數學中那些美妙的相遇

種子邂逅雨露，便能生根發芽破土而出；

花兒邂逅蜜蜂，就會結果生籽開枝散葉；

牛郎邂逅織女，成就了鵲橋相會的千古佳話。

數學中也有那麼多美妙的相遇，

演繹出一段段精彩的故事，讓人驚奇，讓人著迷。

你會發現，解題就是揭密那些相遇的故事，

解難題不過就是為相遇創造機緣：為種子澆灑雨露，為花兒招來蜜蜂，為牛郎織女架起鵲橋！

一、當角平分線遇上等腰，平行線偷天換日秒解題

1.（2019•淮安－填空壓軸題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中點，將△CBH沿CH摺疊，點B落在矩形內點P處，連接AP，則tan∠HAP＝_______　．

也許你早已注意到，角平分線、平行線、等腰三角形三者之中，有其二必有其三，如下圖：

當你發現圖中有角平分線，有等腰三角形，再順藤摸瓜找到平行線AP∥HC，則tan∠HAP=tan∠BHC=BC/BH=2/1.5=4/3，如下圖，這道壓軸小題瞬間秒殺！

二、當四邊形遇上雙直角，輔助圓橫空出世一擊殺

2.（2019•張家界－填空壓軸題）如圖：正方形ABCD的邊長為1，點E，F分別為BC，CD邊的中點，連接AE，BF交於點P，連接PD，則tan∠APD＝_____________．

圖中易得∠APF=∠ADF=90°，則A、D、F、P共圓，tan∠APD＝tan∠AFD＝1/2.怎麼樣，是不是簡單的不要不要的？

三、當動點遇上定角，手拉手一轉成雙軌跡定

3.（2019•宿遷－填空壓軸題）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE＝1，F為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為___________　．

這個題目中發生了怎樣的故事？動點F繞定點E順時針旋轉60度至G點，F點在線段AB上，而線段AB被點A、B所確定，所以與點F關係最親密的點是點A或點B，又因為點G是由點F繞點E順時針旋轉60度而來，所以要想定位點G就要把定點A或B繞點E順時針旋轉60度，如下圖，把點B繞點E順時針旋轉60度得點P，雙等邊手拉手得ΔPEG≌ΔBEF，∠EPG=∠FBE=90°，從而確定PG是一條定直線，G是此直線上一個動點，依據點到直線的垂線段最短，當CG⊥PG時最小。

（2）合作帶來共贏（條件集中問題易解）。ΔEFG形狀確定，但位置、大小都不確定，若把形狀和位置、大小結合起來，便可架起聯繫的橋樑。如上圖，取位置大小確定的線段BE作與ΔEFG形狀相同的等邊ΔBEP，手拉手模型出現。或用另法，取線段CE作等邊ΔCEM，如下圖，得ΔFEM≌ΔGEC，得FM=CG，轉化為定點M到定線AB的最短路徑，當FM⊥AB時即為最小。

（3）以靜制動，縱觀全局。點G是動點，如何把握一個動點呢？看它的軌跡，點動成線，點雖不確定，但其運動路徑確定，畫出運動路徑就看到了動點的運動全程，用以上方法確定G的運動軌跡，問題便迎刃而解。

四、當定線對上定角，作隱圓洞若觀火路徑現

4.（2019•宿遷－解答倒二題最後一問）如圖①，在鈍角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，點D為邊AB中點，點E為邊BC中點，將△BDE從圖①位置繞點B逆時針方向旋轉180°，直線CE、AD交於點G，如圖②．求點G的運動路程．

圖1

圖2

由一轉成雙得ΔBCE∽ΔBAD，則∠BAD=∠BCE，得∠AGC=∠ABC=30°，AC為定線，可知點G在AC所對的弧上，而弧的大小範圍取決於D點的運動範圍，當點D距定點E最遠時（BD⊥AG），點G在圓上最遠處。如下圖所示：

如下圖，當BD⊥AG時，由BD=1/2AB得∠BAG=30°，所以此時弧BG的圓心角∠BOG=60°，D點旋轉180度時點G在該弧上往返共兩次，因此點G運動路徑為60度弧長的2倍，即為8/3π.

說明：本文節選談志國的文章 數學中那些美妙的相遇，源於數學大思維，若有不當，留言及時處理。