數學家都試圖努力創造“好數學”(goodmathematics),這是他們價值所在。什麼是好數學?對於這個問題,要給出普遍接受的定義,幾乎是不可能的。其實斗膽對之加以定義本身就是一個問題。原因何在?首先,從更大範圍來講,給數學下一個一勞永逸的定義是不可能的,數學本身是一個歷史概念,數學本身會以一種自我調整及難以預料的方式而演化。其次,數學是複雜和高維的,並不存在顯而易見的“好”的標準。2006年數學界最高獎菲爾茲獎獲得者T.Tao(陶哲軒)在文[1]中甚至認為“下這樣定義會讓我們變得傲慢自大的危險”。雖然如此,這並不妨礙眾多數學家對好數學發表這樣或那樣的看法甚至下定義(如Tao本人)。本文主要從《一個數學家的辯白》[2]一書來評述英國著名數學家G·H·哈代對好數學的一些看法。
哈代(1877-1947),20世紀英國分析學派代表人物。哈代的數學成就是多方面的,包括定積分的數值、不等式、解析數論、單變量複變函數論、級數的收斂與發散、三角級數等。以哈代命名的定理、不等式、公式數不勝數,其中解析函數邊界值形成的哈代空間Hp尤為著名。哈代與另一位英國著名分析學家利特伍德(1885-1877)長達35年的合作堪稱科學史上一直為人稱道的佳話。哈代還發現並提攜了印度天才數學家拉馬努安(1887-1920)。《一個數學家的辯白》是哈代在年過六十感到自己創造力衰減的絕望悲傷的情況下完成的一部著作。自面世以來暢銷不衰,再版重印達19次之多,被眾多評論家稱為是“用最優雅的語言對數學真諦進行的最完美的揭示”。該書由29篇文筆生動的短文組成,內容涉及數學的特點、數學的歷史掌故、數學的社會功能等。
1真正的數學起源於古希臘
哈代認為真正的數學即好數學,起源於古希臘。“希臘人是迄今對我們來說`真正的'數學家的最早的數學家。東方的數學或許只是有趣的新奇玩意兒,但希臘數學是真正的數學。”[2]哈代稱希臘數學甚至比希臘文學更為持久。“阿基米德在埃斯庫盧斯被忘卻後,仍將長留在人們的記憶裡,因為語言會滅亡,而數學思想則不會。”[2]哈代強調真正數學的無用性,這個強調甚至可能傷害了純數學的聲譽。但正是脫離實際應用的純粹思維,催生了希臘真正的數學。美國著名數學史家M·克萊因認為,正是希臘人對美學和哲學因素作出反應的純粹思維,決定性地塑造了數學的特徵,作出了歐氏幾何這樣不可超越的貢獻。[3]希臘哲學所關注的核心問題,是抽象的概念和最具普遍性的命題。為了得到有關精神的真理而對精神進行實驗,畢竟是困難的。哲學家最基本的工具就是演繹推理,因此希臘人著手數學研究時也就偏愛這種方法了。克萊因認為,希臘的藝術、哲學和文學對現代文明仍有很大貢獻,但最大限度的決定著今天文明本質的貢獻,則是他們的數學。[3]
2數學比之與詩畫———好數學的優美性
哈代將數學與詩畫作了對比,從中我們能發現哈代衡量好數學的第一把尺子———優美性。“一位數學家就像一位畫家或詩人,是模式(pattern)的創造者。如果他的模式比畫家或詩人的模式的生命更加長久的話,那是因為他的模式是用思想(idea)所造就的。畫家用形狀和色彩創作模式,詩人則用語詞。”[2]“數學家工作的對象則除了思想之外別無他物,所以更可能持久,因為思想隨時間受到的磨損比字詞要輕。”[2]哈代似乎採取了一種不妥協的立場,認為數學作品的價值完全由它對數學家產生的美的魅力所決定。“數學家的模式,就像畫家和詩人的模式一樣,必須是優美的;這些思想,就像色彩或者字詞一樣,必須以和諧的方式統一起來。優美性是第一道檢驗標準:這個世界沒有為醜陋數學準備長久的地盤。”[2]數學的優美性,並不因為時間的流失而使其有所減損。2000年前歐幾里得關於存在無限多素數的證明,在今天看來仍然那麼新穎和重要。
3數學比之與象棋———好數學的嚴肅性
在談到數學與象棋(這裡指國際象棋)比較時,哈代用了“嚴肅性”一詞。哈代認為象棋問題是名副其實的數學,但它只是以某種“無關緊要”的方式是數學。不管一步棋是多麼的別出心裁和錯綜複雜,多麼有原創性和令人驚奇,它總缺少本質性的東西。象棋問題是不重要的。就算象棋從來沒有被髮明過,我們也會以同樣的方式去思想,然而歐幾里得定理和畢達哥拉斯定理(哈代在文[2]中反覆提到的古希臘一流數學的2個例子)卻深刻地影響了即使是數學之外的思想。最好的數學既是嚴肅的,又是優美的。哈代所指的數學的嚴肅性,不考慮“實踐上的”效果。“只有非常少的一部分數學在實踐中才是有用處的,而那部分數學相對而言又是乏味的。一個數學定理的`嚴肅性',不在於它在實踐上的效果———那往往是可以忽略不計,而在於它所關聯著的數學思想是`重要的'。我們可以粗略地說,如果一個數學思想能以一種自然和富有啟發性的方式,與大量的其他數學思想聯繫起來的話,那麼它是`重要的'。因而,一個嚴肅的數學定理,聯繫著重要的數學思想,很可能導致數學,乃至其他科學的重要進展。”[2]哈代所謂數學的“嚴肅性”其實指的是它在數學思想影響上的重要性。我們注意到Tao在文[1]中表達了類似的意思:好數學的最佳例子不僅滿足該文開頭所列舉的數學品質判據(21種)中的一項或多項,“更重要的,它是一個更宏大的數學故事的一部分,那個故事的展開將產生許多不同類型的進一步的好數學。實際上,人們可以將整個數學領域的歷史看成是由少數幾個這類好故事隨時間的演化及相互影響所產生的。”同時,哈代認為數學定理的美極大地依賴於它的嚴肅性,“就像在詩歌中,一行詩句的優美可能在某種程度上依賴於它所包含的思想的重要程度一樣。”[2]
4有用的數學和無用的數學
在哈代看來,真正的、有趣的數學是無用的,有用的數學則是平凡的和枯燥的。“真正的”數學家,費爾馬、歐拉、高斯、阿貝爾和黎曼的“真正的”數學,幾乎是完全“無用的”。他在總體上從純數學中找到真正的數學。哈代認為,如果數學有什麼存在權利的話,那就是隻是作為藝術而存在,數學之實踐歸於藝術形式為最佳。[2]哈代甚至說:“我沒做過任何`有用的'事。我做出的發現沒有一個直接或間接地使得,或者好象使得世界上的善和惡增減了,使世界哪怕是稍稍地增加或減少了對人而言的舒適程度。我曾經幫助培訓其他數學家,但與我是同一類的數學家,他們的工作,就我無論如何幫助過他們去做這些工作而言,與我的一樣是無用的。用實踐的標準來衡量,我的數學生涯的價值為零;而在數學之外,我的一生無論如何都是平凡的。”這些言論使得哈代成為“好數學無用論”的代表人物而受到一些數學家批評。哈代是應用數學傳統濃厚的英國數學圈內為純粹數學的地位作辯護,也是為自己、他的合作者以及他的學生的數學工作作辯護,一些過頭的話是難免的。注意到他把相對論和量子力學歸入真正的數學,把麥克斯韋、愛因斯坦和狄拉克包括在真正數學家中,這又頗耐人尋味。數論曾被哈代看成是“無用”和“清白”的學問,哈代說“還沒有人發現過數論或相對論曾經被用於戰爭目的,而且似乎不大可能有人會在許多年後這麼做”。[2]但1982年來,哈代所鍾愛的“清白”學問數論,已經在密碼技術(“公開鑰匙”系統)、衛星信號傳輸、計算機科學和量子場論等許多部門發揮重要的有時是關鍵的作用。由此可知哈代的觀點有失偏頗。Tao在文[1]中也把好的數學應用(比如應用於物理、工程、計算機科學、統計等領域的重要問題、或將一個數學領域的結果應用於另一個數學領域)列為好數學的一項品質。早期一些數學家(如馮·諾伊曼)就反對哈代的觀點,認為搞數學而不以自然科學為指導是危險的,這幾乎肯定要引向一些可能是精巧的理論使得心靈得到某種特殊的歡娛,但卻只代表一種智力的水平,從科學或知識的觀點來看是完全沒有價值的。另外,還有一些數學家(如龐加萊)則採取中立態度:他們完全承認數學的美學方面的重要性,但覺得把自為的數學推得太遠是危險的。
5好數學創造者的年齡
哈代談到了好數學創造者的年齡。哈代認為,數學比任何其他的藝術或科學都更加是年輕人的遊戲。哈代找到了一些有力的例證。第一個例子是牛頓。牛頓50歲的時候放棄數學研究,而其興趣則早就消失了。牛頓當時無疑已認識到了,已過40的他,最偉大的創造歲月已經過去。牛頓最偉大的思想,流數術(即早期微積分)和引力定律,大約在1666年產生,時年24歲。牛頓曾回憶說,在那些歲月裡他處於創造生涯的頂峰,那時他對數學和哲學比在此後的任何時期都更為用心。牛頓直到近40歲才作出他最偉大的發現(“橢圓軌道”是在37歲),但此後發現很少,不過是修補和完善早先的發現而已。哈代還舉了幾個英年早逝的卻貢獻巨大的天才數學家的例子。伽羅華在21時去世,阿貝爾27歲,拉曼努安33歲,黎曼40歲。哈代說:“我不知道一個主要的數學進步是年過五十的數學家所開創的實例。如果一個處於成熟年齡的人對數學失去興趣,放棄了數學,這無論對數學還是對於他,損失都不像是有多麼嚴重。”[2]哈代的觀點是有相當充足理由的。數學是人類智慧高度的一把尺子,數學的每一個實質性的進步無疑都需要全新的創造。好數學的創造者,既要有不斷打破傳統思維束縛的勇氣和非凡的創造力,也要有旺盛的精力,而要勝任這樣工作的人,非年輕人莫屬。數學界最高獎菲爾茲獎獲得者就要求年齡在40週歲以下。1994年,來自英國劍橋的數學家維爾斯成功證明了困惑了世間智者358年的費爾馬大定理。這年他剛過40歲,為此他錯過了獲得菲爾茲獎的機會(不過1998年柏林國際數學家大會授予他特別榮譽獎)。1996年維爾斯成為迄今最年輕的沃爾夫獎得主。而另一個同級別的數學難題———龐加萊猜想,最近主要由來自俄羅斯的奇才佩雷爾曼攻克,他為此獲得2006年在西班牙國際數學家大會上獲得菲爾茲獎(不過他拒絕接受這一獎項)。同屆菲爾茲獎得主Tao只有31歲,美國數學會(AMS)對Tao的評價是:“他將精純的技巧、超凡入聖的獨創和令人驚訝的自然觀點融為一體。”
哈代論述好數學除了上述幾個方面外,還提及了其他一些特性,如精緻和迷人的技術、持久的價值以及創造動因等。哈代是世界一流的職業數學家,他的主要貢獻在做數學,而不在談數學。正如哈代所言,“對於一個職業數學家來說,發現自己寫作關於數學的東西,乃是一種令人洩氣的體驗。”[2]“我寫作關於數學的東西,是因為像其他已超過60歲的數學家們一樣,我不再具有能夠有效地做自己本分工作的智力上的新鮮頸兒、精力或者耐心了。”[2]但是,不管你對哈代的觀點有何看法,有一點是肯定的,那就是哈代也是一位富於獨創精神的數學思想家。
參考文獻：
[1]TaoT.Whatisgoodmathematics[EB/OL].(2006-02-13)[2008-02-28]http:www.math.ucla.edu/tao/.
[2]HardyGH.一個數學家的辯白[M].北京:商務印書館,2007:45-105.
[3]KlineM.西方文化中的數學[M].上海:復旦大學出版社,2004:1-11.
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