摺紙藝術據傳起源於中國的漢朝，應該是在東漢蔡倫發明造紙術後不久。隋朝時經朝鮮傳到了日本，又從日本傳向西方。
摺紙與數學相結合的開始大約可追溯到公元8世紀中期，處於文化鼎盛時期的阿拉伯人獨立發展了摺紙藝術，他們將歐洲幾何學原理運用到摺紙中，並且利用摺紙來研究幾何學。從19世紀開始，摺紙在西方成為了數學和科學研究的工具，解決在摺紙過程中發現的一些數學之迷已經發展成為現代幾何學的一個分支。摺紙作為一種人們熟悉的娛樂活動，如果將其運用到數學教學的過程中，相信會獲得很好的教學效果。
（一）摺紙公理
一張白紙，不剪不裁，卻能折出無數變化。尺規作圖無法完成的任務，摺紙卻能解決。為什麼它能有如此多變化呢？這還要從摺紙對應的幾何操作說起了。
1991 年，日裔意大利數學家藤田文章（Humiaki Huzita） 指出了摺紙過程中的 6 種基本操作，也叫做摺紙幾何公理。假定所有摺紙操作均在理想的平面上進行，並且所有摺痕都是直線，那麼這些公理描述了通過摺紙可能達成的所有數學操作：
容易看出，它們實際上對應著不同的幾何作圖操作。例如，操作 1 實際上相當於連接已知兩點，操作 2 實際上相當於作出已知兩點的連線的垂直平分線，操作 3 則相當於作出已知線段的夾角的角平分線，操作 4 則相當於過已知點作已知線的垂線。真正強大的則是後面兩項操作，它們確定出來的摺痕要滿足一系列複雜的特徵，不是尺規作圖一兩下能作出來的（有時甚至是作不出來的）。正是這兩個操作，讓摺紙幾何有別於尺規作圖，摺紙這門學問從此處開始變得有趣起來。
更有趣的是，操作 5 的解很可能不止一個。在大多數情況下，過一個點有兩條能把點 A 折到直線 a 上的摺痕。
操作 6 則更猛：把已知兩點分別折到對應的已知兩線上，最多可以有三個解！
一組限定條件能同時產生三個解，這讓操作 6 變得無比靈活，無比強大。利用一些並不太複雜的解析幾何分析，我們能得出操作 6 有三種解的根本原因：滿足要求的摺痕是一個三次方程的解。也就是說，給出兩個已知點和兩條對應的已知線後，尋找符合要求的摺痕的過程，本質上是在解一個三次方程！
後來，這 7 條公理就合稱為了藤田－羽鳥公理（Huzita–Hatori 公理），你可以在 維基百科 上讀到這個條目。在 2003 年的一篇文章中，世界頂級摺紙 藝術家 羅伯特•朗 （Robert J. Lang ）對這些公理進行了一番整理和分析，證明了這 7 條公理已經包含摺紙幾何中的全部操作了。
（二）摺紙三等分角
（三）圓錐曲線的摺疊
（1）折一個橢圓
許多的數學思想和對象可以通過摺紙來證明或表示。圓錐截線也不例外。這裡給出的是怎樣用紙折出一個橢圓的方法。
●由一張圓形的紙開始。
●在圓的內部選擇一個不是圓心的點。在該點的位置打上點號。
●摺疊圓紙片，使圓的周界上有一點落在打點的地方。
●繼續上述的過程，使之繞著圓的周界做下去。
最後，摺痕會構成一個橢圓的形狀。
（2）折雙曲線
這裡給出怎樣折雙曲線的方法：
●由畫在一張紙上的圓開始。
●在圓的外部選擇一個點並在該點的位置上打上點號。
●摺疊紙片使圓的周界上有一點落在打點的地方，就像下圖所示的那樣。
●繼續上述過程，繞著圓的全部周界折下去。
最後，摺痕會構成一個雙曲線的形狀。
(3) 通過折切線構造拋物線。
在離紙張一邊一兩英寸的地方，設置拋物線的焦點。如圖所示的方法，將紙折20—30次。所形成的一系列摺痕，便是拋物線的切線，它們整體地勾畫出曲線的輪廊。
數學摺紙活動的奧秘在於思考，在於體驗，在於創造。用一張小小的紙片，通過摺疊活動，探討其中的數學原理和規律，對學生來說是一件快樂的事，可以體會到學習的愉快、創造的樂趣以及數學的魅力，培養髮現問題、分析問題和解決問題的綜合能力。我們將在數學縱橫交錯的摺痕間繼續探索發現！
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