動態平衡中的力學問題是高考命題的熱點，也是考生在解題過程中的易錯點。其通過控制某些物理量，使物體的運動狀態或受力情況發生緩慢變化。由於此種變化始終在“緩慢”地進行，物體在這一變化過程中便始終處於一系列的平衡狀態之中。
對於動態平衡問題，解題時關鍵在於化“動”為“靜”，“靜”中求“動”，即無論怎樣變化，物體始終處於平衡狀態，物體所受外力的合力始終為零。在此類問題的求解過程中，利用解析法，即通過正交分解，建立各個力的函數關係式，利用數學函數知識來分析，運算過程往往非常繁雜。如能適當利用矢量的合成與分解，將平行四邊形演化為三角形，結合數學平面幾何的相關規律，在問題的處理過程中能達到化繁為簡的效果。
一、動態三角形
1．適應條件
物體受三個力作用處於平衡，其中一個F0為恆力，大小方向均不變，另一個力F1方向不變，還有一個力F2方向時刻發生變化。
2.構建模型
物體在三個力作用下處於平衡狀態，則任意兩個力的合力與第三個力等大反向。由於合力與其兩個分力能構建成平行四邊形，進而可演化為三角形，因此，我們以恆力為參考，將此恆力F
0反向延長，作帶箭頭的線段OA，使其大小等於該恆力F0，則有向線段OA表示另外兩個力的合力。以方向不變的力為參考作射線OB，在該射線上任取一點C，連接CA，則有向線段OC表示方向不變的力F1，有向線段CA表示方向發生改變的力F2，沿射線OB移動點C，則可以通過此動態三角形，快速準確地判定的F1與 F2的改變情況。作出該模型圖樣如圖1所示。
【例題1】如圖2所示，半圓柱體P固定在水平地面上，其右端有一緊貼地面且豎直放置的擋板MN．在半圓柱體P和MN之間放有一個光滑均勻的小圓柱體Q，整個裝置處於平衡狀態。現使MN保持豎直並且緩慢地沿地面向右平移，在Q滑落到地面之前的此過程中，試分析P對Q和MN對Q的彈力變化情況。
【解析】對小圓柱體Q進行受力分析，如圖3所示。可知，重力mg恆定不變，MN對圓柱體Q的彈力N1方向不變，始終垂直於MN水平向左，滿足動態三角形解法的條件。以恆力mg為參考，反向延長，作帶箭頭的線段OA，使其大小等於重力mg，以方向不變的彈力N1為參考，作射線OB，在射線OB上取一點C連接CA，則有向線段OC表示MN對圓柱體Q的彈力N1，有向線段CA表示半圓柱體P對圓柱體Q的彈力N2。由題分析可知，有向線段CA始終與P、Q兩截面的圓心連線平行，當MN右移時，應將點C在OB射線上向左移動，此時，有向線段OC與CA的長度增大，即MN對Q的彈力N1和P對Q的彈力N2在擋板MN緩慢向右移時，兩者均增大。
二、相似三角形
1.適應條件
物體受三個力作用處於平衡，其中一個F0為恆力，大小方向均不變，而另兩個力F1與F2方向均在發生改變，且這兩個力方向間的夾角亦在發生改變。
2.構建模型
物體在三個力作用下處於平衡，適應條件中的兩個變力F1與F2的合力與恆力F0等大反向，將兩個變力與其合力構建成平行四邊形後，演化為三角形。此三角形我們稱之為“矢量三角形”，在題幹給出的示意圖中找出一個三條邊分別與“矢量三角形”的三邊平行的三角形ABC，我們稱之為“幾何三角形”，則這兩個三角形相似。作出該模型圖樣如圖4所示。
在上圖中：F0∥AB, F1∥AC, F2∥BC則
【例題2】如圖5所示，半圓柱體P半徑為R，其被固定在水平面上，在其截面圓心O1正上方有一光滑的小定滑輪被固定在水平牆面上的A點，小定滑輪到P邊緣的水平切線的距離為h，在半圓柱體P上放一個光滑的小圓柱體Q，其截面圓心O
2，Q的截面半徑為r。現將一根輕繩繞過定滑輪後將小圓柱體Q繫住後，緩慢地拉動Q，試分析在以後的過程中，繩對Q和P對Q的彈力變化情況。
【解析】對小圓柱體Q進行受力分析，如圖所示，可知重力mg恆定不變，當彈力F與N在P緩慢上移時兩者方向均發生改變，且兩力方向間的夾角亦改變，滿足相似三角形法的條件。令小滑輪右側的繩長為X,作出小圓柱體P受力的力學“矢量三角形”，如圖6所示，發現該三角形對應邊表示的力N∥O
1O2, F∥A O2, F0∥AO1，則“矢量三角形”與“幾何三角形”AO1O2相似，則
則當拉動Q時，X減小，則繩對Q的彈力F減小，P對Q的彈力N大小不變。
三、輔助圓
1.適應條件
物體受三個力作用處於平衡，其中一個F0為恆力，大小方向均不變，而另兩個力F1與F2方向均在發生改變，但這兩個力方向間的夾角始終不變。
2.構建模型
物體在三個力作用下處於平衡，適應條件中的兩個變力F1與F2的合力與恆力F0等大反向，將兩個變力與其合力構建成平行四邊形ABCD後，演化為三角形ABD。如圖7所示。令平行四邊形中兩變力F1與F2方向間的夾角為，由平行四邊形演化成的三角形中兩變力對應邊BA與AD間的夾角為θ，則α+θ=180°，可知當α一定時，θ亦為一個定值，當兩變力F1與F2 方向改變時三角形ABD的頂點A隨之移動，但三角形的邊BD大小（即長度）與方向（即該邊所處位置）均不改變，且邊BD對應的三角形的內角θ亦為一個定值，作出三角形ABD的外接圓，如圖8所示，則為該外接圓的弦BD所對應的圓周角。當90°＜α＜180°，0°＜θ＜90°，弦在圖8外接圓的直徑右側B1D1位置；當α=90°，θ=90°，此時弦就為外接圓的直徑B2D2位置；當0°＜α＜90°，90°＜θ＜180°，弦在圖8外接圓的直徑左側B3D3位置，有題幹描述判定矢量三角形中對應A點的移動方向，在外接圓中沿圓周運動點A，即可判定力F1與F2的變化情況。
【例題3】如圖9所示，半圓柱體P固定在水平面上，有一擋板MN，其延長線總是通過半圓柱體的圓心O，但擋板與半圓柱體不接觸，在P和MN之間放有一個光滑均勻的小圓柱體Q,整個裝置處於靜止狀態，圖示是這個裝置的截面圖，若用外力使MN繞O點緩慢地順時針轉動，在MN到達水平位置前的過程中，試分析MN對Q和P對Q的彈力變化情況。
【解析】對小圓柱體Q進行受力分析,如圖所示，可知重力為恆力，當擋板MN緩慢轉動時，彈力F與N的方向均發生變化，但這兩個力方向之間的夾角為一個恆定不變的銳角，滿足輔助圓解法。由於F與N的合力與重力等大反向，將他們構建平行四邊形後演化為矢量三角形如圖10所示，則在該三角形中的為一個鈍角。由輔助圓的模型分析，作出該三角形的外接圓如圖11所示，由題意分析可知，當擋板順時針緩慢轉動時，三角形的頂點A沿圓周亦順時針移動，則可知輔助圓中對應邊表示的力F增大N減小。
通過上面的分析，我們會發現，在圖解法中，構建力學矢量三角形，將力學問題轉化為數學平面幾何問題，能使動態平衡狀態下物體的受力變化情況分析的解題過程更加形象，思維過程更加流暢，給人一種煥然一新，豁然開朗的全新感受。
▍ 編輯：Wulibang（ID：2820092099）
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