集合論的任務就是以最為簡單的方式來研究數、序和函數等基本概念，並藉此建立整個算術和分析的邏輯基礎。集合論已經成為現代數學的基礎。
如果說歐幾里得幾何體系，或者後來的希爾伯特幾何公理化體系是為了更好地研究“圖形和圖形關係”，那麼，集合論公理化系統則是為了更好地研究“數量和數量關係”。
集合是由元素唯一確定的，元素與集合之間存在屬於關係。在數學教學，特別是在中學數學的教學過程中，應當先用一些例子從各個角度對集合建立直觀認識，在直觀認識的基礎上抽象出上面談到的，建立集合必須確認的兩個最少條件，然後再進行符號抽象。
現在通用的集合論公理化系統的基礎是策梅羅1908年給出的，後經弗蘭克爾少量修改，人們稱這個集合論公理化系統為ZF系統。
在ZF系統中，選擇公理是不能忽視的，不接受選擇公理會使數學家們舉步維艱，許多需要選擇公理才可能證明的定理，已經成為現代分析學、拓撲學、抽象代數、超限數理論以及其他一些相關研究領域的基礎性定理。但是，沒有選擇公理的ZF系統也是成立的。
集合論之所以能夠成為現代數學的基礎，是因為現代數學從有限走向無限、從定量走向變量、從四則運算走向極限運算，這就不能不涉及對於包括實數在內的無窮量的定義和性質研究，而這些恰恰是集合論的核心內容。
在前面的討論中，我們已經在很多場合涉及集合的概念，並且利用集合的語言來論證問題，我們可以體會到，利用集合的語言來論證問題是非常方便的。在這一講，我們將集中討論集合的含義、性質，討論集合論公理系統，以及與這些內容有關的一些問題。如果說歐幾里得幾何體系，或者後來的希爾伯特幾何公理化體系是為了更好地研究“圖形和圖形關係”，那麼，這一講將要討論的集合論公理化系統則是為了更好地研究“數量和數量關係”。但是，與幾何公理體系不同的是，集合論本身的研究也成為了數學的一個研究領域，這是因為抽象了的“數”遠遠要比抽象了的“圖”更加便捷，更具有一般性，因而問題的研究也更加深刻，正如我們在《統計學的發展》中所說，“數”特別是“數據”幾乎可以成為任何信息的載體。
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