A.知識點睛
符合一定條件的動點所形成的圖形，或者說，符合一定條件的點的全體所組成的集合，叫做滿足該條件的點的軌跡。雖然初中數學中沒有系統學習軌跡知識，但我們在學習圓的知識過程中，常碰到一個基本圖形：已知AB為定線段，C為動點，且∠ACB=90°，根據"直徑所對的圓周角為直角"，我們能推出則動點C則為以AB為直徑的圓上的任意一點。如下圖示：
【拓展】線段同側的兩點對線段的張角相等，則這兩點以及線段的兩個端點共圓。也稱為定弦定角問題。即：若AB為一定線段，點C為動點，且∠ACB大小為一固定值，則A、B、C三點必共圓，或稱為點C一定在以AB為弦的某一個圓上，且這個圓是固定的，圓心在線段AB的垂直平分線上。那麼我們只要根據具體角度的條件去尋找這個圓即可。
由此可歸結：和已知線段的兩個端點的連線的夾角等於已知角的點的軌跡是以已知線段為弦，所含圓周角等於已知角的兩段弧(端點除外)
定弦定角問題常應用於求線段的"最值"，問題的關鍵就在於找到運動過程中必存在的定線段，及這條線段關於某一動點的張角為定值。由張角的變化，去尋找這三點所構成的定圓。
B．典型問題
1．（2018秋•海陵區期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，P為一動點，且PA⊥PC，連接BP，則BP的最大值為 ________．
【分析】先確定BP的最大值：根據圓周角定理畫⊙O，當PB經過點O時，BP最大，根據勾股定理可得結論．
【解答】∵PA⊥PC，∴∠APC＝90°，∴點P在以AC為直徑的圓上，
取AC的中點為O，以AC為直徑畫⊙O，則當PB經過點O時，BP最大，
【點評】本題考查了線段的最值問題，此類題有難度，利用數形結合的思想是關鍵，理解題意確定P的運動路徑最重要．
2（2018•雁塔區校級四模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點H在CD上，且CH＝1，點E繞點B旋轉，且BE＝1，同時在CE上方作正方形EFGC，則線段FH的最小值是______ ．
【分析】連接AF、AC、FH，證明△AFC∽△BEC，從而根據E點運動軌跡發現F點是以A點為圓心，AF＝為半徑的圓上運動．當A、F、H三點共線時，FH有最小值．
3．（2019•龍泉驛區模擬）如圖，⊙O的半徑是2，弦AB＝2√3，點C為是優弧AB上一個動點，BD⊥BC交直線AC於點D，則是△ABD的面積的最大值為_______ ．
【分析】如圖，以AB為邊向上作等邊三角形△ABF，連接OA，OB，OF，DF，OF交AB於H．說明點D的運動軌跡是以F為圓心，FA為半徑的圓，推出當D在OF的延長線上時，△ABD的面積最大．
【解答】如圖，以AB為邊向上作等邊三角形△ABF，連接OA，OB，OF，DF，OF交AB於H．∵FA＝FB，OA＝OB，∴OF⊥AB，AH＝BH＝√3，
∴sin∠BOH＝√3/2,∴∠BOH＝∠AOH＝60°，
∴∠AOB＝120°,∴∠C＝1/2∠AOB＝60°，
∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠CDB＝30°，
∵∠AFB＝60°，∴∠ADB＝1/2∠AFB，
∴點D的運動軌跡是以F為圓心，FA為半徑的圓，
∴當D在OF的延長線上時，△ABD的面積最大，最大面積＝1/2×2√3(2√3+3)＝6+3√3，故答案為6+3√3．
4.（2019•安徽一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，點D是BC邊上一動點，連接AD交以CD為直徑的圓於點E．則線段BE長度的最小值為（ ）
A．1B．3/2 C. √3 D．5/2
【分析】作AC為直徑的圓，即可得當O、E、B三點共線時，BE是最短，也即求OB的長度即可求．
【解答】如圖，作以AC為直徑的圓，圓心為O
∵E點在以CD為直徑的圓上,∴∠CED＝90°,∴∠AEC＝180°﹣∠CED＝90°
∴點E也在以AC為直徑的圓上，若BE最短，則OB最短
∵AC＝8，∴OC＝4，∵BC＝3，∠ACB＝90°，∴由勾股定理可求得OB＝5
∵OE＝OC＝4,∴BE＝OB﹣OE＝5﹣4＝1.故選：A．
C.牛刀小試
1（2019•鳳山縣一模）如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2√3，D點是△ABC所在平面上的一個動點，且∠BDC＝60°，則△DBC面積的最大值是（ ）
A．3√3B．3C．√3D．2√3
【解析】因為AB＝AC＝2，BC＝2，可得∠BAC＝120°，以A為圓心，AB為半徑作⊙A，與HA的延長線相交於點D，因為∠BDC＝60°，所以點D在⊙O上運動，當D運動到如圖的位置時，△DBC面積最大，根據三角形面積公式即可得出△DBC面積的最大值1/2×2√3×3=3√3．故選：A．
2（2019•蒼南縣一模）如圖，⊙O的半徑為2√3，四邊形ABCD為⊙O的內接矩形，AD＝6，M為DC中點，E為⊙O上的一個動點，連結DE，作DF⊥DE交射線EA於F，連結MF，則MF的最大值為（ ）
A．3√3+√69B．6+√57 C．2√3+√61 D. 6√3
【解析】如圖，連接AC交BD於點O，以AD為邊向上作等邊△ADJ，連接JF，JA，JD，JM．判斷出點F的運動軌跡即可解決問題．
∴點F的運動軌跡是以J為圓心JA為半徑的圓，∴當點F在MJ的延長線上時，FM的值最大，此時FJ＝6，由勾股定理可求得JM＝√57，∴FM的最大值為6+√57，故選：B．
3（2019•濱海縣一模）如圖，在平面直角座標系xOy中，點A（0，8），點B（3，4），點P是x軸上的一個動點，作OQ⊥AP，垂足為點Q，連接QB，則△AQB的面積的最大值為______
【解析】利用AB為定長和三角形面積公式得到當Q點AB的距離最大時△AQB的面積的最大，作BH⊥OA於H，則H（0，4），先判斷點Q在以OA為直徑的圓上，且當QH⊥BC時，Q點AB的距離最大，如圖，Q′H⊥AB於C，利用面積法計算出HC＝12/5，則CQ′＝4+12/5=32/5，然後計算△AQB的面積的最大值1/2×5×32/5=16．．故答案為：16
4（2019春•海淀區校級月考）在平面直角座標系xOy中，點A（1，1），C（﹣1，﹣1）．⊙A，⊙C的半徑均為1，平行四邊形MONP的頂點M，N分別在⊙A，⊙C上，則線段OP長度的最大值為 _______．
【解析】點P的運動軌跡也是圓，圓的半徑與⊙A的半徑相等，直徑為2，推出當OP為直徑時，OP的值最大，最大值為2．∴點P的運動軌跡也是圓，圓的半徑與⊙A的半徑相等，直徑為2，∴當OP為直徑時，OP的值最大，最大值為2．故答案為2．
D.反思小結：
數學的學習，不能只滿足於表面文字的學會，還要深入理解概念、原理、方法等精神實質。同學們做題，首先要找到答案，這是最基本的要求，但還不是最終的目的，如果求出答案之後不能把題目所隱含的數學內容的實質揭示出來，就等於在原有的思維水平上做簡單的重複，在原地踏步而已。如果通過一道題，我們把這道題看透了，思維層次也隨之登上了一個小小的臺階。確實，誰也無法教會同學們所有的習題，但是我們可以通過有限道題的實踐，去領悟那種能解決無限問題的數學機智。
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