常規典型，落入俗套
【題目】
（2018•婁底）如圖，拋物線y=ax²+bx+c與兩座標軸相交於點A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是拋物線的頂點，E是線段AB的中點．
（1）求拋物線的解析式，並寫出D點的座標；
（2）F（x，y）是拋物線上的動點：
①當x＞1，y＞0時，求△BDF的面積的最大值；
②當∠AEF=∠DBE時，求點F的座標．
【答案】
解：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax²+bx+c，
a-b+c=0，9a+3b+c=0，c=3，解得：a=-1，b=2，c=3，
∴拋物線的解析式為y=﹣x²+2x+3．
∵y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，
∴頂點D的座標為（1，4）．
備註：求解析式用待定係數法，配方法或代入頂點座標公式求頂點座標。
（2）①過點F作FM∥y軸，交BD於點M，如圖1所示．
設直線BD的解析式為y=mx+n（m≠0），
將（3，0）、（1，4）代入y=mx+n，
3m+n=0，m+n=4，解得：m=-2，n=6，
∴直線BD的解析式為y=﹣2x+6．
∵點F的座標為（x，﹣x²+2x+3），
∴點M的座標為（x，﹣2x+6），
∴FM=﹣x²+2x+3﹣（﹣2x+6）=﹣x²+4x﹣3，
∴S△BDF=1/2FM•（yB﹣yD）=﹣x²+4x﹣3=﹣（x﹣2）²+1．
∵﹣1＜0，
∴當x=2時，S△BDF取最大值，最大值為1．
備註：三角形面積最大值。
二次函數圖象中的面積問題
座標系中三角形面積公式
②過點E作EN∥BD交y軸於點N，交拋物線於點F1，在y軸負半軸取ON′=ON，連接EN′，射線EN′交拋物線於點F2，如圖2所示．
∵EF1∥BD，
∴∠AEF1=∠DBE．
∵ON=ON′，EO⊥NN′，
∴∠AEF2=∠AEF1=∠DBE．
∵E是線段AB的中點，A（﹣1，0），B（3，0），
∴點E的座標為（1，0）．
設直線EF1的解析式為y=﹣2x+b1，
將E（1，0）代入y=﹣2x+b1，
﹣2+b1=0，解得：b1=2，
∴直線EF1的解析式為y=﹣2x+2．
聯立直線EF1、拋物線解析式成方程組，y=-2x+2，y=-x²+2x+3，
解得：x_1=2-√5，y_1=2√5-2，x_2=2+√5，y_2=-2√5-2（捨去），
∴點F1的座標為（2﹣√5，2√5﹣2）．
當x=0時，y=﹣2x+2=2，
∴點N的座標為（0，2），
∴點N′的座標為（0，﹣2）．
同理，利用待定係數法可求出直線EF2的解析式為y=2x﹣2．
聯立直線EF2、拋物線解析式成方程組，y=2x-2，y=-x²+2x+3，
解得：x_1=-√5，y_2=-2√5-2，x_2=√5，y_2=2√5-2（捨去），
∴點F2的座標為（﹣√5，﹣2√5﹣2）．
綜上所述：當∠AEF=∠DBE時，點F的座標為（2﹣√5，2√5﹣2）或（﹣√5，﹣2√5﹣2）．
備註：∠DBE是定角，過點E作BD的平行線可得一個點，再對稱到x軸下方，又可得一個點。利用平行與對稱得到斜率的關係求解析式，再與拋物線聯立即可。
或者作垂線構造相似亦可得結論。
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