集合论的任务就是以最为简单的方式来研究数、序和函数等基本概念，并借此建立整个算术和分析的逻辑基础。集合论已经成为现代数学的基础。
如果说欧几里得几何体系，或者后来的希尔伯特几何公理化体系是为了更好地研究“图形和图形关系”，那么，集合论公理化系统则是为了更好地研究“数量和数量关系”。
集合是由元素唯一确定的，元素与集合之间存在属于关系。在数学教学，特别是在中学数学的教学过程中，应当先用一些例子从各个角度对集合建立直观认识，在直观认识的基础上抽象出上面谈到的，建立集合必须确认的两个最少条件，然后再进行符号抽象。
现在通用的集合论公理化系统的基础是策梅罗1908年给出的，后经弗兰克尔少量修改，人们称这个集合论公理化系统为ZF系统。
在ZF系统中，选择公理是不能忽视的，不接受选择公理会使数学家们举步维艰，许多需要选择公理才可能证明的定理，已经成为现代分析学、拓扑学、抽象代数、超限数理论以及其他一些相关研究领域的基础性定理。但是，没有选择公理的ZF系统也是成立的。
集合论之所以能够成为现代数学的基础，是因为现代数学从有限走向无限、从定量走向变量、从四则运算走向极限运算，这就不能不涉及对于包括实数在内的无穷量的定义和性质研究，而这些恰恰是集合论的核心内容。
在前面的讨论中，我们已经在很多场合涉及集合的概念，并且利用集合的语言来论证问题，我们可以体会到，利用集合的语言来论证问题是非常方便的。在这一讲，我们将集中讨论集合的含义、性质，讨论集合论公理系统，以及与这些内容有关的一些问题。如果说欧几里得几何体系，或者后来的希尔伯特几何公理化体系是为了更好地研究“图形和图形关系”，那么，这一讲将要讨论的集合论公理化系统则是为了更好地研究“数量和数量关系”。但是，与几何公理体系不同的是，集合论本身的研究也成为了数学的一个研究领域，这是因为抽象了的“数”远远要比抽象了的“图”更加便捷，更具有一般性，因而问题的研究也更加深刻，正如我们在《统计学的发展》中所说，“数”特别是“数据”几乎可以成为任何信息的载体。
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