本文將略述數論中的歐拉函數的推廣與素數分佈的關係。
設x是給定的自然數，p_i是其素因數，n是x中素因數的個數。歐拉函數ψ(x)表示小於x並且與x互素的自然數的個數。則有：
例如，若x=30，由於30的素因數為2、3、5，則有ψ(30)＝30·(1－1/2)(1－1/3)(1－1/5)＝8。其中1，7，11，13，17，19，23，29與30互素。
如果我們想計算不大於30的素數個數，是否也可利用類似歐拉函數的思路呢？
我們不妨將p_i與n重新定義。將p_i定義為不大於√30的素數，剛好也是2，3，5；將n定義為不大於√30的素數個數，則n＝3。
於是30以內不能為2，3，5整除的數的個數為ψ(30)＝30·(1－1/2)(1－1/3)(1－1/5)＝8。而這其中，除了自然數1以外其他7個數必然是素數。因此30以內的素數個數是：
ψ(30)＋n－1＝8＋3－1＝10。
如果π(x)表示不大於x的素數的個數，p_i表示不大於√x的素數，n表示不大於√x的素數的個數，ψ(x)表示不大於x且不能為所有不大於√x的素數整除的個數，於是必有：
π(x)～ψ(x)＋n－1
注意，這裡的ψ(x)已經不是歐拉函數，而是歐拉函數的推廣形式。
我們知道，根據素數定理有π(x)～x/ln x。那麼ψ(x)＋n－1與x/ln x是什麼關係呢？
事實上，ψ(x)＋n－1～x/ln x，並且ψ(x)＋n－1≥x/ln x。
不妨以x=1000為例。根據π(x)～x/ln x，則有π(1000)～1000/ln 1000≈144。估算出來1000以內的素數多於144個。
我們再根據π(x)～ψ(x)＋n－1來進行計算。不大於√1000的素數為2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，因而n＝11
於是：
π(1000)～ψ(1000)＋11－1
＝1000·1/2·2/3·4/5·6/7·10/11·12/13·16/17·
18/19·22/23·28/29·30/31＋10
＝1000·13271040/86822723＋10
≈152＋10＝162
1000以內的素數實際有168個，顯然用π(x)～ψ(x)＋n－1比用π(x)～x/ln x計算繁瑣得多，但是精確度提高了不少。
這一新的素數分佈公式π(x)～ψ(x)＋n－1的更大價值其實在於用於證明而不是計算。我們可以很方便地用之於證明貝特朗定理，也即證明：在自然數x～2x之間必有素數存在。
此時令p_i表示不大於√2x的所有素數，令n表示不大於√2x的所有素數的個數，標記S為x～2x之間的素數個數。
於是必有：
S～ψ(2x)/2
＝x·1/2·2/3·4/5·……·(p_n－1)/p_n
＞x/p_n
＞1
由此可見，在自然數x～2x之間必有素數存在。命題得證。
上述方法的進一步推廣，可用之於哥德巴赫猜想、孿生素數猜想、波利尼亞克猜想以及格林-陶定理的證明。
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