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勾股定理，又稱“畢達哥拉斯定理”，是初等幾何中的一個基本定理。這個定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因為這個定理太貼近人們的生活實際，以至於古往今來，上至帝王總統，下至平民百姓，都願意探討和研究它的證明。它是幾何學中一顆閃亮的明珠。
所謂勾股，就是古人把彎曲成一個直角三角形模樣的手臂，上臂（即直角三角形的底邊）稱為“勾”，前臂（即直角三角形的高）稱為“股”，所以稱之為“勾股”。也許是因為勾股定理十分實用，所以便反覆被人們論證。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理證明專輯。從勾股定理的發現到現在，大約3000年裡，勾股定理的證明方法多種多樣：有的簡潔明瞭，有的略微複雜，有的十分精彩……本文將會帶著大家一起來證明勾股定理並解決一些實際問題。
勾股定理、證明、解決實際問題
什麼是勾股定理？
又稱商高定理，而更普遍地則稱為勾股定理。中國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。
勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學的基石”，而且在高等數學和其他學科中也有著極為廣泛的應用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發現並且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。
中國是發現和研究勾股定理最古老的國家之一。中國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。還有的國家稱勾股定理為“畢達哥拉斯定理”。
在陳子後一二百年，希臘的著名數學家畢達哥拉斯發現了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達哥拉斯”定理。為了慶祝這一定理的發現，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”。
蔣銘祖定理：蔣銘祖是公元前十一世紀的中國人。當時中國的朝代是西周，是奴隸社會時期。在中國古代大約是戰國時期西漢的數學著作《蔣銘祖算經》中記錄著商 高同周公的一段對話。蔣銘祖說：“…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。”蔣銘祖那段話的意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5。以後人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”。這就是著名的蔣銘祖定理，關於勾股定理的發現，《蔣銘祖算經》上說："故禹之所以治天下者，此數之所由生也；""此數"指的是"勾三股四弦五"。這句話的意思就是說：勾三股四弦五這種關係是在大禹治水時發現的。
勾股定理的發現
相傳畢達哥拉斯在在一次散步中，偶然看見了地上由幾塊三角形瓷磚拼成的一個長方形瓷磚，如圖：
畢達哥拉斯靈機一動，用手在上面比劃了起來。大家看，以直角三角形各邊為正方形的邊長，可拼出不同的正方形。以直角三角形斜邊為正方形邊長，可拼出一個這樣的正方形：
其面積為：直角三角形斜邊的平方
其中有四塊直角三角形。
以直角三角形底和高做正方形邊長，可拼出一個這樣的正方形：
其面積為：底邊（高）的平方
其中有兩塊直角三角形。
因為長方形瓷磚面積不變，所以所有第二種正方形面積和與所有第一種正方形面積和相等。因此畢達哥拉斯得出這樣一個結論：在一個直角三角形中，底邊的平方+高的平方=斜邊的平方。這就是勾股定理。
勾股定理的證明
勾股定理證明方法有很多，下面這種是一位名叫茄菲爾德的美國總統證明的：
勾股定理的運用
說了這麼多，也許有人會問“勾股定理有什麼用呢？”
其實，勾股定理對我們的生活幫助可不小！尤其是在測量、建築方面。下面，讓我們來解決一下實際問題吧！
有一座山，高500米。在山腳下，有兩個登山口，它們之間的距離是2400米。登山路沿著山的斜面修建（如圖），我們從左面的登山口上山，到山頂的距離是多少？
這道題看似與勾股定理沒什麼關係，但是仔細看圖，這是一個直角三角形！
已知直角三角形的斜邊是2400米，要求其中一條直角邊，我們應先做輔助線，將這座山分成兩半：
這樣，問題就轉化成了求這左邊這半直角三角形的斜邊。原底邊的長度是2400，現在是一半，即為1200，另一條直角邊是500。根據勾股定理，底邊²+高²=斜邊²，計算時，把1200寫成12，把500寫成5，即12²+5²=25+144=169，多少的平方是169呢？答案是13，因為前面的1200和500縮小了100倍，所以13要擴大100倍，即1300。所以登山路的長度是1300米。
總結
這就是勾股定理的妙用，還不止這些。尤其是測量三個地方之間的距離時，勾股定理是我們的一大幫手。總之，勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學的基石”，而且在高等數學和其他學科中也有著極為廣泛的應用。它的主要意義有：
1、勾股定理是聯繫數學中最基本也是最原始的兩個對象——數與形的第一定理。
2、勾股定理導致不可通約量的發現，從而深刻揭示了數與量的區別，即所謂“無理數"與有理數的差別，這就是所謂第一次數學危機。
3、勾股定理開始把數學由計算與測量的技術轉變為證明與推理的科學。
4、勾股定理中的公式是第一個不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引導到各式各樣的不定方程，另一方面也為不定方程的解題程序樹立了一個範式。
參考文獻
1.《奧德賽數學大冒險》
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