我們繼續和與積的奇偶性判斷。
是否存在這樣的a、b(a,b都是自然數，且a>b)？使等式（a+b）×（a-b）=54成立？
分析：可能有不少同學看到這樣的題目，第一反應是答案應該不止一個吧。把54分解成兩個因數相乘的形式，然後分組討論。
因為54的因數個數不算太多。如果我們把54拆成兩個自然數相乘的形式，可得到以下幾種情況：
54=1×54=2×27=3×18=6×9。
我們會發現54拆成兩個因數相乘的形式，一定是一個奇數乘一個偶數。
如果大家用數去湊。最後會發現好像怎麼湊都找不出符合條件的這樣兩個自然數a、b。
其實大家想一下：根據我們和的奇偶性規律，a+b與a-b的奇偶性是相同的。所以說，如果a+b是奇數，那麼a-b也是奇數，奇數乘奇數，積仍然是奇數。54是偶數，所以a+b是奇數這種情況不成立。
所以說只能是a+b與a-b都是偶數。偶數乘偶數，積是偶數，（a-b）×（a+b）=54，確實是偶數啊。但是大家別忘了，兩個偶數相乘它一定是4的倍數。54是4的的倍數嗎？或者說4是54的因數嗎？顯然不是。
我們把54進行分解質因數到標準形式，我們發現54等於2乘3的3次方。也就是說它的質因數里面2的最高指數是1次方。
綜上所述，在自然數中是找不到這樣的a與b使這個等式成立。
我們再看另一道題目。
用代表整數的字母a,b,c,d寫成等式組：
abcd-a=1991,abcd-b=1993
abcd-c=1995, abcd-d=1997
試說明：符合條件的整數a,b,c,d是否存在？
解：假設存在這樣的a,b,c,d。
abcd-a=1991我們將等式進行提取公因數，得到下面的等式。
原式=abcd-a×1=1991
a×(bcd-1)=1991
根據積的奇偶性規律，積是奇數，那麼a一定得是奇數。
同理可得b,c,d,均為奇數。那麼四個整數a,b,c,d相乘積一定也是奇數，
abcd-a=偶數≠1991
根據假設推導產生矛盾，假設錯誤，所以不存在這樣的a,b,c,d。
在做這種“能與不能”的判斷問題時，判斷“不能”我們常用反證法。
如果判斷“能”，那就需要舉出符合題目條件的情形。
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