艾伯史密斯
有關數學公式的證明很多，下面介紹幾個常見公式的巧妙證明過程。
（1）自然數的立方和=自然數之和的平方
上述等式的左邊為自然數的立方和，等式的右邊為自然數之和的平方。雖然通過分別推導出左右兩邊的計算公式就能證明該等式，但通過如下的圖形很直觀地就能證明上式：
把自然數立方和的圖形平鋪看來，其中的正方體數量剛好是就是自然數之和的平方，所以就能證明上述等式成立。
（2）勾股定理
這個公式為勾股定理，我國在商朝時就已經發現了直角三角形的一個特例——勾三股四玄五，後來的中外數學家通過各種方法來證明這個公式。下面要介紹的是加菲爾德證法的變形方法，這可以很容易證明勾股定理：
大正方形的面積為：
(a+b)^2
大正方形的面積也等於四個三角形的面積以及小正方形的面積之和：
4×(1/2ab)+c^2
由此可得下式：
(a+b)^2=4×(1/2ab)+c^2
化簡之後，即可得勾股定理：
a^2+b^2=c^2
（3）歐拉恆等式
這個公式就是著名的歐拉恆等式，它被譽為最美的數學公式。一個十分簡單的公式就結合了數學中最重要的常數——自然常數e、虛數單位i、圓周率π、自然數1、自然數0，以及最重要的數學符號——加號+、等號=。
歐拉恆等式源自於如下的歐拉公式：
對歐拉公式的左邊e^(iθ)進行泰勒展開可得：
再分別對cosθ和sinθ進行泰勒展開可得：
顯然，cosθ與sinθ之和剛好等於e^(iθ)，由此就能證明歐拉公式成立。再令歐拉公式中的θ=π，即可得下式：
e^(iπ)=-1+0
對上式進行移項，最終就可以推導出歐拉恆等式的常見形式。
（4）證明圓周率是無理數
圓周率是無理數的證明方法不少，下面要介紹的是數學家Ivan M. Niven給出的反證法，這種方法簡單而又巧妙。
倘若π為有理數，必然存在整數a和b，使得下式成立：
π=a/b
構造如下兩個函數：
其中n為正整數。
顯然，f^k(0)、f^k(π)、F(0)以及F(π)都為整數。而且f(x)和f^k(x)都會滿足f(x)=f(π-x)，它們都在x=0以及x=π處可積。
再構造函數G(x)=F'(x)sinx-F(x)cosx，並對其進行求導可得：
對上式兩邊從0到π都進行積分可得下式：
因為F(0)以及F(π)都為整數，故F(π)+F(0)亦是整數。當x∈(0, π)時，顯然有f(x)>0且sinx>0，故f(x)sinx>0，所以F(π)+F(0)>0，並且f(x)sinx在[0, π]上的積分為正整數。
當x∈(0, π)時，顯然有a-bx
三思逍遙
拍案稱奇的冰雹猜想證明。
這個猜想就是個數字遊戲。數字跳躍碰找4的n次方。因為猜想的框架結構為：奇數（x3+1）÷2。
所以會形成：4=1X3+1，會形一個本質結構規律。4²的次方等於16，16-1=15，15÷3=5，這是第一個一步迴歸數。
4³的次方是64，64-1=63，63÷3=21，這是第二個一步迴歸數。
4的4次方是256，256-1=255，255÷3=85，這是第三個一步迴歸數，以此類推到無限。
用4的N次方。寫入公式為：（4n²-1）÷3。
它還有另一個性質，用以上公式會形成下列結構：
4x1+1=5=4的1次方+1。
4x5+1=21=4²+4的1次方+1。
4x21+1=85=4³+4²+4的1次方+1。
4x85+1=341=4的4次方+4³+4²+4的1次方+1。
4x341+1=1365=4的5次方+4的4次方+4³+4²+4的1次方+1。
4x1365+1=5461=4的6次方+4的5次方+4的4次方+4³+4²+4的1次方+1。
4x5461+1=21845=4的7次方+4的6次方+4的5次方+4的4次方+4³+4²+4的1次方+1。
以此類推到無限。
我們知道猜想的規則是奇數x3+1=偶數，偶數÷2=奇數，來回循環。所以我們可以證明一下。把所有的無限奇數x3=3的倍數，+1=÷3=餘1的偶數，它們4+6=10. 10+6=16。
4.10.16.22.28.34.40.46.52.58.64.……。下去你會發現4n次方都在這些當中，這佔自然數的1/6，把這些x3+1的偶數÷2會有兩種結果，一種是偶數，一種是奇數，各一出一。奇數又有種結果，就是它們都是÷3餘2的數。把÷2的偶數再÷2，就是÷3餘1的數，來回循環，為什麼會這樣，是因為餘1數x2=餘2數，而餘2的偶數÷2=餘1數。
因為冰雹猜想本質就是數字遊戲，奇數x3+1=偶數，也就是膨脹性質，它是一次一次的，偶數÷2條件合適可以連續÷2，所以是÷2是收縮的性質。
奇數x3+1是跳躍，+1是找4n次方，因為每個奇數（x3+1）÷2的路線是固定的。循環次數也是固定的。所以這個猜想的等式是成立的，不存在反例，只是每個奇數的起點位置不同，確定了循環的次數與形成時間的長度。
那麼我們找一下4n次方，我們按照解刨倒推法一步一步來。4的n次方是
4.16.64.256.1024.4096.16384.65536……。無限下去，會發現都是-1÷3數，也是連續÷2可以歸1的數。把這些數字-1÷3。分別是
1.5.21.85.341.1365.5461.21845……。
因為÷3數是起點沒有上一層，所以能整除3的數不理它。其它的數都是猜想第一個一步迴歸數，上面的奇數都是x4+1的連續數，可以發現有被3整除數，有除3餘1數，有除3餘2數。除3數不能被做為迴歸數，餘1數（x4-1）÷3=第二個迴歸數，餘2數（x2-1）÷3=是第二個迴歸數。讓我們試一試證明一下。（5x2-1）÷3=3 ，3是第一個迴歸數,但3沒有上一個迴歸數。用3x4+1=13.是5的第一個一步迴歸數，13x4+1=53. 是第二個5的第二個一步迴歸數，53x4+1=213. 213是可以被3數除的數，不做為迴歸數。213x4+1=853.是5的第三個一步迴歸數。853x4+1=3413.是5的第四個一步迴歸數。以此類推，有無限個5的一步迴歸數。
5的起點回歸數是3。用（5x2-1）÷3=3.因為3能被3整除.所以不能做為迴歸數。用3x4+1=13. 13是5的第一個迴歸數。用13x4-1=51.51÷3=17.所以17是13的第一個一步迴歸數,17x4+1=69.不能做為13的迴歸數,69x4+1=277. 是13的第二個一步迴歸數。277x4+1=1109.是13的第三個一步迴歸數。讓我們驗證一下：1109x3+1=3328÷2=1664÷2=832÷2=416÷2=208÷2=104÷2=52÷2=26÷2=13x3+1=40÷2=20÷2=10÷2=5x3+1=16÷2=8÷2=4÷2=2÷2=1。因為數字是無窮的，以樣本推整體。只要等式成立，就是正確的，和計算機計算大數是沒用的。
為什麼沒有反例，是因為等式成立。隨著數字增大，也只不過相對增加了步數的長度與時間。但再長的路也是有盡頭的，只是個時間問題。
在分成枝口後，在奇數中÷3只有三種性質：被3整除數，餘2數，餘1數，要想找出連續被3整數，餘2數，餘1數，就各x85，就是各個分枝口的位置。分枝都伸向無限，把這棵樹推展不來，就是所有奇數的位置，用（奇數x3+1）÷2就能從下圖知道為什麼每個數最終都能歸1。
述：因本人是體力民工，小學文化，業餘愛好數學，專業術語與數學規範數學符號書寫欠缺。望有識之士諒解！我叫趙生明，陝西省榆林市榆陽區劉千河鄉果園塌二組村民。開始研究是2018年4月左右到現在共用了三個多月的時間。書寫日期為2018年7月16日13點45分。
窺探數字結構
和伽利略的“物體落地速度與質量無關”的論證相比，其他的都弱爆了。
按照從前，甚至現在一部分人的固有思維，如果一個大鐵球一個小鐵球從同樣的高度自由落體，應該是大的鐵球先落地。
如果要論證這條理論的錯誤，很多人可能會從空氣阻力、物體質量、受力形狀等方方面面分析。
可是伽利略用了一個極其簡單的辦法論證，他就發問：如果把兩個鐵球用繩子連起來，那麼速度又會怎樣？
這就是一個悖論：按理，大小鐵球連在一起，一個速度慢一個快，那麼速度應該是二者平均。可是兩個鐵球連在一起，質量是大於大鐵球的，應該比大鐵球下落速度更快。
於是伽利略論證物體自由落體速度與自身質量無關。並當眾演示（歷史上並沒有記載是在比薩斜塔）
在美國的阿波羅計劃裡，宇航員在月球也重複了這個實驗。
只是一根繩子就打破了人的固有印象，沒有任何說教與繁複的證明，就是小學生也可以輕易理解，要說論證的巧妙名副其實，還帶火了那座本是建築失敗品的比薩斜塔。
沉睡的鄧布利多富貴
數學上有許多讓人眼前一亮的證明，其中只勾股定理的證明過程就可達十幾種，我們下面就來看看。
勾股定理是我們初中數學的內容，屬於平面幾何的定理，就是在一個直角三角形中，兩個直角邊分別為a,b。斜邊為c。那麼，a²+b²=c²。
如何證明呢？
第一種，趙爽證明法。
我們可以以a和b為直角邊，其中b＜a，以c為斜邊分別做四個全等的直角三角形，將這四個直角三角形拼成如下圖所示的一個大正方形。那麼，
組成的大正方形的面積就是c²，而這四個同等的直角三角形的面積為1/2ab，所以四個直角三角形面積之和為4×1/2ab=2ab
而中間的藍色的小正方形邊長為a－b，所以小正方形的面積就是（a－b）²
所以中間藍色小正方形的面積就等於外面大正方形的面積減去四個直角三角形面積之和，也就是，（a－b）²=c²－4×1/2ab
a²+b²－2ab=c²－2ab
所以就可以得出，a²+b²=c²
第二種是鄒元治證明法。
還是做以a,b為直角邊，c為斜邊的直角三角形，將四個全等的直角三角形拼成下圖的形狀，可見，這四個三角形拼成了一個正方形。就可以通過正方形面積公式，直角三角形面積公式來證明勾股定理。
如圖所示，外面大正方形的邊長為a+b，所以它的面積就是（a+b）²，而三角形的面積為1/2ab
我們從圖中可以看出內部是由三角形的斜邊c構成的一個正方形，所以它的面積就是c²
中間小正方形的面積就等於外面大正方形的面積減去四個直角三角形面積之和。
也就是，c²=（a+b）²－4×1/2ab，
c²=a²+b²+2ab－2ab
所以，c²=a²+b²
其實，關於勾股定理的證明方法有十六種，還有美國總統證明法，課本證明法，梅文鼎證明法，項明達證明法，歐幾里得證明法，楊作梅證明法，相似三角形證明法，李銳證明法，切割線定理證明法，多列米定理證明法等等，今天就暫時先講了這兩種。
其實在數學史上還有許多有趣的證明，你們還知道有哪些嗎？
時間史
這個問題是很帶有主觀色彩的，畢竟每個人看法不一樣，我只說出我認為數學上好的證明過程。
無理數的無理數次方可能為有理數
說實話無理數的無理數次方讓人聽起來就有點頭暈，現在還要證明其結果可能為有理數。有些數學不好的人可能腦袋都要大了。
但總有一些人我們理解不了，例如這種證法若根號2的根號2次方為有理數，命題得證以得證。如果這個數扔為無理數那麼:
此時我們同樣得到了一個無理數的無理數次方是有理數的例子。怎麼樣，是不是想拍案叫絕？
中國古人對勾股定理的證明
勾股定理沒有人不知道，但是這只是以我們現在的眼界去看。想想我們的古人在千年之前就能夠證明了！
這是三國時期趙爽的證明過程:
三角形為直角三角形，以勾a為邊的正方形為朱方，以股b為邊的正方形為青方。以盈補虛，將朱方、青放併成弦方。依其面積關係有a^2+b^2=c^2.由於朱方、青方各有一部分在玄方內，那一部分就不動了。 以勾為邊的的正方形為朱方，以股為邊的正方形為青方。以贏補
虛，只要把圖中朱方（a2）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，則剛好拼好一個以弦為邊長的正方形（c……2 ）。由此可證勾股定理。
其他證明
其實數學上讓人驚歎的證明過程有很多很多，仔細翻一翻自己的高中數學書或者高等數學書你會發現很多證明過程簡直令人驚歎，有時忍不住會想，他們的腦回路是怎麼轉的。
數學史上，比如費馬大定理的證明，關於積分的證明，哥德巴赫猜想等等都是人類智慧的結晶。
你碰到過什麼讓你讚歎的數學證明嗎？
評論留下你的看法！
科學認識論
也算是對幾十年數學學習的一個小結吧。
列一下從小到大給予我震撼的數學證明：
四年級：證明√2是無理數（亞里士多德），第一次接觸反證法。另一類似的題是歐幾里得證明素數有無限個。
六年級：3*3*3的立方體可否只用5刀（每次可以重組）切成27個單位小立方體？答案是不能（因為中心的單位立方體的6個面都需要刀切），這是我第一次學習尋找數學問題中的“不動點”，或者說是“特徵值/函數”
初二（數競班）：任意階線性遞歸數列求通項。當時對這個“特徵方程”深感神秘，直到後來上大學才意識到這是微積分的基本應用。
高一：證明有理數和自然數一樣多，第一次接觸到集合論和“一一對應法則”。
高三上：儘管高聯拿到了省第一，但第二試的第二題只做出一半。這題本身不值一提，但當時讓我意識到自己的數學水平還停留在冷兵器時代：還沒有掌握“火藥”，即微積分思想。
高三下（集訓隊）：證明無理數比有理數多（類似的：無窮集合冪集>原集），被康托爾精妙的“對角線方法”折服。
大一：e的一切，罄竹難書的美妙！微積分也從此變得有趣。
大二：歐拉公式的推導，你無法不對歐拉的敏銳和深刻頂禮膜拜。
大三：古希臘三大尺規作圖問題不可解，五次以上方程沒有一般根式解。天才伽羅華！抽象代數也是我最喜歡的數學課之一。
入行工作後第一年：算術編碼理論，花一晚上看懂後大腦高潮了好久。
…
最近一次是幾年前，看到絕對反常識的banach-tarski定理的證明，太tm漂亮了！
其實還有很多極其精彩的數學證明，不過大多超出了我的知識範圍，只能不明覺厲。
帖木兒
拍案叫絕的證明過程確實有，在【我和你媽同時掉河裡你先救誰】的求證過程中，首先根據速度時間距離的關係，再通過年齡計算出肌肉的爆發力和滑動摩擦力，這樣就可以得出年輕女朋友的速度大於你媽，女朋友應該走在前面，
再從河岸傾斜度，算出女朋友在加速度下入水的提前量，所要考慮的重點是你女朋友的體重，如果骨感，入水速度更快。
你媽作為中年婦女，體重應該大於你女朋友，這就要有準確的近似值考慮，以便估計你女朋友和你媽之間的距離差，你媽在速度不變的情況下，到達你女朋友的落水點需要多長時間?
通過證明可得，你女朋友和你媽同時掉河裡，從理論上不存在，你女朋友首先不是個盲眼的，之所以掉河裡，只有一種可能，你女朋友一路低頭摳手機，在撩前任，私約，這種情況下，不可能和你媽並肩而行。
由此可知，你媽掉河裡，為救你女朋友，早把生死置之度外。你女朋友說成你媽和她同時掉河裡，是推卸責任，不懂感恩。
你在通過反覆證明之後，應該作出正確選擇，你媽入水較晚，離岸最近，是否捨近求遠?
應該以最快速度，奮力把你媽推向岸邊，讓你媽上岸找到你女朋友的手機，把女朋友營救之後，立刻查看聊天記錄，一切水落石出，起訴你女朋友前任故意綠人罪，或者連女朋友一起起訴，告她與前任合謀害死你親媽。
一切會有的，一切會發生的，掉河裡就掉河裡唄，問君能有幾多愁，恰似一江春水向東流，反正是離不開水，既然是水命，就水水算啦，還指望一個答案能讓你女朋友海枯石爛咋滴?
