第一次數學危機-無理數的發現

勾股定理是咱們小夥伴們都熟悉的，a^2+b^2=c^2。這個公式出來之後就用到了已知兩條邊長求解直角三角形第三條邊的邊長問題上。很明顯，開平方之後會出現根號2、根號3這種情況，這種不能完全開平方的數是無限不循環的小數，我們現在叫做無理數。

我們現在理解這些數當然是沒問題的，不過在當時，這種數的出現，打破了畢達哥拉斯學派認為的世界的和諧性質。他們認為宇宙萬物都可以歸結為整數或者是整數之比。這就導致了一種認識上的“危機”，這個危機被稱為第一次數學危機。

其實，這次“危機”（我並不認為這是什麼危機）給幾何的發展帶來了一次推動。因為，出現了無理數意味著，人類依靠直覺和經驗建立的科學不一定是可靠的，而嚴格的推理證明才是靠得住的。從那以後，希臘人開始重視演繹推理，並且建立了幾何公理體系。這就是危難之中的機遇，古希臘人抓住了這個機遇，創造了平面幾何的第一次輝煌。

第二次數學危機-阿基里斯追不上烏龜

“阿基里斯追不上烏龜”：阿基里斯總是首先必須到達烏龜的出發點，因而烏龜必定總是跑在前頭。這個數學悖論故事是很有名的，其實我們現在的小夥伴都能知道，這是不可能發生的事，只要求一個極限，這個事就搞定了，跟本不存在追不上烏龜的事情。然而在17世紀，微積分剛剛誕生那個時代，這個事還真是個大事。

當時包括牛頓、萊布尼茨等等大佬都沒有找到解決這個問題的辦法。當時微積分剛剛初創，邏輯基礎非常的不牢固。很多基礎問題，無窮小概念，從而導數、微分、積分等概念不清楚；無窮大概念不清楚；發散級數求和的任意性等等；符號的不嚴格使用；不考慮連續性就進行微分，不考慮導數及積分的存在性以及函數可否展成冪級數等等。

那時候，這個問題爭論的焦點就在於無窮小量究競是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論，造成了第二次數學危機。

同第一次數學危機一樣，危機帶來的不是數學大廈的坍塌，而是數學家們再次鞏固了數學大廈的基礎。從數學家波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄裡赫利等人開始，到威爾斯特拉斯、戴德金和康託的工作結束，歷經50餘年，基本上解決了矛盾，為數學分析奠定了嚴格的基礎。

第三次數學危機—我給且僅給自己不刮鬍子的人刮鬍子

好吧，對於集合論老郭也是學了點最最入門的皮毛，說不太清楚。1903年，羅素找到了集合的一個漏洞，並打了一個有趣的比喻說，我給且僅給自己不刮鬍子的人刮鬍子。也就是說你自己給自己刮鬍子那麼我就不給你刮鬍子，如果你不給你自己刮鬍子我就給你刮鬍子。那麼羅素應不應該給自己刮鬍子呢？

就這麼一個小小的刮鬍子的比喻要了集合論的創立者康托爾老命，最終死在了自己工作的哈佛大學精神病院裡面。由此看出，要是誰沒點精神問題，還都不好意思說自己是數學家。

雖然說後來經過很多數學家的努力，但至今只能說是趨於完善，依舊沒有人能夠完美解決這個刮鬍子的問題，因此被稱為第三次數學危機。

總結，其實我覺得，三次數學危機的本質其實都是一個有窮和無窮的問題。

人類的經驗都是建立在有窮的基礎之上，屬於有窮思維，而高等數學這種東西，其實就是在跟無窮打交道，所以在處理問題的時候必須要小心謹慎。另外，數學遇到了不能解決的麻煩和挫折可以認為是一種危機，但同時危機也意味著機遇和挑戰，解決危機就意味著進步。所以，三次數學危機，三次推動了數學的發展。

郭哥論道

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關鍵字: 數學史危機科學