几何模型系列之费马点的探索与应用

1、背景

费尔马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一。

费马点就是到三角形三个顶点距离之和最小的点。费尔马的结论：对于任意一个三角形，（1） 若三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；（2）如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，就是三角形的费马点。

性质：费马点有如下主要性质：（1）． 费马点到三角形三个顶点距离之和最小。（2）． 费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。（3）． 费马点为三角形中能量最低点。（4）． 三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。

2、应用

例4.如图1，P是锐角△ABC所在平面上一点．如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P就叫做△ABC费马点．

（1）当△ABC是边长为4的等边三角形时，费马点P到BC边的距离为 ．

（2）若点P是△ABC的费马点，∠ABC＝60°，PA＝2，PC＝3，则PB的值为 ．

（3）如图2，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′，连接BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P．

（3）证明：在BB′上取点P，使∠BPC＝120°

连接AP，再在PB′上截取PE＝PC

，连接CE．

∵∠BPC＝120°，∴∠EPC＝60°，∴△PCE为正三角形．

∴PC＝CE，∠PCE＝60°，∠CEB'＝120°

∵△ACB′为正三角形，∴AC＝B′C，∠ACB′＝60°

∴∠PCA+∠ACE＝∠ACE+∠ECB′＝60°，∠PCA＝∠ECB′，

∴△ACP≌△B′CE，∴∠APC＝∠B′EC＝120°，PA＝EB′，

∴∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，

∴P为△ABC的费马点．∴BB′过△ABC的费马点P．

3、反思

"费马点"问题实质就是通过旋转将三条共顶点的线段转化在一条折线上，利用"两点之间线段最短"解决。

"费马点问题"的研究中，更提供一种"线段和最值问题"的解题方法，掌握此基本方法对解决该类最值问题很重要.当然，费马点的判定与性质与全等三角形的判定与性质一样需要系统的学习与研究，才能做到解此类问题时融会贯通.

在平时的学习中，还要多了解平面几何的一些经典问题.寻找到题目的题根的出处很重要，平时要多加总结.我们在教学中，要多关注国内外的数学史发展，激发学生的学习数学兴趣，培养孩子探究数学的能力.在平时教学过程中，要深度挖掘题目的背景与生成过程.关注几何基本图形，寻找题目的根源，从题目根源入手探究题目的内涵与基本方法.

我们在数学学习过程中，是否需要"模型"？俗话说"成也模式，败也模式"，我们掌握一定的模式，能让我们快速找到解决问题的途径。如果死守模式，不会融会贯通，也是"假模式"。

求线段和最短问题，不管是"将军饮马"问题、"胡不归"问题、"阿氏圆"问题，及"费马点"问题，本质都是将折线拉直（将直线同一侧的两条线段转化为直线两侧），再利用"两点之间线段最短"或"垂线段最短"寻找到答案。

（说明：文章部分例题源自VOA数学 ，作者Aran Young，有异议留言，会及时处理）