▲高斯數論手稿
高斯很出名，還很能趁早。朋友你呢🙏？
超人故事：著名作家蘇童，至今都頗為追味感念《九歲的病榻》，超人高斯九歲那年，卻用很短時間珠心算出小學老師留的算學任務：
求1～100自然數和。
他的秒殺滿分寶是：
∵1+2+3+……100
=1+100+2+99+3+98+……+49+52+50+51.
=50(50+51)
∴1+2+3+……100=5050.
由上式不難看出，他用了數學建模法，把1～100補形對摺，成為一個標準偶合數模型，即把1～100拆分成50個均值數對組，每組2個自然數，並倆倆結合求和，就可以一目瞭然地直觀看出：50個和為101的對偶數和為5050.這就是蝴蝶模型。
▲數學之子高斯
高斯一生，都在為人類歷史財富忙碌，即終生為科學事業而奮鬥。他特別喜歡把自己的靈感和科學總結，隨手記錄在隨身筆記本上，最後成為了厚重一本。在他死後，好不容易才被從他親戚後人那裡發掘出來，普通筆記本，在今人眼裡卻被視為科學超人日記，奉為圭臬。
BC245年，赫農王令阿基米德（Archimedes）鑑定皇冠。赫農王懷疑金匠剋扣了定製皇冠的純金。雖然做好的皇冠和國王送去的純金同重，國王還是懷疑金匠摻假了。阿基米德替無辜金匠愁壞了，但苦於無法用自己博大的科學知識說服國王，於是渾渾噩噩的走進浴室，打算舒舒服服洗個澡，清理清理思路，果然，他靜躺在浴池裡的時候，突然就發現了浮力定律的等量關係原理，於是興奮得從浴缸一躍而起，奔上大街狂奔狂呼：“EYPHKA!EYPHKA!(ερηκα，尤里卡！尤里卡～！)”
▲Archimedes發現浮力原理
享譽古今中外的曠世奇才，數學之子，高斯，從此“找到了”費馬定理——數論最難部分的證明：
高斯科學日記，披露轟動整個科學界。人們也才知道，許多重大科學成果，高斯早就證得，公開發表特晚，或生前根本未發表。
▲阿基米德幾何數³/₂：任何圓柱和內切球表面積體積比
橢圓函數雙週期性，就是寫在這本高斯科學日記裡。這麼重大的成果，竟在此日記裡，整整沉睡了百年。
1797年3月19日，日記清楚記錄高斯已得出此成果。
後來又一條日記，證明他還得出橢圓軌跡在一般情況下具備的雙週期性。經過五十年間的雅柯比（1804～1851）和阿貝爾獨立研究發展，其才成19世紀函數論核心。凡此種種，不一而足。
數學家們大為震驚。此日記中任何一項成果，當時都是世界第一流。這些如果及時發表，高斯就會享有空前榮譽，人類數學家們就可以在許多重要領域旁徵博引順手拈來，不必自己苦苦摸索停滯不得，人類數學史就會提早改寫空前盛況輝煌史。數學家們的估計是會比現今人類數學史先進五十年。
▲數形合一。浮力原理，費馬定理
1799年高斯發表博士論文，證明了重要代數定理：
任何多項式都有虛（複數）根。即“代數學基本定理”——Fundamental Theorem of Algebra.對此，高斯之前數學家們已給出非嚴密證明，他是把前人證明缺陷都指了出來，自己一生作了四個充要證明。
1801年24歲高斯出版《算學研究》(Disquesitiones
Arithmeticae)。最大遺憾是，這本手寫八章的拉丁文數學專著，只印成七章，經費不夠。
此天書前六章都是高斯數論，末章介紹代數基本定理。是人類事實上的第一部系統數論專著。
高斯首次介紹同餘概念(Congruent)、二次互逆定理。
高斯曾描繪數論是“一座倉庫，貯藏著取之不盡的，能引起人們興趣的真理”。
《算學研究》出版，標誌著費馬“問題式” 數論時代結束，—種全新純理論數論研究方式正式開啟。它把數論研究提升到更高級別的境界。因此數學史一般以1801年為現代數論誕生年。
高斯24就放棄了純數學研究，開始了為期幾年的短暫天文學研究。
中世紀、文藝復興和宗教改革浪潮洗禮後的新歐洲時代，世界天文學界面對火星木星間龐大間隙，竟一籌莫展。窮盡人力物力，也僅能得出：此中間地帶，應有未知行星。
1801年意大利天文學家Piazzi發現火星木星間有顆新星，便命名穀神星(Cere)。
現在我們都知道，它是小行星帶中一粒——小行星一號。當時天文學界卻爭論不休，行星說和彗星說狂懟。所以必須連續持久觀測，才能精準判決，Piazzi也只能觀測到其9度軌道，不小心一晃，又隱身太陽背後去了，無法知測軌道，就無法判定其是否行星或彗星。
每當世界需要大階高能突破進擊時，高斯總會應時而出。他決定總結這個神秘星體的軌跡。於是獨創出三次觀測定位星球軌道——高斯天體預測法：最小平方法。此法預測行星軌道和運行位置極為準確。
高斯不出，誰與爭鋒。果不其然，高斯天體預測法，將穀神星準確無誤鎖定在預定位置。對，一如既往，他當時也未公佈此最小平方法 (Method of Least Square)，而且似乎從未洩露有關機密。
1802年，他又同理預測定準小行星二號智神星(Pallas)天道位置。這讓他聲名遠播，榮譽滾滾。
▲二號小行星：智神星
沙皇俄國聖彼得堡科學院榮選他為會員；發現Pallas的天文學家Olbers也請他主任哥廷根天文臺，他沒立刻答應。1807年才就任。
1809年他創成《天體運動理論》兩冊。第一冊包納微分方程、圓椎截痕和橢圓軌道，第二冊他終於展示瞭如何高妙估算行星天體軌道的最小平方法。
1817年，是高斯的天文學大爆炸年。但是天文學是需要曠日持久的不間斷觀測，才能獲得天體一手數據的，所以直到七十歲那年，他都未停止用自創最小平方法進行天文觀測。
在這幾十年間的高斯大神，除了天文臺工作，還抽空做其餘研究。比如創用無窮級數收斂，積分解天體運動微分力程。1812年，高斯研發超幾何級數(Hypergeometric Series)專題成果論文，作為呈給哥廷根皇家科學院的履職項目成果。
1820～1830年，高斯開始學做測繪工作，還發明瞭日觀測儀(Heliotrope)，測繪完成了住居地汗諾華(Hanover)公國地圖，專著了測繪測地學書籍。為了研究地球表面，他對曲面幾何性質作了重要研究。
1827年，高斯就發表《曲面（共性）研究》 (Disquisitiones generales circa superficies curva)，涵蓋當下部分大學微分幾何。
1830～1840年，高斯和小廿九歲的物理學新秀——韋伯(Withelm Weber)合作研究磁。他們的偶然合作，真是人類之福。只在理想世界聽說過：小天才徒弟韋伯做實驗，大BOSS高斯研發理論。韋伯負責誘發高斯的物理興趣，高斯用數學尺規引導韋伯處理物理問題的思考工作方法。
1833年，高斯從自家哥廷根天文臺辦公室，用伏特電池作電源拉了條八千尺電線，跨（越數百戶居民頭頂）連到韋伯實驗辦公室，創新發明出世界第一個電磁發報機。
1835年，高斯在自家哥廷根天文臺裡，又創設磁觀測站，主持磁協會發表研究成果，引發世界廣大地區研測地磁。從此，高斯便獲得了準確地磁理論。但需要實驗數據證明。
1839年，高斯才出《地磁（普遍〈共〉性）理論》專著。
1840年，高斯和韋伯合作，用數形畫出了世界第一張物理學地球磁場圖，測定了地磁N和S極精準位置。
1841年，高斯地磁理論得到美國科學家實驗證實。他們按高斯地磁理論找到了磁南極和磁北極的當地位置。
高斯工作態度科學，能夠精益求精，非常嚴格要求，數據結論精準。
他曾說：“寧可少發表，但要發表成熟理論的研究成果。”
數學家們要求他別太計較驗證過程，把結果寫出來發表了就對人類數學發展幫助很大了。 比如非歐幾何有關發展，就特別著名。
非歐幾何是高斯、羅巴切烏斯基(Lobatchevsky,1793～1856)、波爾伊(Bolyai,1802～1860)三位大神創立。
高斯有位大學校友是Bolyai父，曾反對他看似毫無望地試想研究證明平行公理，小Bolyai卻異常沉溺。最後終於研發出非歐幾何，並在1832～1833年發表研究成果。老Bolyai把兒子心血寄給老同學高斯，高斯卻冷卻回信：
To praise it would mean to praise myself.我不便讚譽他，讚譽他如同我自誇。幾十年前高斯就證得相同成果，擔心時人無法接受沒公佈。
美國著名數學家貝爾(E.T.Bell)的《數學工作者》(Men of Mathematics) 曾批評（怨懟）高斯：高斯死後，人們才知道他早就預見一些十九世紀的數學，而1800年前已期待它們早出現。如果他能把他所知道的一些東西洩漏，很可能現在數學早比目前還要先進半個世紀或更多的時間。阿貝爾(Abel)和雅柯比(Jacobi)可以從高斯所停留的地方開始工作，而不是把他們最好的努力花在發現高斯早在他們出生時就知道的東西。而那些非歐幾何學的創造者，可以把他們的天才用到其他方面去。1855年，2月23日清晨，高斯，在神奇瑰怪的睡夢中，安詳去世了。
▲二次互反律(二律悖反)·高斯《算學研究》
梳理完高斯恢宏生平，不得不探討一番數論。數論初創，即都是研究正整數的正整數論。後在研究中升級，就叫數論。
1896年，鮑爾說：“這門學科本身是一個特別引人、特別雅緻的學科，但它的結論沒什麼實際意義。”
按常分法，數學分純粹數學與應用數學，數論則是數學中的最純粹巔峰。這，迄今為止恐怕也是人類智慧正要逾越的最純粹的無上巔峰之一。
數論江山如此多嬌，引無數英雄競折腰。費馬、歐拉、拉格朗日、勒讓達、高斯……無一不是為了數論內在趣味及其特有至美而研究尋找。
應用數學帶動了近代計算機科學大發展，數論，尤其是初等數論諸多研究成果，被廣泛應用在計算方法、代數編碼、組合論、大數據、人工智能等方面。精深數論研究成果，也在近似分析、差集合、快速變換、遙感成像、量子電腦、量子密鑰、腦控互動等方面和領域，得到了非常成功的突破性應用及長足發展。
丟番圖墓誌銘如是說：請你告訴我，丟番圖壽數幾何？ 他的一生六分之一是幸福的童年，十二分之一是無憂無慮的少年。再過去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年之後兒子出生，不料兒子竟先其父四年而終，只活到父親一半的年齡。晚年喪子老人真可憐，悲痛之中渡過風燭殘年。丟番圖壽數幾何？
⊙數論分類
1.初等數論。數論中不用其他數學學科，只依靠初等方法研究整數性質的分支。比如古中“中國剩餘定理”，即初等數論最重要內容。
2.解析數論。用數學分析為工具解決數論問題的分支。數學分析研究函數、以極限概念基建起來的數學學科。歐拉奠基用數學分析解決數論問題，俄國數學家車比雪夫等也為其發展貢獻過。它是解決數論艱深問題最強有力的應用工具。
3.代數數論。是推廣整數概念到代數整數的一個分支。數學家把整數概念推廣到一般代數數域上去，相應地也建立了素整數、可除性等概念。
4.幾何數論。德國數學家、物理學家閔可夫斯基等人開創奠基，以“空間格網”為基本研究對象的分支。
5.堆疊數論。數論研究將整數表示為某種整數之和的問題，如（強、弱）哥德巴赫猜想（是否每個大於2的偶數都可寫成兩個素數之和？）。
▲數論分支圓周率
⊙數論比較
Ⅰ.國際數論
①初等數論是用算術推導方法來論證數論命題的分支。 ②解析數論則是把算術問題化為分析問題及其成果與方法來處理、導出算術的結果。
Ⅱ.國內數論
在近代，也是發展最早的數學分支之一。
從二十世紀三十年代開始，在解析數論、丟番圖方程、一致分佈等方面都有過重要貢獻，比如華羅庚、閔嗣鶴、柯召、陳景潤、潘承洞等一流數論專家。
華羅庚教授在三角和估值、堆砌素數論方面的研究是享有盛名的。1949數論研究得更大發展。陳景潤、王元等在“篩法”和“(強)哥德巴赫猜想”(大偶數表為一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和即1+2)方面的研究，已取得世界領先的優秀成績；周海中在著名數論難題，梅森素數分佈研究中取得了世界領先的卓著成績。
▲解析數論分支
⊙數論研究及其數學家
古希臘：畢達哥拉斯、歐幾里得、丟番圖
十七世紀：費馬
十八世紀：歐拉、拉格朗日
十九世紀：
①代數數論：高斯、庫默爾
②解析數論：黎曼、阿達瑪、瓦萊·普桑、塞爾伯格、愛爾特希
廿世紀：素數判定、哥德巴赫猜想、費馬大定理、黎曼假設
廿世紀三十年代：華羅庚、閔嗣鶴、柯召
世界三大數學猜想：費馬猜想、四色猜想、哥德巴赫猜想
世界最著名數學問題（懸賞百萬美金至今未全獲解）：NP完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設、楊·米爾斯理論、納衛爾·斯托可方程、BSD猜想
▲三階數論
⊙數論應用
費馬大定理解。歐拉、勒讓德、費雷、維爾斯等研究合解
哥德巴赫猜想未全解決。1973年陳景潤髮表(1+2)詳細證明，公認是對哥德巴赫猜想研究的重大貢獻
大素數分解問題。隨著數論發展已與密碼破譯緊密聯繫成體
孿生素數問題。孿生素數就是差為2的素數對，例如11和13,是否存在無窮多的孿生素數
費波那拉契數列。其內是否存在無窮多的素數
解析數論。源於素數分佈、哥德巴赫猜想、華林問題及格點問題研究
解析數論方法。主要有復變積分法、圓法、篩法、指數和方法、特徵和方法、密率等
模形式論。與解析數論密切關聯
▲數論模型效果圖
高斯定理
高斯定理（Gauss' law），高斯通量理論（Gauss' flux theorem），或稱散度定理、高斯散度定理、高斯-奧斯特羅格拉德斯基公式、奧氏定理、高-奧公式（通常高斯定理都指該定理，但也有其它同名定理）。
代數式:∮F·dS=∫(▽·F)dV
⊙高斯定理Ⅰ
即矢量穿過任意閉合曲面的通量，等於矢量的散度對閉合面所包圍的體積的積分。它給出了閉曲面積分和相應體積分的積分變換關係，是矢量分析中的重要恆等式，也是研究場的重要公式之一。(接錒銰公眾號截圖：
⊙高斯定理Ⅱ
代數學基本定理：凡有理整方程f(x)=0至少有一個根。推論：一元n次方程
有且只有n個根（包括虛根和重根）。
⊙高斯定理Ⅲ
高斯數論：正整數n可被表示為兩整數平方和的充要條件，是n的一切形如(4k+3)形狀的質因子，冪次均為偶數。
▲堆疊數論應用。答案0
看看高斯數論再造下的蝴蝶模型，十年寒窗的趁手滿分寶吖，是多麼簡便順手啊。
試想阿基米德當年，如下圖那樣豪言壯語：如果給我一個支點，我將翹起地球來！
即便是狂傲不羈最接近神的特拉斯妄語：只要我願意，就能把地球撕作兩半！恐怕也是極可能的大概率事件吧！
簡介: 錒銰。原力科技·專注名著電影科技日常原創。
https://mp.weixin.qq.com/s/3puOhBrj9xZGj-dBwvoKjA
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錒銰
高斯的數學研究幾乎遍及所有領域，在數論、代數學、非歐幾何、複變函數和微分幾何等方面都做出了開創性的貢獻。他還把數學應用於天文學、大地測量學和磁學的研究，發明了最小二乘法原理。高理的數論研究 總結 在《算術研究》（1801）中，這本書奠定了近代數論的基礎，它不僅是數論方面的劃時代之作，也是數學史上不可多得的經典著作之一。高斯對代數學的重要貢獻是證明了代數基本定理，他的存在性證明開創了數學研究的新途徑。高斯在1816年左右就得到非歐幾何的原理。他還深入研究複變函數，建立了一些基本概念發現了著名的柯西積分定理。他還發現橢圓函數的雙週期性，但這些工作在他生前都沒發表出來。1828年高斯出版了《關於曲面的一般研究》，全面系統地闡述了空間曲面的微分幾何學，並提出內蘊曲面理論。高斯的曲面理論後來由黎曼發展。 高斯一生共發表155篇論文，他對待學問十分嚴謹，只是把他自己認為是十分成熟的作品發表出來。其著作還有《地磁概念》和《論與距離平方成反比的引力和斥力的普遍定律》等。
