艾伯史密斯
我來說說個人體會吧。
雖然現在沒有從事數學相關的工作，甚至連曾經學過的數學也差不多忘光了，但依然有些數學證明，至今難忘。而我小時候，第一次品嚐到數學這門學科的魅力，正是來自這些巧妙的證明，這讓我養成了特別喜歡做證明題的興趣，它遠遠比簡單的計算要更有意思，常常為了證明一道題而冥思苦想甚至茶飯不思。
引我進入數學證明大門的一道題，其實很簡單：
請證明不存在最大的素數
早在公元前300年，歐幾里得就證明了這道題，不存在最大的素數。
所謂素數是指大於1，只能被1和自身整除的自然數。
比如2是素數，它也是唯一即是素數又是偶數的數，因為下一個偶數4，就不再是素數，它可以被2整除，能被2整除本來就是偶數的定義。因此，任何大於2的數，如果它是一個素數，那它必須是一個奇數。但當然不是所有奇數都是素數，比如數字9，它是奇數，但它能被3整除，因此它不是一個素數。
注意，所有大於1且非素數的數，一定能被一個素數整除。
比如，所有大於2的偶數都能被2這個素數整除。
至於奇數，要麼是素數，要麼能被素數整除。
因為非素數的奇數一定是3、5、7、11、13..... 這些素數的倍數，即能被這些素數整除，如果不能被這些素數整除的奇數，那麼它自身就一定是個素數呀。
讓我們換種方式寫一下數字。
1,2,3,2*2,5,2*3,7,2*4,3*3,2*5,11,2*6（3*4）,13,2*7,3*5，
要想證明這道題，除了知道素數的定義，還需要知道這個至關重要的基礎：
至於奇數，要麼是素數，要麼能被素數整除。
如果你嘗試寫下1~10000以內的素數，你會看到一個規律，那就是隨著數字增大，素數出現的頻率開始降低，畢竟數字越大，它就越有可能被另一個數整除，不是麼？後世的數學家們發現，從不大於數字N的範圍內隨機抽一個數，它恰好是一個數字的概率略為1/lnN（ln 自然對數），當N非常非常非常大的時候，您可以將它簡化為1/N，很明顯數字越大，你恰好隨機抽到一個素數的概率就越小，但注意這個概率將永不等於零，哪怕N趨近於無限大也一樣，因為這只是素數出現頻率的估計，的確數字越大，素數將越來越稀少，但無論它多麼少，素數總是存在著，這就是證明題的魅力，我們很早以前就知道了：不存在最大的素數。
最初，我看到這道題的時候，還是個熊孩子，看到這道題的感覺完全就是懵逼的，一頭霧水，狗咬烏龜找不到下嘴的地方，直到我看了答案，才恍然大悟拍案驚奇，從此學會了一種至關重要的思維方式，受益終生，不僅僅是在數學上，也在別的地方有用。
反證法
如何證明不存在最大的素數呢？
如果找不到一種正面的證明方式，那麼不妨讓我們先假設存在一個最大的素數，然後在此基礎上進行推理，看是否會得到一個荒謬的結果，如果能，那就說明我們的假設是錯的，即存在一個最大素數的假設是錯的，由於答案只能是二選一，沒有更多選擇，這時候否定了一方，就等於肯定了另一方，因為兩者必居其一。要麼存在最大的素數，要麼不存在，沒有第三種可能性。
現在，讓我們看看推理過程，別怕，這是小學生都能看得懂的過程，當然，你得先記住什麼是素數。讓我再重複一下。
大於1且只能被1或自身整除的數，就是素數，大於2的時候，所有的素數都必然是奇數。而奇數，它要麼是一個素數，要麼能被一個素數整除。
1、假設存在最大的素數，它等於N。
只要我們能推翻這個假設，就意味著不存在最大的素數。
2、那麼我們可以利用數字N，構造出一個新的數字M，它=2*3...*N+1
這個加1很重要，是整個證明的精華所在，是回頭來看時拍案驚奇之處，畢竟我就是告訴你，這道題要用反證法來證明，你也得找到具體的證明辦法才行。
3、注意，新數字M是個奇數，所以M要麼是一個素數，要麼不是一個素數
3.1 假如數字M是素數，那麼M>N，即存在最大素數的假設是個錯誤，證畢。
3.2 假如數字M不是素數，那麼必然存在一個素數X，能整除M。
4、由於M = 1*2*3*....*N +1 ，這就意味著從2開始一直到N，作為除數去除M，都不可能把M整除，即M/(2....N)都不可能是一個整數，總會有一個餘數1。因此X必然大於N。由於X是個素數，因此原假設存在最大的素數N，不正確，因為還有比它更大的素數X。按照同樣的邏輯，我們可以證明X也不是最大的素數，您只需要把上面的證明流程再循環一次就能得到比X大的素數，無窮無盡。
我來舉個實例吧，
假設N=5是最大的素數
那麼M=2*3*4*5+1 = 121
121不是一個素數
它可以被素數11整除
但11>5，所以5是最大的素數被否證。
同樣11也不是最大的素數
因為2*3******11+1 = 39916801，
這個數本身就是一個素數，它可比11大得多。
這樣的過程可以無限循環，但數字迅速增大，超過人力計算的範疇
但證明題的魅力就在於，只要邏輯正確，前提無誤，我們就脫離了硬算的限制，進入自由世界。
三思逍遙
看了幾個回答談到了反證法，想起了我一直的一個疑惑，和題目關係不是很大，我覺得反證法本身可能就有問題。
我高中的時候有一次數學練習題，有一道證明題，具體我忘了，總之大概就是給了一些條件，最後證明k>2，我當時就沒有解出來，後來老師講題的時候用的反證法，倒推後證明k<=2時與題目給定的條件不一致，所以k>2成立，其實這種題高中時倒也常見，但我當時突然有點疑問，就問了老師一個問題，如果我不去證明k<=2時不符合給定的條件，而是去證明k<=1時不符合給定的條件（這個肯定是成立的，因為k<=2的區間包含k<=1），那麼這個題不就無法證明了？怎麼確認“2”是恰好的分界點？也許還有"2.1"、“3”啊，老師讓我證明一遍，我用反證法很快照著老師的思路證明k<=1時，不符合題目給定的條件，所以k>1(事實上，k>1包含k>2)，老師當時也有點懵，我當時學習不是那種很好的，老師就說讓我別考慮別的數字，既然題目是2，就用2。所以，我一直到現在都覺得反證法本身是有侷限的，甚至是有問題的。當然，一家之言，我本身數學也不大好，如果不對請勿噴，如果有人能解答疑惑，萬分感謝。
看了很多回復，我覺得應該重申一下我要說的關鍵，我不是說這個題怎麼樣，我是對反證法這種證明方法有異議，因為這種證明題，一般都是根據條件推導出結論，幾乎沒用過反證法。如果把這個題改一下，其他條件都不變，但改成不知道結論的求解題，大家隨便假設一個數，然後反證法證明了，這個過程也沒有問題，但明顯不對，再說如果我反證法證明了k>3，那算不算對？如果一個證明方法等得出很多不同的結果，還有什麼意義？這裡重點是那個恰好的節點，如果能證明2就是那個節點，那就不需要用反證法了。
一花一塵埃
拍案稱奇的冰雹猜想證明。
這個猜想就是個數字遊戲。數字跳躍碰找4的n次方。因為猜想的框架結構為：奇數（x3+1）÷2。
所以會形成：4=1X3+1，會形一個本質結構規律。4²的次方等於16，16-1=15，15÷3=5，這是第一個一步迴歸數。
4³的次方是64，64-1=63，63÷3=21，這是第二個一步迴歸數。
4的4次方是256，256-1=255，255÷3=85，這是第三個一步迴歸數，以此類推到無限。
用4的N次方。寫入公式為：（4n²-1）÷3。
它還有另一個性質，用以上公式會形成下列結構：
4x1+1=5=4的1次方+1。
4x5+1=21=4²+4的1次方+1。
4x21+1=85=4³+4²+4的1次方+1。
4x85+1=341=4的4次方+4³+4²+4的1次方+1。
4x341+1=1365=4的5次方+4的4次方+4³+4²+4的1次方+1。
4x1365+1=5461=4的6次方+4的5次方+4的4次方+4³+4²+4的1次方+1。
4x5461+1=21845=4的7次方+4的6次方+4的5次方+4的4次方+4³+4²+4的1次方+1。
以此類推到無限。
我們知道猜想的規則是奇數x3+1=偶數，偶數÷2=奇數，來回循環。所以我們可以證明一下。把所有的無限奇數x3=3的倍數，+1=÷3=餘1的偶數，它們4+6=10. 10+6=16。
4.10.16.22.28.34.40.46.52.58.64.……。下去你會發現4n次方都在這些當中，這佔自然數的1/6，把這些x3+1的偶數÷2會有兩種結果，一種是偶數，一種是奇數，各一出一。奇數又有種結果，就是它們都是÷3餘2的數。把÷2的偶數再÷2，就是÷3餘1的數，來回循環，為什麼會這樣，是因為餘1數x2=餘2數，而餘2的偶數÷2=餘1數。
因為冰雹猜想本質就是數字遊戲，奇數x3+1=偶數，也就是膨脹性質，它是一次一次的，偶數÷2條件合適可以連續÷2，所以是÷2是收縮的性質。
奇數x3+1是跳躍，+1是找4n次方，因為每個奇數（x3+1）÷2的路線是固定的。循環次數也是固定的。所以這個猜想的等式是成立的，不存在反例，只是每個奇數的起點位置不同，確定了循環的次數與形成時間的長度。
那麼我們找一下4n次方，我們按照解刨倒推法一步一步來。4的n次方是
4.16.64.256.1024.4096.16384.65536……。無限下去，會發現都是-1÷3數，也是連續÷2可以歸1的數。把這些數字-1÷3。分別是
1.5.21.85.341.1365.5461.21845……。
因為÷3數是起點沒有上一層，所以能整除3的數不理它。其它的數都是猜想第一個一步迴歸數，上面的奇數都是x4+1的連續數，可以發現有被3整除數，有除3餘1數，有除3餘2數。除3數不能被做為迴歸數，餘1數（x4-1）÷3=第二個迴歸數，餘2數（x2-1）÷3=是第二個迴歸數。讓我們試一試證明一下。（5x2-1）÷3=3 ，3是第一個迴歸數,但3沒有上一個迴歸數。用3x4+1=13.是5的第一個一步迴歸數，13x4+1=53. 是第二個5的第二個一步迴歸數，53x4+1=213. 213是可以被3數除的數，不做為迴歸數。213x4+1=853.是5的第三個一步迴歸數。853x4+1=3413.是5的第四個一步迴歸數。以此類推，有無限個5的一步迴歸數。
5的起點回歸數是3。用（5x2-1）÷3=3.因為3能被3整除.所以不能做為迴歸數。用3x4+1=13. 13是5的第一個迴歸數。用13x4-1=51.51÷3=17.所以17是13的第一個一步迴歸數,17x4+1=69.不能做為13的迴歸數,69x4+1=277. 是13的第二個一步迴歸數。277x4+1=1109.是13的第三個一步迴歸數。讓我們驗證一下：1109x3+1=3328÷2=1664÷2=832÷2=416÷2=208÷2=104÷2=52÷2=26÷2=13x3+1=40÷2=20÷2=10÷2=5x3+1=16÷2=8÷2=4÷2=2÷2=1。因為數字是無窮的，以樣本推整體。只要等式成立，就是正確的，和計算機計算大數是沒用的。
為什麼沒有反例，是因為等式成立。隨著數字增大，也只不過相對增加了步數的長度與時間。但再長的路也是有盡頭的，只是個時間問題。
在分成枝口後，在奇數中÷3只有三種性質：被3整除數，餘2數，餘1數，要想找出連續被3整數，餘2數，餘1數，就各x85，就是各個分枝口的位置。分枝都伸向無限，把這棵樹推展不來，就是所有奇數的位置，用（奇數x3+1）÷2就能從下圖知道為什麼每個數最終都能歸1。
述：因本人是體力民工，小學文化，業餘愛好數學，專業術語與數學規範數學符號書寫欠缺。望有識之士諒解！我叫趙生明，陝西省榆林市榆陽區劉千河鄉果園塌二組村民。開始研究是2018年4月左右到現在共用了三個多月的時間。書寫日期為2018年7月16日13點45分。
窺探數字結構
有關數學公式的證明很多，下面介紹幾個常見公式的巧妙證明過程。
（1）自然數的立方和=自然數之和的平方
上述等式的左邊為自然數的立方和，等式的右邊為自然數之和的平方。雖然通過分別推導出左右兩邊的計算公式就能證明該等式，但通過如下的圖形很直觀地就能證明上式：
把自然數立方和的圖形平鋪看來，其中的正方體數量剛好是就是自然數之和的平方，所以就能證明上述等式成立。
（2）勾股定理
這個公式為勾股定理，我國在商朝時就已經發現了直角三角形的一個特例——勾三股四玄五，後來的中外數學家通過各種方法來證明這個公式。下面要介紹的是加菲爾德證法的變形方法，這可以很容易證明勾股定理：
大正方形的面積為：
(a+b)^2
大正方形的面積也等於四個三角形的面積以及小正方形的面積之和：
4×(1/2ab)+c^2
由此可得下式：
(a+b)^2=4×(1/2ab)+c^2
化簡之後，即可得勾股定理：
a^2+b^2=c^2
（3）歐拉恆等式
這個公式就是著名的歐拉恆等式，它被譽為最美的數學公式。一個十分簡單的公式就結合了數學中最重要的常數——自然常數e、虛數單位i、圓周率π、自然數1、自然數0，以及最重要的數學符號——加號+、等號=。
歐拉恆等式源自於如下的歐拉公式：
對歐拉公式的左邊e^(iθ)進行泰勒展開可得：
再分別對cosθ和sinθ進行泰勒展開可得：
顯然，cosθ與sinθ之和剛好等於e^(iθ)，由此就能證明歐拉公式成立。再令歐拉公式中的θ=π，即可得下式：
e^(iπ)=-1+0
對上式進行移項，最終就可以推導出歐拉恆等式的常見形式。
（4）證明圓周率是無理數
圓周率是無理數的證明方法不少，下面要介紹的是數學家Ivan M. Niven給出的反證法，這種方法簡單而又巧妙。
倘若π為有理數，必然存在整數a和b，使得下式成立：
π=a/b
構造如下兩個函數：
其中n為正整數。
顯然，f^k(0)、f^k(π)、F(0)以及F(π)都為整數。而且f(x)和f^k(x)都會滿足f(x)=f(π-x)，它們都在x=0以及x=π處可積。
再構造函數G(x)=F'(x)sinx-F(x)cosx，並對其進行求導可得：
對上式兩邊從0到π都進行積分可得下式：
因為F(0)以及F(π)都為整數，故F(π)+F(0)亦是整數。當x∈(0, π)時，顯然有f(x)>0且sinx>0，故f(x)sinx>0，所以F(π)+F(0)>0，並且f(x)sinx在[0, π]上的積分為正整數。
當x∈(0, π)時，顯然有a-bx
科學認識論
拍案叫絕的證明過程確實有，在【我和你媽同時掉河裡你先救誰】的求證過程中，首先根據速度時間距離的關係，再通過年齡計算出肌肉的爆發力和滑動摩擦力，這樣就可以得出年輕女朋友的速度大於你媽，女朋友應該走在前面，
再從河岸傾斜度，算出女朋友在加速度下入水的提前量，所要考慮的重點是你女朋友的體重，如果骨感，入水速度更快。
你媽作為中年婦女，體重應該大於你女朋友，這就要有準確的近似值考慮，以便估計你女朋友和你媽之間的距離差，你媽在速度不變的情況下，到達你女朋友的落水點需要多長時間?
通過證明可得，你女朋友和你媽同時掉河裡，從理論上不存在，你女朋友首先不是個盲眼的，之所以掉河裡，只有一種可能，你女朋友一路低頭摳手機，在撩前任，私約，這種情況下，不可能和你媽並肩而行。
由此可知，你媽掉河裡，為救你女朋友，早把生死置之度外。你女朋友說成你媽和她同時掉河裡，是推卸責任，不懂感恩。
你在通過反覆證明之後，應該作出正確選擇，你媽入水較晚，離岸最近，是否捨近求遠?
應該以最快速度，奮力把你媽推向岸邊，讓你媽上岸找到你女朋友的手機，把女朋友營救之後，立刻查看聊天記錄，一切水落石出，起訴你女朋友前任故意綠人罪，或者連女朋友一起起訴，告她與前任合謀害死你親媽。
一切會有的，一切會發生的，掉河裡就掉河裡唄，問君能有幾多愁，恰似一江春水向東流，反正是離不開水，既然是水命，就水水算啦，還指望一個答案能讓你女朋友海枯石爛咋滴?
白這個顏色
孿生素數的猜想：自然數中存在著無窮多個孿生素數。今天就給出一箇中學生就能著懂的證明。下面講述核心證點。
1，除去2、3二個素數所有的素數均只存在在三分之一的非零自然數中。2、所有孿生素數的終極形式為6N＋1，6N－1。
3、在此三分之一的非零自然數中所有奇合數可歸集在三種直線束形態中：a、一部分奇合數存在於7N＋1、13N＋2、
19N＋3、⋯無窮等差數列中、（即這些數列中每一個值都對應絕對關係的一個奇合數、）、b、第二部分奇合數存在於
5N－1、11N－2、17N－3、⋯無窮等差數列中、c、第三部分奇合數存在於5N＋I、11N＋2、17N＋3、⋯無窮等差數列中。
4、在上述第三點指出的三分之一非零自然數中除去第三條所述的所有奇合數的點、剩下的所有自然數的點就是孿生素
數點。5、自然數N本身就是公差為1的無間隙的、在數論上可稱為連續的特殊等差數列（即在正整數上連續的）、除了
它、要使等差數列每個值連續必須是一個等差數列群之和、而這個等差數列群是有嚴格要求的、而第三條中a、b、c、提
及到的直線束形態的等差數列群、各方面都達不到每個值連續的要求、所以在這三分之一非零自然數中就有無窮個不連
續的點（因為N是無窮的）、這也就證明了孿生素數有無窮多個。猜想己證明。（當然這五條的每一條的具體論據論證要
化費十幾頁紙的筆墨、有機會再談。）如果用非數學專業的方法能證明這個世界難題、即當紅數學家張益唐先生當前的
研究課題、我想應該是要拍案叫絕了、如果在上述證明邏輯中找不出問題的話、這個猜想應該是被我首次提出用等差數列
方法證明了。
王慶元61292207
【命P_x(1,2)為適合下列條件的素數p的個數： x-p=p_1或x-p=(p_2)*(p_3) 其中p_1, p_2 , p_3都是素數. 用x表一充分大的偶數. 命Cx={∏p|x,p 2}(p-1)/(p-2){∏p 2}(1-1/(p-1)^2 ) 對於任意給定的偶數h及充分大的x,用xh(1,2)表示滿足下麵條件的素數p的個數： p≤x,p+h＝p_1或h+p＝(p_2)*(p_3), 其中p_1,p_2,p_3都是素數.
也許這不是最拍案叫絕的證明過程，但絕對是中國人在數學領域內做出的最傑出的貢獻，這就是我國著名數學家陳景潤在1966年提出的，關於哥德巴赫“1+2”的證明。
1973年,《中國科學》雜誌正式發表了陳景潤的論文《大偶數表為一個素數及一個不超過兩個素數的乘積之和》
時至今日，依然沒有任何數學家能夠證明“1+1”的問題，所以陳景潤這個關於“1+2”問題簡潔清晰的證明便顯得彌足珍貴。
未泯雙瞳
最讓人拍案叫絕的證明是：
0.9999.....＝1
步驟非常簡單，簡潔，優雅，即使一個完全不懂數學的人也看的懂。
如下：
∵0.9999....＝0.3333...+0.3333....+0.3333....
又
∵0.3333...＝1/3
∴0.9999....＝1/3+1/3+1/3＝3/3＝1
是不是很巧妙，是不是很拉風，是不是很容易理解？
