思考題詳解之人教版《數學》三年級上冊1： 不要得到了標準答案就停止了思考
2018年12月31日星期一
最近，身體和時間條件略微具備了一些，興之所致，計劃寫一個系列，名曰：思考題詳解。這個系列在計劃之初設定這樣一些特點：緊扣課本，面向星號（*）題、思考題、難題。所以作此界定，一是數量少了，二是不做與平時課堂重複的事情。需要特別聲明的是，但凡課本上的內容，在課堂當中都是“講透”了的。當然，學生是否“學透”，我也是有個籠統、整體的判斷的：在基礎題上，有著教學任務的剛性要求，自不敢怠慢；在提高題上，由於本人之興趣，雖然這些題“考試常不作要求”、“出力不討好”，但我依然樂此不疲，願意花課堂時間，無奈時間有限，往往只能是擇其要者，而不敢過多演繹，除了時間之故，有時也是為了防止搞亂“基礎生”的思維。這些題著實是有著進一步挖掘的必要的，至少，我期望在假期來臨之際，孩子們不是簡單地把學過的數學課本“滿意”地丟在一邊，甚或送進垃圾站，換幾個小錢，名曰“經濟頭腦”。
作為一個系列的開篇之作，我選擇了人教版《數學》三年級上冊的第四章“萬以內的加法和減法（二）”的第一節“加法”後面的練習八題10。這種選擇是不講邏輯道理的，我並沒有按照思考題出現的先後順序謀篇佈局，只是依據我寫作時的興趣狀態。我只是感覺：一個舒服的寫作狀態，是其作文讀起來舒服的必要條件之一。我以這種“寫作狀態”，意圖確保“寫作質量”，是其不講邏輯道理之處。
題如下：
人教三數上冊40頁題10
文字版整理如下：
“
10.只用數字8組成五個數，填入下面的括號裡，使等式成立。
（ ）＋（ ）＋（ ）＋（ ）＋（ ）＝1000
”
（一）
讓我們從全面、深入理解題意開始。
1.什麼叫“只用數字8組成”？
此時的加數只能選自以下集合：
A＝{8，88，888，8888，88888，888888，……}
這個集合A（這樣命名是為了下文引用的方便和準確），好比一個菜籃子，今天做的飯菜，食材只能從這個籃子裡選。籃子裡沒有雞蛋時，您是不能做西紅柿炒雞蛋、蛋炒飯之類的。
2.“和”為什麼是1000？這個“和”有什麼特點？
顯然：它是一個整千數。您可以推廣一下：100，10000，100000，200，2000，5000，60000，……
但是，為什麼一定是整十、整百、整千、……數呢？
就讓我們隨意地從集合A中抓取若干個數作為加數，求一求和，看看情況。
8＋8＋8＝24
8＋88＋88＋88＝272
8＋88＋888＋8888＋88888＝98760
……
您會發現，我們可以構造出無窮多個這樣的加法算式，產生無窮多種“和”。在這些“和”中，或許人們覺得，類似：10，100，1000，10000，100000，……這個系列是最有意思的。的確，這樣的設計除了“有趣”，也是為了確保一定的思維價值。
本點的討論我們也有所得：這個“和”不可能是奇數，也就是個位數字為1、3、5、7、9的數字。對於三年級學生而言：
1×8＝8
2×8＝16
3×8＝24
4×8＝32
5×8＝40
6×8＝48
7×8＝56
8×8＝64
9×8＝72
10×8＝80
……
因為8的乘法口訣所得積的個位數字只能是數字：8、6、4、2、0的循環，而不可能出現其他的數字“兄弟”。
3.加數的個數為什麼是“五個”？
這個問題的原因一方面是與“和的確定”有關的。我在平時的課堂中，早都幫助學生總結過，在45句“小九九乘法口訣”中，能夠乘出0這個數字的乘法口訣只有4句，就是：
2×5＝10
4×5＝20
6×5＝30
8×5＝40
現在您讓一堆“只用數字8”組成的數字求和得到一些整十數、整百數、整千數、……，其所有加數個位上的數字8的和必須能“湊十”。如此，加數的個數應當是：5個、10個、15個、20個、……
另一方面，或許加數個數最少的才最具有價值。比如：
125×8＝1000（這是小學生的老朋友，還有一個：25×4＝100）
11×88＋4×8＝1000
如果您通透乘法的意義，自然可以將其寫成加法的形式：
第二個算式可以看成是將其中每11個8結合成了88。於是，第一個算式有125個加數，第二個算式有15個加數。或許，這兩個算式的確太平凡了，必是找出那個“五個數”的才算是精彩！
（二）
接下來尋找算法。
如果嚴格按照教材的進度，學生此時尚未學習“連續退位減”，只能依據加法。此時比較折騰，過程大抵如下：
①88＋88＋88＋88＋88＝440
距離1000差遠了，必須得有一個888，因為888＋888＞1000。
②888≈900，距離1000差100多。
8＋8＋8＋8＝32（其餘4個框全填8）
4個8只有32，距離100多嚴重不夠，必須得有一個88（因為2個88都接近200了），其餘全用8來湊。
③最終結果猜測如下：
888＋88＋8＋8＋8
驗證即得：
888＋88＋8＋8＋8＝1000
這個方法可以冠名為“嘗試法”，以猜測和驗證為特點，這是和小學生特定的學習階段相適應的。當然這個方法很low，如果整數減法的技能學習完全了，倒是可以用減法得到一種“構造法”。
（重要程度★★★★★）
①1000＜8888，1000－888＝112
如果和為不大於8888的4位數，第一次必減3個8組成的888。以不太準確的語言描述一般情況為：和為n位數，首次減n位全是8的數字或n－1位全是8的數字，後面類同。
②112＜888，112－88＝24
③24＜88，24－8＝16
④16＜88，16－8＝8
⑤8＝8，8－8＝0
故而：1000＝888＋88＋8＋8＋8
用此法可以輕鬆地得到：
10000＝8888＋888＋88＋88＋8＋8＋8＋8＋8＋8（共10個加數）
100000＝88888＋8888＋888＋888＋88＋88＋88＋88＋88＋8（共10個加數）
4000＝888＋888＋888＋888＋88＋88＋88＋88＋88＋8（共10個加數）
……
如果我們繼續冷靜分析，仔細觀察，就會發現：
1.有些數，比如10、100、300、……，是不可能表達成全由數字8組成的加數的求和算式的：
10＝8＋2
100＝88＋8＋4
300＝88＋88＋88＋8＋8＋8＋8＋4
……
原因很簡單：和必須是8的倍數，10、100、300不是8的倍數（這一點至少要有完備的整數乘除法技能才能理解，三年級學生目前還不具備）。
2.用這個“構造法”得到的加數的個數是所有可能結果中最少的。
這個結論已經具備一些震驚、狂妄、絕對的特點了。我不能給出嚴密的數學證明，但至少我可以說明一點：在這個加法算式中，再無結合至少2個加數產生新的全由8組成的加數的可能。當然，這句話也需要嚴謹地證明，而非說明。不過，那並不是我所樂見的，哈哈。
3.如果您懷疑“加數個數最少”的結論，可以想想另外一個問題：5個加數的還有哪些？是無窮多的嗎？
（三）
全由數字8組成的五個加數，其和為幾十、幾百、幾千、幾萬、……數的，只有4種情況：
式一：40＝8＋8＋8＋8＋8
式二：200＝88＋88＋8＋8＋8
式三：1000＝888＋88＋8＋8＋8
式四：9000＝8888＋88＋8＋8＋8
這個結論是不是更加地狂妄了？它給人的感覺就是錯誤的，而且語氣如此冒失和肯定！
但是，我打算給出一種利用“加法豎式”的證明。
五個加數相加，最大進4，因為：5×9＝45。上述和的位數比最大加數的位數頂多多一位。當然，加數您可以選擇8888、88888、888888、……，也即不見得非是上面的三個框，這些框只是為了輔助思考。
1.個位上從上到下5個框必須都填8；
如果就此打住，得到式一。
2.個位向十位進4，如果十位要繼續湊十，則有：
1×8＝8
2×8＝16
3×8＝24
4×8＝32
5×8＝40
只有十位填進去2個8時，才有可能湊十，如果就此打住，得到式二。
3.十位向百位進2，如果百位要繼續湊十，則有：
1×8＝8
2×8＝16
為何是兩種情況？因為十位只能填進2個8，百位自然最多填進2個8，否則，就會出現808，這是不合題意的。
顯然，只有：8＋2＝10，於是得到式三。
4.百位向千位進1，如果千位要繼續湊十，則有：
1×8＝8
為何只有一種情況？因為百位只填進去了1個8，千位最多填進1個8，否則，就會出現8088、8008，這也是不合題意的。
顯然：8＋1＝9，千位再無可能湊十，也即不可能再向萬位進位，只能得到最後一個式四。
（四）
也許細心的學習者此時會發現：所謂“和是整十、整百、整千、……數”的概括其實是不準確的，嚴格來說應當是“和是幾十、幾百、幾千、……數”。
（重要程度★★★★★）
1.幾十數有9個：10、20、……、90；
整十數有無窮多：10、20、110、120、540、9980、……
2.幾百數有9個：100、200、……、900；
整百數有無窮多：100、200、1100、1200、5400、99800、……
3.幾千數有9個：1000、2000、……、9000；
整千數有無窮多：1000、2000、11000、12000、54000、998000、……
……
N.既有：9000＝8888＋88＋8＋8＋8
就可以輕易有：
這樣下去問題是不是沒有意義了？對“和”的限定恰好是為了有趣，也是為了提升思維價值。有時，準確、深入、全面地理解題意，甚至比得到一個答案更加重要，不要讓答案阻礙我們進一步地思考。
再會。
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