，也就是數理人文並重的結果。
中國的教育始終離不開科舉的陰影，以考試取士，系統化的出題目，學生們對學問的興趣集中在解題上，科研的精神仍是學徒制，很難看到尋找真理的樂趣。
西方博雅教育的精神確實能開闊我們的視野，激勵我們的感情，更能夠培養大學問的成長。我寫過一本叫作《大宇之形》的科普書，有些物理系教授也用來作為通識課本。多讀多看課本以外的書，對我們做學問，為人處世都會有大幫助。
好的文學詩詞發自作者內心，而將人與人的關係、人對自然界的感受生動呈現出來。激情處，可以驚天地泣鬼神，而至於萬古長存不朽不滅！偉大的科學家不也是同樣地要找到自然界的真實和它永恆的美麗嗎？
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