小牧童
如何藉助幾何直觀將複雜的數學問題變得簡單，明瞭？
說起來很輕鬆，這其實是個大問題。從數學教育的角度來看，它實際是數學教育所要形成的核心素養之一：直觀想象。
直觀想象主要指藉助空間想象感知事物的形態與變化,利用幾何圖形理解和解決數學問題。主要包括利用圖形描述數學問題,啟迪解決問題的思路,建立形與數的聯繫,加深對事物本質和發展規律的理解和認知。直觀想象，在實際教學中，通常表現為以下四個方面的能力：
利用圖形描述數學問題
- 利用圖形理解數學問題
- 利用圖形探索和解決數學問題
- 構建數學問題的直觀模型
要想借助幾何直觀將複雜的數學問題變得簡單，明瞭，必須具備以上這四方面的能力。
一。利用圖形描述數學問題
有時候，一些數學問題（特別是應用型問題）是用文字進行描述的，就需要把文字轉化為圖形（畫圖）。將問題通過幾何直觀描述出來，加深對問題的理解，獲得解決思路。
我們看一個簡單的例子。
快遞小哥從公司出發，先向西騎行5km到達A地，繼續向西騎行3km到達B地，然後又向東騎行10km到達C地，然後回到公司。問A，B，C三地各相距多遠？快遞小哥騎行的距離是多少？
通過分析題意，發現用數軸模型來直觀描述題意是個好想法（如下圖1）。
圖1
將問題用數軸描述，即以向東方向為正方向，以公司為原點O，建立數軸。則按題意獲得A，B，C三點的座標點，從而求三點之間距離，騎行距離就是求三條線段OB,BC,OC之和。
二。利用圖形理解數學問題
利用幾何圖形，理解解釋數學問題，通常獲得數學問題的幾何意義。
比如，初中所學完全平方公式（a+b）^2=a^2+b^2+2ab，作為初中代數中的重要公式，其幾何含義是什麼？就可以用下列圖形解釋：邊長為a+b的正方形，用兩條互相垂直的直線分割為四部分：邊長分別為a，b的正方形各1個和2個長寬分別為a，b的矩形（如下圖2）。根據其分割前後的面積相等，即得（a+b）^2=a^2+b^2+2ab。
利用幾何圖形對代數公式作出解釋是初中數學中常用的方法。
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三。利用圖形探索和解決數學問題
用圖形探索數學問題的數量關係，空間關係及其變化規律，是獲得問題解決的常用手段，並且解決問題的過程直觀明瞭，有時甚至是出奇制勝。請看下圖3：
圖3
我相信很多人明白下圖所表達的含義：用兩個（綠色，紅色）正方形可以拼成一個大正方形，
用字母表示就是：a^2+b^2=c^2，其中a，b，c分別是三個正方形的邊長，同時也是直角三角形的三邊。這個圖叫“青朱出入圖”，魏晉時期劉徽發明的，它是勾股定理的無字證明。
四。構建數學問題的直觀模型
直觀想象，直觀是基礎，想象是延伸。它是一種思維形式，更是發現問題、分析問題、解決問題的常用手段。通過直觀想象探尋解決思路，進行數學推理，構建數學模型，可以把看似毫無關聯的事物聯繫起來。
比如這樣一個數學問題：任意說出三個正數，以這三個數為邊長構成三角形的概率是多少?該三角形是鈍角三角形的概率有多大？
這個問題好像沒辦法直接去求，但我們可以通過一系列的分析，藉助幾何直觀，建立數學模型，直接計算，並設計數學試驗來驗證。
一般人都知道以下兩個數學事實：
事實1 不是任意長度的三條線段就可以構成三角形的；
事實2 不是任意三角形都是鈍角三角形的；
這兩個事實說明，無論是構成三角形，還是構成的三角形是鈍角三角形，都是要有條件的。要解決這個問題就必須先要弄清楚這些條件，這些條件是什麼呢？
以下兩個條件，一般初中生都知道：
設任意三個正數為a，b，c，且a≤b≤c，則以這三個數為邊長能夠構成鈍角三角形的條件是
條件1 a+b>c（構成三角形）
條件2 a^2+b^2
這兩個條件必須同時滿足，缺一不可！
進一步分析知道，這兩個條件等價於：a/c+b/c>1且（a/c）^2+（b/c）^2<1，
設x=a/c，y=b/c，這進一步簡化為x+y>1且x^2+y^2<1，此處0 而x+y>1且x^2+y^2<1，給我們的直觀想象是什麼？ 如果你不能想象的話，就想象一下x+y=1且x^2+y^2=1表示的圖形（象）吧。 直線和圓唄！ 因而x+y>1表示直線x+y=1的上方，x^2+y^2<1表示圓x^2+y^2=1的內部，而0 因而建立計算模型： 所求概率=相應區域與單位正方形的面積之比。 因為單位正方形的面積=1, 計算模型簡化為： 所求概率=相應區域的面積。 因此，以任意三個正數為邊長，構成三角形的概率=0.5，構成鈍角三角形的概率 圖4 設計數學試驗進行驗證： a，b，c是隨機正數，則x，y就是0~1之間隨機數，因而點（x，y）就是單位正方形內隨機點，當隨機點落在正方形右上區域時，滿足條件1，可以構成三角形；當這些隨機點，落在弓形區域內時，同時滿足條件1，2,可以構成鈍角三角形。下圖是按照此原理設計的數學試驗模型，可以來驗證計算結果，甚至可以利用此模型來測量圓周率PI的值。這種測量圓周率PI的方法，在數學上叫做蒙的卡羅方法。 需要說明的是這個試驗，可以用擲骰子來替代隨機點。因而看似風馬牛不相及的兩件事：構成三角形的概率與擲骰子，通過直觀想象建立適當的幾何模型聯繫在一起獲得解決。 數學中形與數之間的聯繫具有高度的抽象性，通過幾何直觀，數形結合，將複雜的數學問題變得簡單，明瞭，不僅是數學六大核心素養之一：直觀想象在解決數學問題中體現，更是其他五個核心素養：數學抽象，邏輯推理，數學建模，數學運算，數據分析的綜合作用，所以將數學六大核心素養落實於數學教學中，以數學問題為載體，關鍵還是在培養學生的思維能力、綜合分析問題和解決問題能力。
結語
中考數學當百薈
對數學不太懂，沒有發言權，不過曾寫過一篇文章，利用數學的圖像處理物理問題，現在整理一下，推薦給大家，如有興趣，可以看一下，權當消磨時間。
先看一個例子：如果加在某定值電阻兩端的電壓從8V升高到10V，通過定值電阻的電流變化了0.2A，則該電阻所消耗的電功率的變化量是A.0.4W B.2.8W C.3.2W D.3.6W
這是一道很容易出錯的問題，常見錯誤是ΔP＝ΔUΔI＝（10V－8V）×0.2A＝0.4W。
其錯誤就在於臆造了一個公式ΔP＝ΔUΔI，事實上ΔP＝P2－P1＝U2I2－U1I1，二者完全不是一回事，如作出該電阻的U－I圖像，孰是孰非則一目瞭然。
通過上圖不難看出，
ΔP＝P2－P1＝U2I2－U1I1是圖中陰影部分面積，而ΔUΔI是矩形ABCD的面積，只是陰影部分的一部分。所以，通過ΔP＝ΔUΔI求定值電阻功率的變化量是錯誤的。不僅如此，通過圖像，我們可以得到一種新穎的解法，即利用數學面積公式，求出陰影部分面積。還要先做點準備工作，利用數學知識可以證明梯形ABU2U1和梯形ABI2I1的面積相等（此略）。這樣，只要求出一個梯形面積，就可得到陰影部分面積，就是電阻功率變化量的數值。
對上題，S梯形ABI2I1＝1/2（U1+U2）ΔI＝1/2×（8V+10V）×0.2A＝1.8W則該電阻消耗的功率的變化量ΔP＝2S梯形ABI2I1＝2×1.8W＝3.6W
為加深印象，下面再舉幾例。
變題1.如果加在某定值電阻兩端的電壓增大2V，通過該定值電阻的電流從0.3A增大到0.4A，則該電阻的電功率的增大量是 A.0.2W B.1.4W C.1.8W D.3.2W
解析：S梯形ABU2U1＝1/2（I1+I2）ΔU＝1/2×（0.3A＋0.4A）×2V＝0.7W
該電阻所消耗的電功率的變化量ΔP＝2S梯形ABU2U1＝2×0.7W＝1.4W
變題2.在如圖所示的電路中，電源電壓保持不變。閉合開關S後，當滑動變阻器的滑片P處在某一位置時，電壓表示數為4V，移動滑動變阻器的滑片P使電流表的示數增大0.2A，發現電阻的功率增大了2W，則此時電壓表的示數為＿＿V，該定值電阻的阻值是＿＿Ω。
解析：S梯形ABI2I1＝1/2（U1+U2）ΔI＝1/2ΔP
即1/2×（4V＋U2）×0.2A＝1/2×2W
解之得：U2＝6V
該定值電阻的阻值R＝ΔU/ΔI＝（6V－4V）/0.2A＝10Ω
變題3.在如圖所示的電路中，電源電壓恆定。閉合開關後，當滑動變阻器的滑片處於a處時，電壓表的示數是8V；當滑動變阻器的滑片滑到b處時，電流表的示數是1A，定值電阻的電功率變化了3.6W。那麼，當滑動變阻器的滑片處於a點時，電流表的示數是＿＿A；當滑動變阻器的滑片處於b點時，電壓表的示數是＿＿V。
解析：S梯形ABU2U1＝1/2（I1+I2）（U2-U1）＝1/2ΔP 即1/2×（I1+1A）×（U2-8V）＝1/2×3.6W① S梯形ABI2I1＝1/2（U1+U2）（I2-I1）＝1/2ΔP 即1/2×（8V＋U2）×（1A－I1）＝1/2×3.6W② 解由①②組成的方程組得： 當滑動變阻器的滑片在a點時，電流表的示數I1＝0.8A；當滑動變阻器的滑片在b點時，電壓表的示數U2＝10V。
