例题：（初中数学竞赛题）如图，已知NS是⊙O的直径，弦AB丄NS于M，P为弧ANB上异于N的任一点，PS交AB于R，PM的延长线交⊙O于Q．求证：RS＞MQ．
今天，数学世界给大家分析一道初中数学竞赛题，很多人看了此题后，都感觉非常简单，但是真正开始做了之后才知道，想证明出结论并不容易。这题确实有一定难度，如果不知道四点共圆的判定与性质，肯定是很难做出来的。解本题的关键是借助“四点共圆”，根据已知条件和图形特点，即可解决问题。下面，我们就一起来分析这道例题吧！
分析：此题要证明的结论其实可以很直观的推出来，如果是选择题就很容易了，但是这是解答题，必须要有严谨的推理过程。由于图中有圆，所以辅助线是必不可少的。连接NR并延长交⊙O于Q′，连接NP，NQ，MQ′，SQ′。
根据∠NPS+∠NMB=180°，可证得N，M，R，P四点共圆，根据圆周角定理和等量代换，可证得∠SNQ′=∠SNQ，得出Q与Q′关于NS对称，则MQ′=MQ。再证明M，S，Q′，R这四点共圆，由于RS为直径，MQ′为非直径的弦，则必有RS＞MQ′，于是结论得证。
证明：连接NR并延长交⊙O于Q′，连接NP，NQ，MQ′，SQ′，
∵NS是⊙O的直径，弦AB丄NS于M，
∴∠NPS=∠NMB=90°，
∴∠NPS+∠NMB=180°，
∴N，M，R，P四点共圆，
根据圆周角定理和等量代换，
得∠SNQ′=∠MNR=∠MPR，∠MPR=∠SPQ=∠SNQ，
即∠SNQ′=∠SNQ，
根据圆的轴对称性可知Q与Q′关于NS对称，
∴MQ′=MQ．
同样根据圆周角定理和对称，
得∠NQ′R=∠MQN=∠MSR，
∴M，S，Q′，R四点共圆，
∵RS为直径，MQ′为非直径的弦，
∴RS＞MQ′，
∴RS＞MQ.
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