2012 年，美國經濟學家阿爾文·E·羅斯（Alvin E. Roth）和羅伊德·S·沙普利（Lloyd S. Shapley）因其“穩定匹配理論和市場設計中的實踐”獲得諾貝爾經濟學獎。
最近發現了一位寶藏經濟學家，他就是《小學二年級就能讀懂的經濟學的作者》的作者坂井豐貴。我們都知道，經濟學的很多書，一般人都看不下去，然而，坂井豐貴就特別擅長把複雜的經濟學問題表達得簡單直白，即使不會複雜的模型和高深的數學基礎，也能看明白。
《合適：從升學擇校、相親配對、牌照拍賣了解新興實用經濟學》是坂井豐貴16年在國內出版的書，在這本書中，他通過簡單的案例說明，如何將2012年諾貝爾經濟學獎的匹配理論用於腎臟移植、求職、擇校、相親、牌照拍賣等領域，講得通俗易懂、簡單有趣。其中，TTC算法（最適交易循環法Top-trading Cycles Algorithm）既簡單又強大，我們一起來看看TTC算法如何實現最佳住宅分配和腎臟移植匹配。
一 基本概念：帕累託改進、帕累托最優、強核配置
背景：學生1住在房間1，學生2住在房間2，學生3住在房間3，學生4住在房間4。因為學生宿舍房間的位置、大小、光照和房租等條件不同，每個學生對於房間的偏好也有所不同：有的學生喜歡大的房間，不在乎房租；有的學生寧願選擇房租便宜一點的，不在乎光線和大小。
交換規則：通過交換房間，改善學生的居住滿意度，保證每個人都不會換到比現在更差的房間，這種約定就是
個體合理性，即通過交換，每個人的處境都得到改善，最差的情況也只是維持現狀。交換的目的就是將合適的房間，交到合適的人手中。
上面的表格顯示出，每個學生對於房間的偏好，比如，學生1最喜歡房間4，其次是房間3，然後是房間2，第四位才是現在的房間1。從表中，我們可以發現，學生1、3、4目前住的房間都是自己最不喜歡的，只要保證學生2不住在房間1中，交換對每個人都是有利的。
現在，我們來看兩個方案A和B，在B方案中，學生1和2的滿意度比方案A中的滿意度更高，這就是說，方案B相對於方案A是一種帕累託改進，方案A不是最好的匹配方案。那麼B方案是不是最好的方案？
再仔細看一下，我們就會發現，在B方案的情況下，學生2和學生3可以通過私下交換房間，而得到自己最想要的房間，這將會導致參與交換的人數減少，交換產生的滿意度也會降低，
這種“由小集團發起的私下協議，稱為阻止”。我們需要尋找一種不會發生阻止，又能使每個人的偏好得到最大的滿足的分配，是一種帕累托最優的方案，即沒有方案比這個方案更好的了。這種方案就是強核配置。為什麼強核配置這麼重要，因為這是保證資源得到合理配置的最佳解決方案，尤其是當資源能夠拯救人的生命時，這一點就變得尤為重要。
方案C在這個例子中，就是一種強核配置。它能保證：一、沒有人會進行私下交換，即阻止；二、滿足了個體合理性；三、這是一個帕累托最優的方案。
強核配置除此之外，還有兩個特點：強核配置一定存在，這已經被經濟學家羅伊德·S·沙普利和赫伯特•斯卡夫證明；強核配置一定是唯一的，這被阿爾文·E·羅斯和安德魯•波斯爾思韋特證明。現在的問題變成：如何找到強核配置？
在住宅市場模型中，假如有N個學生住在N個房間中，分配的方式就有N的階乘：N！=N*(N-1)……*2*1種。比如，4個學生，4個房間會24種匹配方案，而到了10個學生，10個房間，就會產生360萬種方案。
如何在如此龐大的分配組合中，找出唯一的強核配置方案呢？這就需要一個特別強大的算法:TTC算法（最適交易循環法Top-trading Cycles Algorithm）
二 TTC算法（最適交易循環法Top-trading Cycles Algorithm）
TTC算法是由數學家戴維•蓋爾發明的，在1974年，首次被經濟學家沙普利和斯卡夫在論文中公開發表。我們來看看TTC算法有多好用。
現在假設，7個學生住在7個房間中，那麼總共就有5040種分配方案，我們需要在這些方案中找到唯一一個強核配置。在TTC算法中，按照學生和最喜歡的房間進行匹配，學生1對應房間5，依次如下面所示：
第一輪：
1→5
2→3
3→4
4→1
5→4
6→7
7→1
從學生1開始，尋找第一個閉合循環，即1→5，5→4，4→1。此輪確定：學生1住房間5，學生5住房間4，學生4住房間1。
第二輪：剩下的學生2、3、6、7只能從剩下的房間2、3、6、7選擇自己最喜歡的房間，比如，房間4已經被學生5住了，房間5被學生1住了，學生3只能放棄自己前面兩個選擇，選擇第三偏好的房間2，依次如下所示：
2→3
3→2
6→7
7→7
從學生2開始，尋找閉合循環：第一個閉合循環，2→3；3→2；第二個閉合循環：7→7。此輪確定：學生2住房間3，學生3住房間2，學生7住房間7。
第三輪：只剩下學生6和房間6。強核配置結束。
在TTC算法中，每一輪至少會有1人離開，也就是說，如果有N個學生，N個房間，最多經過N輪就能找到強核配置，這比前面的N的階乘種方案，工作量大大減少。在這個例子中，TTC算法通過3輪匹配，就能從5040種方案中找到了唯一、最佳的強核配置方案。
TTC算法不僅能夠快速得出強核配置組合，還被證明
能杜絕通過虛報自己的偏好獲利的可能，即TTC算法具有防策略性，也就是說在TTC算法下，如實選擇自己的偏好就是最佳策略，即使有人想通過說謊得到自己的心頭好，也會被TTC算法所識破。經濟學家還證明了，強核規則唯是一滿足帕累托最優、個體合理性和防策略性的規則。
三 從住宅模型發展到腎臟移植匹配
我們都知道，在各個國家都禁止進行器官買賣，以防止出現嚴重的倫理問題，所以腎臟交易市場的存在是不合法的。那麼，連交易市場都不存在，腎臟移植問題能算是經濟學問題嗎？
腎臟移植的過程，其實就是將需要移植腎臟的患者和腎臟捐獻者匹配起來，同時又因為腎臟捐獻者大大少於腎臟患者，因此，腎臟移植匹配其實就是稀缺資源的分配問題，腎臟患者和捐獻者之間存在一種供求關係，從這個角度來看，腎臟移植匹配確實是屬於經濟學研究的範圍。
坂井豐貴說，
“世界並不是個愛心氾濫的地方，所以當善意出現時更要儘可能做到物盡其用。因此我們需要算法，規劃出最佳的匹配鏈條。”經濟學家們可能就是基於這樣的想法，將住宅模型進行了擴展，通過對模型應用條件進行修正和補充，將其運用到腎臟移植匹配中，我們應該感謝阿爾文·E·羅斯等經濟學家的努力，這種應用挽救了很多腎臟患者的生命。相比於住宅模型，腎臟分配模型進行了以下的修正：
住戶=患者
住戶的房間=針對某個特定患者的捐獻者
空房間=新的捐腎源，在此案例中，假設房間5、6、7為空房間
新的入住者=沒有捐獻者的患者，在此案例中，假設學生5、6、7為新的入住者
不僅學生選擇自己最滿意的房間，房間也選擇學生。規則如下：
·規則 1 現已有人住的房間，指定該既有住戶。
·規則 2 現在空著的房間，按照指定優先順序最高的學生。
現在我們來看一下，在新的情況下，TTC算法的應用。
第一輪：每個學生指出自己最滿意的房間，同時，房間按照規則 1 和規則 2 指定學生，在第一輪中，空房間5、6、7優先供新的入住者學生5選擇。為了區分學生和房間，房間編碼用①—⑦表示。
1→⑤ ①→1
2→③ ②→2
3→④ ③→3
4→① ④→4
5→④ ⑤→5
6→⑦ ⑥→5
7→① ⑦→5
從學生1開始，形成了循環 1→⑤ →5→④ →4→① →1。於是，學生1得到房間 5，學生5得到房間 4，學生4得到房間 1。
第二輪，剩下學生 2、3、6、7，房間 2、3、6、7。學生指出其中自己最滿意的房間，同時房間按照規則 1、2 指定學生，空房間6、7優先供新的入住者學生6選擇：
2→③ ②→2
3→② ③→3
6→⑦ ⑥→6
7→⑦ ⑦→6
這一輪，產生兩個循環：2→③→3→②→2 和6→⑦→6。學生2得到房間3，學生3得到房間2，學生6得到房間 7。
第三輪，現在只剩下學生7和房間6，學生 7 得到了房間 6。
這就是修正後的TTC算法的應用，因為實際中捐腎數量嚴重不足，所以，相當於患者得到的是列入等待名單靠前的權利。從前面的案例中，我們可以看到，TTC算法的簡單和強大之處，在處理人與物的組合時，它真正做到了物盡其用。當被實際運用於醫學界，因為更合理地匹配稀缺腎源而拯救了很多患者的生命。
通過《合適》這本書，我們可以獲得另一種看待經濟學的角度，那就是很多經濟學家的基礎研究工作，正在慢慢地改善這個世界。也許我們應該給予經濟學更多的關注和支持，也學會用經濟學的思維來改善自己的生活。
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