解與反比例函數有關的圖象的公共點問題，可轉化為一元二次方程根的情況，用判別式來輔助計算.我們知道:當判別式(△)>0時<=>一元二次方程有兩個不相等的實數根<=>相應的二次函數圖象與x軸有兩個不同的交點;當判別式(△)=0時<=>一元二次方程有兩個相等的實數根<=>相應的二次函數圖象與x軸有一個交點;當判別式(△<0)時<=>一元二次方程沒有實數根<=>相應的二次函數圖象與X軸無交點，利用這些關係就能解決有關函數圖象的公共點問題.
【題目呈現】
一.無公共點(△<0)
1.若反比例函數y=K/x與一次函數y=x+2的圖象沒有公共點，求K的取值範圍.
【分析】看到條件沒有公共點，就應想到一元二次方程根的判別式(△)，於是化y=K/x，與y=x+2組成的方程組為:x²+2x一K=0，若此方程有兩個不相等的實數根也即△>0，則函數y=K/x與一次函數y=x+2的圖象有兩個不同的交點，若有兩個相等的實數根也即△=0，則函數y=K/x與一次函數y=x+2的圖象有一個交點，若無實數根也即△<0，則函數y=K/x與一次函數y=x+2的圖象無交點，所以，由△<0，即2²一4×1×(一K)<0，得K
2.已知拋物線y=x²+2x一m一2與x軸沒有交點，則函數y=m/x的大致圖象是(____)
【分析】由於拋物線與x軸無交點，∴△<0，即2²一4(一m一2)<0，解得m
二.有唯一公共點(△=0)
3.已知反比例函數y=K/x的圖象過點A(3，1).
(1)求反比例函數的解析式;
(2)若一次函數y=ax+6(a≠0)的圖象與反比例函數的圖象只有一個交點，求一次函數的解析式.
【分析】(1)把A(3，1)的座標代入y=K/x得K=3，∴解析式為y=3/x.
(2)∵一次函數y=ax+6與反比例函數y=3/x的圖象只有一個交點，∴它們聯立化簡後的一元二次方程根的判別式等於0，可求得a.化簡後的一元二次方程為ax²+6x一3=0，△=36+12a=0，解得a=一3，∴一次函數的解析式為y=一3x+6.
三.有兩個公共點(a>0)
4.如圖，一次函數y=一x+8和反比例函數y=K/x的圖象在第一象限內有兩個不同的公共點，且一次函數的圖象與y軸交於點C.
(1)求實數K的取值範;
(2)若△AOB的面積為24，求K的值.
【分析】(1)∵一次函數與反比例函數有兩個不同的公共點，∴聯立y=一x十8與y=k/X並化簡得，X²一8x+K=0，由△>0，即8²一4K>0，解得K<16，又知K>0，∴0 (2)這一問看上去條件少，我們設A點座標為(x1，y1)，B點座標為(x2，y2)，由y=一x+8，令x=0，可得y=8，∴OC=8，由於S△COB=x2OC/2，S△COA=x1OC/2，則S△AOB=S△COB一S△COA=24，即S△AOB=OC(x2一x1)/2=24，∴24=4(x2一x1)，∴(x2一x1)²=36，∴(x1+x2)²一4x1x2=36，由(1)知x1，x2為方程x²一8X+K=0，的兩個根，∴x1+x2=8，x1x2=K，∴8²一4K=36，K=7.(這裡巧用了根與係數的關係).還可以這樣，過A點作AE⊥x軸於E，過B點作BF⊥x軸於F，如圖: 由於S△AOE=S△BOF=K/2，∴S△AOB=S梯形AEFB=1/2(AE十BF)EF=1/2(y1十y2)(x2一x1)，而y1=一x1+8，y2=一x2+8，∴上式變為，(一x1+8一x2+8)(x2一x1)/2=24，整理得[一(x1十x2)十16](x2一x1)/2=24，由上邊根與係數關係知x1十x2=8，∴上式化簡為:x2一x1=6，結合x1十x2=8，可得x2=7，則y2=1，即B點座標為(7，1)，∴K=7.(題中給出三角形的面積一般是不規則三角形面積，往往通過割補法，轉化為規則圖形面積的和或差進行計算，是一種化斜為直的思想，同學們需認真體會). 四.有公共點(△≥0) 5.若一次函數y=mx十6的圖象與反比例函數y=n/x在第一象限的圖象有公共點，求mn的範圍. 
【分析】由兩函數解析式聯立化簡得，mx²+6x一n=0，由於有公共點，∴△≥0，即6²+4mn≥0，解得mn≥一9.
6.如圖，過點C(1，2)分別作x軸、y軸的平行線，交直線y=一x+6於點A，B，若反比例函數y=K/x(x>0)的圖象與△ABC的邊有公共點，求K的取值範圍.
【分析】當反比例函數圖象過點C(1，2)時K最小，∴K=1×2=2，隨著k的增大(K>0)，反比例函數圖象離C點越來越遠，至到與直y=一x+6只有一個公共點時K最大，所以聯立y=K/x與y=一x+6得，x²一6x+K=0，此時△=0，即6²一4K=0，解得K=9，∴K的範圍是2≤K≤9.
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