03.29 初中數學：解析與函數有關的動點問題。

在中考數學中，提到動點問題，總會讓很多學生感到頭痛不已，一方面此類題型是中考數學的熱點和必考題型之一，另一方面此類題型綜合性強、難度大，題目變化多端，解法靈活，造成很多學生得分率較低，成為中考數學一個重難點。

在初中數學知識範圍內，我們主要學習到三大函數，分別是一次函數、反比例函數、二次函數。三大函數雖然定義不一樣，但本質是一樣，那就是我們把在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果對於x的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應，那麼就說x是自變量，y是x的函數。

在某一變化過程中，可以取不同數值的量叫做變量，數值保持不變的量叫做常量。

一、與一次函數相關的動點問題

一次函數是函數中的一種，一般形如y=kx+b（k,b是常數，k≠0），其中x是自變量，y是因變量。特別地，當b=0時，y=kx（k為常數，k≠0），y叫做x的正比例函數。

典型例題分析1：

如圖所示，四邊形OABC是矩形，點A、C的座標分別為（-3，0），（0，1），點D是線段BC 上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線y=x/2+b交折線OAB於點E．

（1）記△ODE的面積為S，求S與b的函數關係式；

（2）當點E在線段0A上時，且tan∠DEC=1/2．若矩形OABC關於直線DE的對稱圖形為四邊形O1A1B1C1，試探究四邊形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由．

考點分析：

一次函數綜合題；綜合題．

題幹分析：

（1）要表示出△ODE的面積，要分兩種情況討論，①如果點E在OA邊上，只需求出這個三角形的底邊OE長（E點橫座標）和高（D點縱座標），代入三角形面積公式即可；②如果點E在AB邊上，這時△ODE的面積可用長方形OABC的面積減去△OCD、△OAE、△BDE的面積；（2）重疊部分是一個平行四邊形，由於這個平行四邊形上下邊上的高不變，因此決定重疊部分面積是否變化的因素就是看這個平行四邊形落在OA邊上的線段長度是否變化．

解題反思：

本題是一個動態圖形中的面積是否變化的問題，看一個圖形的面積是否變化，關鍵是看決定這個面積的幾個量是否變化，本題題型新穎是個不可多得的好題，有利於培養學生的思維能力，但難度較大，具有明顯的區分度．

二、與反比例函數相關的動點問題

一般地，函數y=k/x（k是常數，k≠0）叫做反比例函數。反比例函數的解析式也可以寫成y=kx-1的形式。自變量x的取值範圍是x≠0的一切實數，函數的取值範圍也是一切非零實數。

典型例題分析2：

如圖，一次函數y＝k1x＋b的圖象經過A（0，－2），B（1，0）兩點，與反比例函數y=k2/x的圖象在第一象限內的交點為M，若△OBM的面積為2．

（1）求一次函數和反比例函數的表達式；

（2）在x軸上是否存在點P，使AM⊥MP？若存在，求出點P的座標；若不存在，說明理由．

考點分析：

反比例函綜合問題；探究型。

題幹分析：

（1）根據一次函數y＝k1x＋b的圖象經過A（0，－2），B（1，0）可得到關於b．k1的方程組，進而可得到一次函數的解析式，設M（m，n）作MD⊥x軸於點D，由△OBM的面積為2可求出n的值，將M（m，4）代入y＝2x－2求出m的值，由M（3，4）在雙曲線y=k2/x上即可求出k2的值，進而求出其反比例函數的解析式；

（2）過點M（3，4）作MP⊥AM交x軸於點P，由MD⊥BP可求出∠PMD＝∠MBD＝∠ABO，再由銳角三角函數的定義可得出OP的值，進而可得出結論。

解題反思：

本題考查的是反比例函數與一次函數的交點問題，涉及到的知識點為用待定係數法求一次函數與反比例函數的解析式．銳角三角函數的定義，熟知以上知識是解答此題的關鍵。

三、與二次函數相關的動點問題

一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0），那麼y叫做x 的二次函數。

y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）叫做二次函數的一般式。

典型例題分析3：

如圖1，拋物線y=ax2+bx+3經過點A（﹣3，0），B（﹣1，0）兩點，

（1）求拋物線的解析式；

（2）設拋物線的頂點為M，直線y=﹣2x+9與y軸交於點C，與直線OM交於點D，現將拋物線平移，保持頂點在直線OD上，若平移的拋物線與射線CD（含端點C）只有一個公共點，求它的頂點橫座標的值或取值範圍；

（3）如圖2，將拋物線平移，當頂點至原點時，過Q（0，3）作不平行於x軸的直線交拋物線於E．F兩點，問在y軸的負半軸上是否存在一點P，使△PEF的內心在y軸上，若存在，求出點P的座標；若不存在，說明理由．

考點分析：

二次函數綜合題。

題幹分析：

（1）根據拋物線y=ax2+bx+3經過點A（﹣3，0），B（﹣1，0）兩點，代入解析式求出即可；

（2）由（1）配方得y=（x+2）2﹣1，利用函數平移①當拋物線經過點C時，②當拋物線與直線CD只有一個公共點時，分別分析求出；

（3）由點E．F的座標分別為（m，m2），（n，n2），得出m+n=km•n=﹣3，利用作點E關於y軸的對稱點R（﹣m，m2），作直線FR交y軸於點P，

由對稱性知∠EFP=∠FPQ，此時△PEF的內心在y軸上，求出即可．

解題反思：

此題主要考查了二次函數的綜合應用以及三角形內心的特點，二次函數的綜合應用是初中階段的重點題型特別注意利用數形結合以及分類討論是這部分考查的重點也是難點同學們應重點掌握。

考生面對動點綜合問題，首先心理上不要去害怕，學會從題型上找方法，找解題突破口。

動點綜合問題之所以會難，主要在於它能把很多知識內容結合在一起，形成不同類型的動點綜合問題，如今天講的函數動點綜合問題。如果你想要在中考數學中拿到此類題型的分數，就要把一次函數、反比例函數、二次函數的知識概念，圖象與性質等，徹底掌握好，提高分析問題和解決問題的能力，這樣才能在中考中戰勝動點問題，取得高分。