数学中那些美妙的相遇

种子邂逅雨露，便能生根发芽破土而出；

花儿邂逅蜜蜂，就会结果生籽开枝散叶；

牛郎邂逅织女，成就了鹊桥相会的千古佳话。

数学中也有那么多美妙的相遇，

演绎出一段段精彩的故事，让人惊奇，让人着迷。

你会发现，解题就是揭密那些相遇的故事，

解难题不过就是为相遇创造机缘：为种子浇洒雨露，为花儿招来蜜蜂，为牛郎织女架起鹊桥！

一、当角平分线遇上等腰，平行线偷天换日秒解题

1.（2019•淮安－填空压轴题）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝_______　．

也许你早已注意到，角平分线、平行线、等腰三角形三者之中，有其二必有其三，如下图：

当你发现图中有角平分线，有等腰三角形，再顺藤摸瓜找到平行线AP∥HC，则tan∠HAP=tan∠BHC=BC/BH=2/1.5=4/3，如下图，这道压轴小题瞬间秒杀！

二、当四边形遇上双直角，辅助圆横空出世一击杀

2.（2019•张家界－填空压轴题）如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD＝_____________．

图中易得∠APF=∠ADF=90°，则A、D、F、P共圆，tan∠APD＝tan∠AFD＝1/2.怎么样，是不是简单的不要不要的？

三、当动点遇上定角，手拉手一转成双轨迹定

3.（2019•宿迁－填空压轴题）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为___________　．

这个题目中发生了怎样的故事？动点F绕定点E顺时针旋转60度至G点，F点在线段AB上，而线段AB被点A、B所确定，所以与点F关系最亲密的点是点A或点B，又因为点G是由点F绕点E顺时针旋转60度而来，所以要想定位点G就要把定点A或B绕点E顺时针旋转60度，如下图，把点B绕点E顺时针旋转60度得点P，双等边手拉手得ΔPEG≌ΔBEF，∠EPG=∠FBE=90°，从而确定PG是一条定直线，G是此直线上一个动点，依据点到直线的垂线段最短，当CG⊥PG时最小。

（2）合作带来共赢（条件集中问题易解）。ΔEFG形状确定，但位置、大小都不确定，若把形状和位置、大小结合起来，便可架起联系的桥梁。如上图，取位置大小确定的线段BE作与ΔEFG形状相同的等边ΔBEP，手拉手模型出现。或用另法，取线段CE作等边ΔCEM，如下图，得ΔFEM≌ΔGEC，得FM=CG，转化为定点M到定线AB的最短路径，当FM⊥AB时即为最小。

（3）以静制动，纵观全局。点G是动点，如何把握一个动点呢？看它的轨迹，点动成线，点虽不确定，但其运动路径确定，画出运动路径就看到了动点的运动全程，用以上方法确定G的运动轨迹，问题便迎刃而解。

四、当定线对上定角，作隐圆洞若观火路径现

4.（2019•宿迁－解答倒二题最后一问）如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，直线CE、AD交于点G，如图②．求点G的运动路程．

图1

图2

由一转成双得ΔBCE∽ΔBAD，则∠BAD=∠BCE，得∠AGC=∠ABC=30°，AC为定线，可知点G在AC所对的弧上，而弧的大小范围取决于D点的运动范围，当点D距定点E最远时（BD⊥AG），点G在圆上最远处。如下图所示：

如下图，当BD⊥AG时，由BD=1/2AB得∠BAG=30°，所以此时弧BG的圆心角∠BOG=60°，D点旋转180度时点G在该弧上往返共两次，因此点G运动路径为60度弧长的2倍，即为8/3π.

说明：本文节选谈志国的文章 数学中那些美妙的相遇，源于数学大思维，若有不当，留言及时处理。