映射
映射其實是個很直觀的概念，如：陽光下人在地面上的投影、攝影、三角形的外接圓、y = x²、y' = (d/dx)y 等等。
數學上看，映射由三部分組成：原像空間（集合）X、像空間（集合）Y、規則f。表示為：
f:X→Y
其意義是X中的任一元素x（或稱原像）在Y中有唯一的一個元素y（或稱像）按規則f與之對應。這裡有兩個重點，1）“X中的任一元素x”，這意味著X中任一元素都適合規則f，即X就是規則f的定義域（記為Df，顯然 Df = X）；2）“Y中有唯一的一個元素按規則f與之對應”，這意味著與原像x對應的像是唯一的，即所謂的單值性。
雖然規則f的定義域就是原像空間X，但其通過規則f映射到像空間Y中的所有元素組成的集合（稱值域，記為Rf）未必就是像空間Y本身，一般為Y的子集（即Rf⊆Y）。此外，不同的原像x還可以通過規則f映射到同一個像y上，即按規則f對應於像y的原像不要求唯一。
如果對應於像y的原像x唯一（即若原像x1和x2的像是同一個y，則x1 = x2），此映射則被稱為單射。如果映射的值域Rf等於像空間Y（即Rf = Y），則此映射被稱為滿射。若兩個都成立（即既是單射又是滿射），則此映射稱為雙射（或一一對應）。
對於單射，由於值域Rf（Rf⊆Y）中的每個像y在原像空間X中都存在唯一的原像x與之對應，顯然可構造一個映射，記為：
f⁻¹:Rf→X
此映射被稱為映射f:X→Y的逆映射。顯然，此逆映射的定義域是Rf，值域是X（即滿射）。此外，由原映射的像唯一性可知其逆映射必然是個單射，故f⁻¹:Rf→X是個雙射。
單射是逆映射存在的充要條件。
如果存在兩個映射
f:X→Y
g:Y→Z
並且滿足Rf⊆Y（或Rf⊆Dg），則可構造一個映射g•f，表示為
g•f:X→Z
其意義是X中任一元素x先根據規則f映射到Y中的元素y，然後再根據規則g（由Rf⊆Dg確保y∈Dg）將y映射到Z中的元素z。映射g•f:X→Z被稱為映射f:X→Y和g:Y→Z的複合映射。
函數
y = f(x) = sin(x)
z = g(y) = √y
顯然，這是個複合函數（√sin(x)）。由於Dg = {y|y≥0}，所以必須有Rf = Dg ∩ {y|-1≤y≤1} = {y|0≤y≤1}。由此可知複合函數z = g•f(x) = √sin(x)的定義域為Dgf ={x|2kπ≤x≤(2k + 1)π,k∈N} = X。可將其表示為
g•f:X→R
其中R為實數域，而g•f的值域是Rgf = {z|0≤z≤1}⊂R。
三，函數
y = f(x) = x² (x≥0)
這個函數可表示為
f:X→R
其中X = Df = {x|x≥0}，而且Rf = {y|y≥0}⊂R。一般而言，有x = ±√y，但因為有x≥0的定義域限制顯然此映射是個單射，所以存在逆映射
f⁻¹:Rf→X
即存在反函數
x = √y
其實從映射的角度看來函數並不是個什麼新玩意兒，其僅是個實數域上的映射而已。可表示成
f:X→R
其中X⊂R。
由於函數是實數域上的映射，實數域的特殊性質將反映到相應的映射中去，如實數的線性有序性、連續性和四則運算。函數映射所具備的特殊性質有：
1）函數的有界性
由於實數域具有線性有序性，函數值就可以比較大小。如果某函數其值小於常數M或大於常數m，則稱此函數有上界M或下界m。
2）函數的單調性
如果對任意x1〉x2存在關係f(x1)≥f(x2)（或f(x1)≤f(x2)）,則稱函數f(x)單調增加（或單調減小）。若等號不成立，則為嚴格單調增加（或嚴格單調減小）。
3）函數的奇偶性
如果存在關係f(x) = f(-x)，則此函數為偶對稱；而如果存在關係f(x) = -f(-x)，則此函數為奇對稱。
4）函數的週期性
如果存在實常數T使f(x) = f(x + T)，則稱函數f(x)為週期函數。
由於嚴格單調函數必為單射（存在逆映射），所以嚴格單調函數必存在相應的反函數。需注意的是，嚴格單調是反函數存在的充分條件，但並不必要。
函數中與複合映射概念類似的是複合函數。複合映射中的所有特性在複合函數中都存在。
下面給出三個基本初等函數，由此通過反函數與複合函數以及有限次四則運算可得到所有的初等函數。
1）冪函數
y = x^μ
其中μ是實常數。當μ=0時y = 1，這是個常數函數。
2）指數函數
y = e^x
由於指數函數具有嚴格單調性，所以其存在反函數，表為
y = ln(x)
由此，一般的指數函數可表示成
y = a^x = e^(ln(a)x)
其中a是大於零的實數。
3）三角函數
y = sin(x)
這裡只需給出正弦函數，其他各三角函數都可以通過正弦函數有限次複合和四則運算得到。由於三角函數是個週期函數，顯然不是單射，故一般意義下不存在反函數。如果將三角函數的定義域Df（即X）限制在一個特定的週期內，就可以得到相應的嚴格單調函數，由此則可定義特定週期內三角函數的反函數，而此特定週期被稱為相應反三角函數的主值範圍。
對於初等函數，雖然沒有象映射那樣特別給出其自變量的取值範圍X（及定義域Df），但每個初等函數都有其自身所要求的自變量取值範圍以保證函數在實數域內有意義，而此範圍被稱為初等函數的自然定義域。
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