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在世界的数学史上，存在着很多长时间没有解决的数学猜想，难倒了无数的数学家们，而在这其中，数论方面的数学猜想难题占了相当大的比重。虽然，它们表面上看似非常浅显，看起来并不难解决。但实际上，要是没有深厚的数学基础的话，是非常难以下手的。以下列举几个数学史上已经被证明不成立的数学猜想。
一、西塔潘猜想
这一猜想是由英国数理逻辑学家西塔潘于20世纪90年代提出的一个猜想。但定理以弗兰克·普伦普顿·拉姆齐正式命名，这是一个反推数学领域关于拉姆齐二染色定理证明强度的猜想，在20世纪30年代，拉姆齐在论文《形式逻辑上的一个问题》证明了R(3,3)=6，因此又叫拉姆齐二染色定理。海内外不少专家学者都在进行反推数学中的拉姆齐二染色定理的证明论强度的研究，但是时间过去了近80年，学术界仍旧没有定论。一直到2010年，我国中南大学的在校生刘路，也就是我同校数学院的学长，给这一悬而未决的公开问题一个否定式的回答，彻底解决了西塔潘的猜想，证明了R(3,3)=6。
二、费马数猜想
费马数是以数学家费马命名一组自然数，具有形式（2^（2^n）+1）记为Fn，Fn即为费马数。其中n为非负整数。数学家费马发现（2^（2^n）+1）这个公式中，当n=0、1、2、3、4时，该费马数为质数，前5个是质数，因为第6个数实在太大了，费马认为这个数也一定是质数，因此他提出了形如（2^（2^n）+1），n为非负整数时，费马数是质数的猜想。不过后来，数学家欧拉算出了n为5时，费马数641×6700417，也就是说不是质数，否决了费马数都是质数的猜想。不过戏剧性的是，后来人们算出了243个反例，至今还没找到第6个正面的例子。
历史老相片
说个奇葩！连续统假设，永远不能被证明！
对于元素有限集合A，我们可以一个一个的将元素个数数出来，这就是集合A的大小，记为|A|。可是对于无限集合呢？
康托儿想了个办法：如果两个无限集合的元素一一对应，那么他们的大小就一样。ω是所有自然数（包括0）的集合，被选为比较衡量的尺子，令 И0=|ω|，大于И0的依次设为И1、И2、...。
康托儿先后证明了：整数集|Z|＝|ω|＝И0，有理数集|Q|＝|ω|＝И0，但却发现，实数集|R|＝|2^ω|＞|ω|＝И0，即，|R|＞И0。于是问题来了：|R| 的应该等于 И1、И2、... 中的那一个呢？康托儿猜测：|R|＝И1。
因为，实数布满整个直线，因此它是连续的，于是称实数是连续系统，简称连续统，进而这个假设称连续统假设。
连续统假设不能在 ZFC（或与其等价的）公理系统下证明正确，但也不能证明错误。
思考思考的动物
大数学家欧拉提出过一个猜想，即 x^4+y^4+z^4=w^4 这个方程，不存在正整数解。200多年来，人们既无法证明欧拉猜想，也找不出反例。
但在1988年，哈佛大学的一位数学家找出了四个整数，直接证伪了欧拉猜想，这四个数是：
2682440，15365639，18796760，20615673。
（前三个数的四次方之和，等于第四个数的四次方）
B面世界
数学的相容性、完备性、可计算性
被哥德尔和图灵先后否决
