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在世界的數學史上，存在著很多長時間沒有解決的數學猜想，難倒了無數的數學家們，而在這其中，數論方面的數學猜想難題佔了相當大的比重。雖然，它們表面上看似非常淺顯，看起來並不難解決。但實際上，要是沒有深厚的數學基礎的話，是非常難以下手的。以下列舉幾個數學史上已經被證明不成立的數學猜想。
一、西塔潘猜想
這一猜想是由英國數理邏輯學家西塔潘於20世紀90年代提出的一個猜想。但定理以弗蘭克·普倫普頓·拉姆齊正式命名，這是一個反推數學領域關於拉姆齊二染色定理證明強度的猜想，在20世紀30年代，拉姆齊在論文《形式邏輯上的一個問題》證明了R(3,3)=6，因此又叫拉姆齊二染色定理。海內外不少專家學者都在進行反推數學中的拉姆齊二染色定理的證明論強度的研究，但是時間過去了近80年，學術界仍舊沒有定論。一直到2010年，我國中南大學的在校生劉路，也就是我同校數學院的學長，給這一懸而未決的公開問題一個否定式的回答，徹底解決了西塔潘的猜想，證明了R(3,3)=6。
二、費馬數猜想
費馬數是以數學家費馬命名一組自然數，具有形式（2^（2^n）+1）記為Fn，Fn即為費馬數。其中n為非負整數。數學家費馬發現（2^（2^n）+1）這個公式中，當n=0、1、2、3、4時，該費馬數為質數，前5個是質數，因為第6個數實在太大了，費馬認為這個數也一定是質數，因此他提出了形如（2^（2^n）+1），n為非負整數時，費馬數是質數的猜想。不過後來，數學家歐拉算出了n為5時，費馬數641×6700417，也就是說不是質數，否決了費馬數都是質數的猜想。不過戲劇性的是，後來人們算出了243個反例，至今還沒找到第6個正面的例子。
歷史老相片
說個奇葩！連續統假設，永遠不能被證明！
對於元素有限集合A，我們可以一個一個的將元素個數數出來，這就是集合A的大小，記為|A|。可是對於無限集合呢？
康托兒想了個辦法：如果兩個無限集合的元素一一對應，那麼他們的大小就一樣。ω是所有自然數（包括0）的集合，被選為比較衡量的尺子，令 И0=|ω|，大於И0的依次設為И1、И2、...。
康托兒先後證明了：整數集|Z|＝|ω|＝И0，有理數集|Q|＝|ω|＝И0，但卻發現，實數集|R|＝|2^ω|＞|ω|＝И0，即，|R|＞И0。於是問題來了：|R| 的應該等於 И1、И2、... 中的那一個呢？康托兒猜測：|R|＝И1。
因為，實數佈滿整個直線，因此它是連續的，於是稱實數是連續系統，簡稱連續統，進而這個假設稱連續統假設。
連續統假設不能在 ZFC（或與其等價的）公理系統下證明正確，但也不能證明錯誤。
思考思考的動物
大數學家歐拉提出過一個猜想，即 x^4+y^4+z^4=w^4 這個方程，不存在正整數解。200多年來，人們既無法證明歐拉猜想，也找不出反例。
但在1988年，哈佛大學的一位數學家找出了四個整數，直接證偽了歐拉猜想，這四個數是：
2682440，15365639，18796760，20615673。
（前三個數的四次方之和，等於第四個數的四次方）
B面世界
數學的相容性、完備性、可計算性
被哥德爾和圖靈先後否決
