歐拉公式指歐拉關於複數的公式：

相信大家非常熟悉，而對Hamilton四元數可能就比較陌生了。

這裡先簡要介紹一下。

Hamilton四元數

Hamilton四元數是一種超複數，由英國數學家Hamilton發明。複數是由實數加上虛數單位i 組成，其中i^2 = -1。 類似地，四元數都是由實數加上三個虛數單位 i、j、k 組成，一般可記為

a表示q的標量部分，v=bi+cj+dk，表示q的向量部分。所以簡單地說，四元數就是”1維實數+3維向量“的組合。

四元數的運算

四元數本身很好理解，稍微麻煩一點的是關於q的二元運算，包括加法和乘法兩種運算。加法和通常意義上的加法一樣。因為在複數i的基礎上，又引入了j和k，所以乘法需要考慮這些新元素之間的運算關係。乘法則具有如下規則：

若

則根據前面的運算規則，有

“.“和”ד表示通常意義上的向量的數量積（點乘）和矢量積（叉乘）。很神奇的計算結果，一個運算同時包含了向量的點乘和叉乘。

特別地，若a=0,則

容易知道，該乘法運算滿足結合律但不滿足交換律。

當四元數q的向量部分只有一個分量時（b

舉個運算的例子：

廣義歐拉公式

現在，我們來討論歐拉公式在四元數上地推廣，也就是：

看到這樣一個指數表達式，該如何下手呢？

一切函數都是多項式。考慮指數函數的泰勒展開：

表達式是關於q的冪次。先考慮簡單的情形，a=0，即q只包含向量部分。於是

從而

對比歐拉公式

兩者的相似性顯而易見。當q只包含一個向量分量時，關於四元數的歐拉公式就退化成了經典的歐拉公式。

最後，討論一下當a≠0的情形。容易驗證，標量和任何四元數都滿足乘法交換律和結合律。

從而

也就是歐拉公式在四元數上最一般的形式。

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關鍵字: 四元 歐拉 威廉·哈密頓