数学家都试图努力创造“好数学”(goodmathematics),这是他们价值所在。什么是好数学?对于这个问题,要给出普遍接受的定义,几乎是不可能的。其实斗胆对之加以定义本身就是一个问题。原因何在?首先,从更大范围来讲,给数学下一个一劳永逸的定义是不可能的,数学本身是一个历史概念,数学本身会以一种自我调整及难以预料的方式而演化。其次,数学是复杂和高维的,并不存在显而易见的“好”的标准。2006年数学界最高奖菲尔兹奖获得者T.Tao(陶哲轩)在文[1]中甚至认为“下这样定义会让我们变得傲慢自大的危险”。虽然如此,这并不妨碍众多数学家对好数学发表这样或那样的看法甚至下定义(如Tao本人)。本文主要从《一个数学家的辩白》[2]一书来评述英国著名数学家G·H·哈代对好数学的一些看法。
哈代(1877-1947),20世纪英国分析学派代表人物。哈代的数学成就是多方面的,包括定积分的数值、不等式、解析数论、单变量复变函数论、级数的收敛与发散、三角级数等。以哈代命名的定理、不等式、公式数不胜数,其中解析函数边界值形成的哈代空间Hp尤为著名。哈代与另一位英国著名分析学家利特伍德(1885-1877)长达35年的合作堪称科学史上一直为人称道的佳话。哈代还发现并提携了印度天才数学家拉马努安(1887-1920)。《一个数学家的辩白》是哈代在年过六十感到自己创造力衰减的绝望悲伤的情况下完成的一部著作。自面世以来畅销不衰,再版重印达19次之多,被众多评论家称为是“用最优雅的语言对数学真谛进行的最完美的揭示”。该书由29篇文笔生动的短文组成,内容涉及数学的特点、数学的历史掌故、数学的社会功能等。
1真正的数学起源于古希腊
哈代认为真正的数学即好数学,起源于古希腊。“希腊人是迄今对我们来说`真正的'数学家的最早的数学家。东方的数学或许只是有趣的新奇玩意儿,但希腊数学是真正的数学。”[2]哈代称希腊数学甚至比希腊文学更为持久。“阿基米德在埃斯库卢斯被忘却后,仍将长留在人们的记忆里,因为语言会灭亡,而数学思想则不会。”[2]哈代强调真正数学的无用性,这个强调甚至可能伤害了纯数学的声誉。但正是脱离实际应用的纯粹思维,催生了希腊真正的数学。美国著名数学史家M·克莱因认为,正是希腊人对美学和哲学因素作出反应的纯粹思维,决定性地塑造了数学的特征,作出了欧氏几何这样不可超越的贡献。[3]希腊哲学所关注的核心问题,是抽象的概念和最具普遍性的命题。为了得到有关精神的真理而对精神进行实验,毕竟是困难的。哲学家最基本的工具就是演绎推理,因此希腊人着手数学研究时也就偏爱这种方法了。克莱因认为,希腊的艺术、哲学和文学对现代文明仍有很大贡献,但最大限度的决定着今天文明本质的贡献,则是他们的数学。[3]
2数学比之与诗画———好数学的优美性
哈代将数学与诗画作了对比,从中我们能发现哈代衡量好数学的第一把尺子———优美性。“一位数学家就像一位画家或诗人,是模式(pattern)的创造者。如果他的模式比画家或诗人的模式的生命更加长久的话,那是因为他的模式是用思想(idea)所造就的。画家用形状和色彩创作模式,诗人则用语词。”[2]“数学家工作的对象则除了思想之外别无他物,所以更可能持久,因为思想随时间受到的磨损比字词要轻。”[2]哈代似乎采取了一种不妥协的立场,认为数学作品的价值完全由它对数学家产生的美的魅力所决定。“数学家的模式,就像画家和诗人的模式一样,必须是优美的;这些思想,就像色彩或者字词一样,必须以和谐的方式统一起来。优美性是第一道检验标准:这个世界没有为丑陋数学准备长久的地盘。”[2]数学的优美性,并不因为时间的流失而使其有所减损。2000年前欧几里得关于存在无限多素数的证明,在今天看来仍然那么新颖和重要。
3数学比之与象棋———好数学的严肃性
在谈到数学与象棋(这里指国际象棋)比较时,哈代用了“严肃性”一词。哈代认为象棋问题是名副其实的数学,但它只是以某种“无关紧要”的方式是数学。不管一步棋是多么的别出心裁和错综复杂,多么有原创性和令人惊奇,它总缺少本质性的东西。象棋问题是不重要的。就算象棋从来没有被发明过,我们也会以同样的方式去思想,然而欧几里得定理和毕达哥拉斯定理(哈代在文[2]中反复提到的古希腊一流数学的2个例子)却深刻地影响了即使是数学之外的思想。最好的数学既是严肃的,又是优美的。哈代所指的数学的严肃性,不考虑“实践上的”效果。“只有非常少的一部分数学在实践中才是有用处的,而那部分数学相对而言又是乏味的。一个数学定理的`严肃性',不在于它在实践上的效果———那往往是可以忽略不计,而在于它所关联着的数学思想是`重要的'。我们可以粗略地说,如果一个数学思想能以一种自然和富有启发性的方式,与大量的其他数学思想联系起来的话,那么它是`重要的'。因而,一个严肃的数学定理,联系着重要的数学思想,很可能导致数学,乃至其他科学的重要进展。”[2]哈代所谓数学的“严肃性”其实指的是它在数学思想影响上的重要性。我们注意到Tao在文[1]中表达了类似的意思:好数学的最佳例子不仅满足该文开头所列举的数学品质判据(21种)中的一项或多项,“更重要的,它是一个更宏大的数学故事的一部分,那个故事的展开将产生许多不同类型的进一步的好数学。实际上,人们可以将整个数学领域的历史看成是由少数几个这类好故事随时间的演化及相互影响所产生的。”同时,哈代认为数学定理的美极大地依赖于它的严肃性,“就像在诗歌中,一行诗句的优美可能在某种程度上依赖于它所包含的思想的重要程度一样。”[2]
4有用的数学和无用的数学
在哈代看来,真正的、有趣的数学是无用的,有用的数学则是平凡的和枯燥的。“真正的”数学家,费尔马、欧拉、高斯、阿贝尔和黎曼的“真正的”数学,几乎是完全“无用的”。他在总体上从纯数学中找到真正的数学。哈代认为,如果数学有什么存在权利的话,那就是只是作为艺术而存在,数学之实践归于艺术形式为最佳。[2]哈代甚至说:“我没做过任何`有用的'事。我做出的发现没有一个直接或间接地使得,或者好象使得世界上的善和恶增减了,使世界哪怕是稍稍地增加或减少了对人而言的舒适程度。我曾经帮助培训其他数学家,但与我是同一类的数学家,他们的工作,就我无论如何帮助过他们去做这些工作而言,与我的一样是无用的。用实践的标准来衡量,我的数学生涯的价值为零;而在数学之外,我的一生无论如何都是平凡的。”这些言论使得哈代成为“好数学无用论”的代表人物而受到一些数学家批评。哈代是应用数学传统浓厚的英国数学圈内为纯粹数学的地位作辩护,也是为自己、他的合作者以及他的学生的数学工作作辩护,一些过头的话是难免的。注意到他把相对论和量子力学归入真正的数学,把麦克斯韦、爱因斯坦和狄拉克包括在真正数学家中,这又颇耐人寻味。数论曾被哈代看成是“无用”和“清白”的学问,哈代说“还没有人发现过数论或相对论曾经被用于战争目的,而且似乎不大可能有人会在许多年后这么做”。[2]但1982年来,哈代所钟爱的“清白”学问数论,已经在密码技术(“公开钥匙”系统)、卫星信号传输、计算机科学和量子场论等许多部门发挥重要的有时是关键的作用。由此可知哈代的观点有失偏颇。Tao在文[1]中也把好的数学应用(比如应用于物理、工程、计算机科学、统计等领域的重要问题、或将一个数学领域的结果应用于另一个数学领域)列为好数学的一项品质。早期一些数学家(如冯·诺伊曼)就反对哈代的观点,认为搞数学而不以自然科学为指导是危险的,这几乎肯定要引向一些可能是精巧的理论使得心灵得到某种特殊的欢娱,但却只代表一种智力的水平,从科学或知识的观点来看是完全没有价值的。另外,还有一些数学家(如庞加莱)则采取中立态度:他们完全承认数学的美学方面的重要性,但觉得把自为的数学推得太远是危险的。
5好数学创造者的年龄
哈代谈到了好数学创造者的年龄。哈代认为,数学比任何其他的艺术或科学都更加是年轻人的游戏。哈代找到了一些有力的例证。第一个例子是牛顿。牛顿50岁的时候放弃数学研究,而其兴趣则早就消失了。牛顿当时无疑已认识到了,已过40的他,最伟大的创造岁月已经过去。牛顿最伟大的思想,流数术(即早期微积分)和引力定律,大约在1666年产生,时年24岁。牛顿曾回忆说,在那些岁月里他处于创造生涯的顶峰,那时他对数学和哲学比在此后的任何时期都更为用心。牛顿直到近40岁才作出他最伟大的发现(“椭圆轨道”是在37岁),但此后发现很少,不过是修补和完善早先的发现而已。哈代还举了几个英年早逝的却贡献巨大的天才数学家的例子。伽罗华在21时去世,阿贝尔27岁,拉曼努安33岁,黎曼40岁。哈代说:“我不知道一个主要的数学进步是年过五十的数学家所开创的实例。如果一个处于成熟年龄的人对数学失去兴趣,放弃了数学,这无论对数学还是对于他,损失都不像是有多么严重。”[2]哈代的观点是有相当充足理由的。数学是人类智慧高度的一把尺子,数学的每一个实质性的进步无疑都需要全新的创造。好数学的创造者,既要有不断打破传统思维束缚的勇气和非凡的创造力,也要有旺盛的精力,而要胜任这样工作的人,非年轻人莫属。数学界最高奖菲尔兹奖获得者就要求年龄在40周岁以下。1994年,来自英国剑桥的数学家维尔斯成功证明了困惑了世间智者358年的费尔马大定理。这年他刚过40岁,为此他错过了获得菲尔兹奖的机会(不过1998年柏林国际数学家大会授予他特别荣誉奖)。1996年维尔斯成为迄今最年轻的沃尔夫奖得主。而另一个同级别的数学难题———庞加莱猜想,最近主要由来自俄罗斯的奇才佩雷尔曼攻克,他为此获得2006年在西班牙国际数学家大会上获得菲尔兹奖(不过他拒绝接受这一奖项)。同届菲尔兹奖得主Tao只有31岁,美国数学会(AMS)对Tao的评价是:“他将精纯的技巧、超凡入圣的独创和令人惊讶的自然观点融为一体。”
哈代论述好数学除了上述几个方面外,还提及了其他一些特性,如精致和迷人的技术、持久的价值以及创造动因等。哈代是世界一流的职业数学家,他的主要贡献在做数学,而不在谈数学。正如哈代所言,“对于一个职业数学家来说,发现自己写作关于数学的东西,乃是一种令人泄气的体验。”[2]“我写作关于数学的东西,是因为像其他已超过60岁的数学家们一样,我不再具有能够有效地做自己本分工作的智力上的新鲜颈儿、精力或者耐心了。”[2]但是,不管你对哈代的观点有何看法,有一点是肯定的,那就是哈代也是一位富于独创精神的数学思想家。
参考文献：
[1]TaoT.Whatisgoodmathematics[EB/OL].(2006-02-13)[2008-02-28]http:www.math.ucla.edu/tao/.
[2]HardyGH.一个数学家的辩白[M].北京:商务印书馆,2007:45-105.
[3]KlineM.西方文化中的数学[M].上海:复旦大学出版社,2004:1-11.
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