發現了一篇很好的博客，地址如下：
https://blog.csdn.net/lycb_gz/article/details/8201987
1.CRC校驗原理
CRC校驗原理看起來比較複雜，好難懂，因為大多數書上基本上是以二進制的多項式形式來說明的。其實很簡單的問題，其根本思想就是先在要發送的幀後面附加一個數（這個就是用來校驗的校驗碼，但要注意，這裡的數也是二進制序列的，下同），生成一個新幀發送給接收端。當然，這個附加的數不是隨意的，它要使所生成的新幀能與發送端和接收端共同選定的某個特定數整除（注意，這裡不是直接採用二進制除法，而是採用一種稱之為“模2除法”）。到達接收端後，再把接收到的新幀除以（同樣採用“模2除法”）這個選定的除數。因為在發送端發送數據幀之前就已通過附加一個數，做了“去餘”處理（也就已經能整除了），所以結果應該是沒有餘數。如果有餘數，則表明該幀在傳輸過程中出現了差錯。
說明：“模2除法”與“算術除法”類似，但它既不向上位借位，也不比較除數和被除數的相同位數值的大小，只要以相同位數進行相除即可。模2加法運算為：1+1=0，0+1=1，0+0=0，無進位，也無借位；模2減法運算為：1-1=0，0-1=1，1-0=1，0-0=0，也無進位，無借位。相當於二進制中的邏輯異或運算。也就是比較後，兩者對應位相同則結果為“0”，不同則結果為“1”。如100101除以1110，結果得到商為11，餘數為1，如圖5-9左圖所示。如11×11=101，如圖所示：
具體來說，CRC校驗原理就是以下幾個步驟：
（1）先選擇（可以隨機選擇，也可按標準選擇，具體在後面介紹）一個用於在接收端進行校驗時，對接收的幀進行除法運算的除數（是二進制比較特串，通常是以多項方式表示，所以CRC又稱多項式編碼方法，這個多項式也稱之為“生成多項式”）。
（2）看所選定的除數二進制位數（假設為k位），然後在要發送的數據幀（假設為m位）後面加上k-1位“0”，然後以這個加了k-1個“0“的新幀（一共是m+k-1位）以“模2除法”方式除以上面這個除數，所得到的餘數（也是二進制的比特串）就是該幀的CRC校驗碼，也稱之為FCS（幀校驗序列）。但要注意的是，餘數的位數一定要是比除數位數只能少一位，哪怕前面位是0，甚至是全為0（附帶好整除時）也都不能省略。
（3）再把這個校驗碼附加在原數據幀（就是m位的幀，注意不是在後面形成的m+k-1位的幀）後面，構建一個新幀發送到接收端，最後在接收端再把這個新幀以“模2除法”方式除以前面選擇的除數，如果沒有餘數，則表明該幀在傳輸過程中沒出錯，否則出現了差錯。
從上面可以看出，CRC校驗中有兩個關鍵點：一是要預先確定一個發送端和接收端都用來作為除數的二進制比特串（或多項式）；二是把原始幀與上面選定的除進行二進制除法運算，計算出FCS。前者可以隨機選擇，也可按國際上通行的標準選擇，但最高位和最低位必須均為“1”，如在IBM的SDLC（同步數據鏈路控制）規程中使用的CRC-16（也就是這個除數一共是17位）生成多項式g（x）= x16 + x15 + x2 +1（對應二進制比特串為：11000000000000101）；而在ISO HDLC（高級數據鏈路控制）規程、ITU的SDLC、X.25、V.34、V.41、V.42等中使用CCITT-16生成多項式g（x）=x16 + x15 + x5 +1（對應二進制比特串為：11000000000100001）。
2.CRC校驗碼的計算實例
由以上分析可知，既然除數是隨機，或者按標準選定的，所以CRC校驗的關鍵是如何求出餘數，也就是CRC校驗碼。下面以一個例子來具體說明整個過程。現假設選擇的CRC生成多項式為G（X） = X4 + X3 + 1，要求出二進制序列10110011的CRC校驗碼。下面是具體的計算過程：
（1）首先把生成多項式轉換成二進制數，由G（X） = X4 + X3 + 1可以知道它一共是5位（總位數等於最高位的冪次加1，即4+1=5），然後根據多項式各項的含義（多項式只列出二進制值為1的位，也就是這個二進制的第4位、第3位、第0位的二進制均為1，其它位均為0）很快就可得到它的二進制比特串為11001。
（2）因為生成多項式的位數為5，根據前面的介紹，得知CRC校驗碼的位數為4（校驗碼的位數比生成多項式的位數少1）。因為原數據幀10110011，在它後面再加4個0，得到101100110000，然後把這個數以“模2除法”方式除以生成多項式，得到的餘數，即CRC校驗碼為0100，如圖所示。注意參考前面介紹的“模2除法”運算法則。
（3）把上步計算得到的CRC校驗碼0100替換原始幀101100110000後面的四個“0”，得到新幀101100110100。再把這個新幀發送到接收端。
（4）當以上新幀到達接收端後，接收端會把這個新幀再用上面選定的除數11001以“模2除法”方式去除，驗證餘數是否為0，如果為0，則證明該幀數據在傳輸過程中沒有出現差錯，否則出現了差錯。
解釋與說明：G（X） = X4 + X3 + 1的意思是有5位比特，為什麼是5，比如二進制110化為十進制：1*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0，也就是2的多少次冪比如這裡的X4正好對應的是2^4方，X3表示的是2^3，1對應2^0，其他的位就是0嘛，正好就是一個多項式，換句話說就像線性代數一個矩陣對應一個組方程（一年沒接觸了，我記得好像有一一對應的關係），這裡就是一個二進制數對應一個多項式。
還有一點要說明的是5位二進制為什麼用4位來構成一個新的幀。書上的原話是：發送方和接收方必須先協商一個r+1比特模式。或許與多項式有關係，比如多項式的最高次冪是4的話，那麼就需要用5位了。
2018/12/2 21:10 慕名蘭
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