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力扣 42.接雨水

题目描述

给定 n 个非负整数表示每个宽度为 1 的柱子的高度图，计算按此排列的柱子，下雨之后能接多少雨水。

上面是由数组 [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1] 表示的高度图，在这种情况下，可以接 6 个单位的雨水（蓝色部分表示雨水）。 感谢 Marcos 贡献此图。

示例:

解决方案

思路

黑色的看成墙，蓝色的看成水，宽度一样，给定一个数组，每个数代表从左到右墙的高度，求出能装多少单位的水。也就是图中蓝色正方形的个数。

解法一：按列求

求每一列的水，我们只需要关注当前列，以及左边最高的墙，右边最高的墙就够了。

装水的多少，当然根据木桶效应，我们只需要看左边最高的墙和右边最高的墙中较矮的一个就够了。

所以，根据较矮的那个墙和当前列的墙的高度可以分为三种情况。

• 较矮的墙的高度大于当前列的墙的高度

把正在求的列左边最高的墙和右边最高的墙确定后，然后为了方便理解，我们把无关的墙去掉。

这样就很清楚了，现在想象一下，往两边最高的墙之间注水。正在求的列会有多少水？

很明显，较矮的一边，也就是左边的墙的高度，减去当前列的高度就可以了，也就是 2 - 1 = 1，可以存一个单位的水。

• 较矮的墙的高度小于当前列的墙的高度

同样的，我们把其他无关的列去掉。

想象下，往两边最高的墙之间注水。正在求的列会有多少水？

正在求的列不会有水，因为它大于了两边较矮的墙。

• 较矮的墙的高度等于当前列的墙的高度。

和上一种情况是一样的，不会有水。

明白了这三种情况，程序就很好写了，遍历每一列，然后分别求出这一列两边最高的墙。找出较矮的一端，和当前列的高度比较，结果就是上边的三种情况。

时间复杂度：O(n^2），遍历每一列需要 n，找出左边最高和右边最高的墙加起来刚好又是一个 n，所以是 n^2。

空间复杂度：O(1）。

解法二: 动态规划

我们注意到，解法二中。对于每一列，我们求它左边最高的墙和右边最高的墙，都是重新遍历一遍所有高度，这里我们可以优化一下。

首先用两个数组，max_left [i]代表第 i 列左边最高的墙的高度，max_right[i] 代表第 i 列右边最高的墙的高度。（一定要注意下，第 i 列左（右）边最高的墙，是不包括自身的，和力扣上边的讲的有些不同）

对于 max_left我们其实可以这样求。

max_left [i] = Max(max_left [i-1],height[i-1])。它前边的墙的左边的最高高度和它前边的墙的高度选一个较大的，就是当前列左边最高的墙了。

对于 max_right我们可以这样求。

max_right[i] = Max(max_right[i+1],height[i+1]) 。它后边的墙的右边的最高高度和它后边的墙的高度选一个较大的，就是当前列右边最高的墙了。

这样，我们再利用解法二的算法，就不用在 for 循环里每次重新遍历一次求 max_left 和 max_right 了。

时间复杂度：O(n)。

空间复杂度：O(n)，用来保存每一列左边最高的墙和右边最高的墙。

解法三：双指针

动态规划中，我们常常可以对空间复杂度进行进一步的优化。

例如这道题中，可以看到，max_left [ i ] 和 max_right [ i ] 数组中的元素我们其实只用一次，然后就再也不会用到了。所以我们可以不用数组，只用一个元素就行了。我们先改造下 max_left。

我们成功将 max_left 数组去掉了。但是会发现我们不能同时把 max_right 的数组去掉，因为最后的 for 循环是从左到右遍历的，而 max_right 的更新是从右向左的。

所以这里要用到两个指针，left 和 right，从两个方向去遍历。

那么什么时候从左到右，什么时候从右到左呢？根据下边的代码的更新规则，我们可以知道

height [ left - 1] 是可能成为 max_left 的变量，同理，height [ right + 1 ] 是可能成为 right_max 的变量。

只要保证 height [ left - 1 ] < height [ right + 1 ] ，那么 max_left 就一定小于 max_right。

因为 max_left 是由 height [ left - 1] 更新过来的，而 height [ left - 1 ] 是小于 height [ right + 1] 的，而 height [ right + 1 ] 会更新max_right，所以间接的得出 max_left 一定小于 max_right。

反之，我们就从右到左更。

时间复杂度：O(n)。

空间复杂度：O(1)。

解法四：栈

说到栈，我们肯定会想到括号匹配了。我们仔细观察蓝色的部分，可以和括号匹配类比下。每次匹配出一对括号（找到对应的一堵墙），就计算这两堵墙中的水。

我们用栈保存每堵墙。

当遍历墙的高度的时候，如果当前高度小于栈顶的墙高度，说明这里会有积水，我们将墙的高度的下标入栈。

如果当前高度大于栈顶的墙的高度，说明之前的积水到这里停下，我们可以计算下有多少积水了。计算完，就把当前的墙继续入栈，作为新的积水的墙。

总体的原则就是，

1. 当前高度小于等于栈顶高度，入栈，指针后移。
2. 当前高度大于栈顶高度，出栈，计算出当前墙和栈顶的墙之间水的多少，然后计算当前的高度和新栈的高度的关系，重复第 2 步。直到当前墙的高度不大于栈顶高度或者栈空，然后把当前墙入栈，指针后移。

我们看具体的例子。

• 首先将 height [ 0 ] 入栈。然后 current 指向的高度大于栈顶高度，所以把栈顶 height [ 0 ] 出栈，然后栈空了，再把 height [ 1 ] 入栈。current 后移。

• 然后 current 指向的高度小于栈顶高度，height [ 2 ] 入栈，current 后移。

• 然后 current 指向的高度大于栈顶高度，栈顶 height [ 2 ] 出栈。计算 height [ 3 ] 和新的栈顶之间的水。计算完之后继续判断 current 和新的栈顶的关系。

• current 指向的高度大于栈顶高度，栈顶 height [ 1 ] 出栈，栈空。所以把 height [ 3 ] 入栈。currtent 后移。

• 然后 current 指向的高度小于栈顶 height [ 3 ] 的高度，height [ 4 ] 入栈。current 后移。

• 然后 current 指向的高度小于栈顶 height [ 4 ] 的高度，height [ 5 ] 入栈。current 后移。

• 然后 current 指向的高度大于栈顶 height [ 5 ] 的高度，将栈顶 height [ 5 ] 出栈，然后计算 current 指向的墙和新栈顶 height [ 4 ] 之间的水。计算完之后继续判断 current 的指向和新栈顶的关系。此时 height [ 6 ] 不大于栈顶height [ 4 ] ，所以将 height [ 6 ] 入栈。current 后移。

• 然后 current 指向的高度大于栈顶高度，将栈顶 height [ 6 ] 出栈。计算和新的栈顶 height [ 4 ] 组成两个边界中的水。然后判断 current 和新的栈顶 height [ 4 ] 的关系，依旧是大于，所以把 height [ 4 ] 出栈。计算 current 和 新的栈顶 height [ 3 ] 之间的水。然后判断 current 和新的栈顶 height [ 3 ] 的关系，依旧是大于，所以把 height [ 3 ] 出栈，栈空。将 current 指向的 height [ 7 ] 入栈。current 后移。

其实不停的出栈，可以看做是在找与 7 匹配的墙，也就是 3 。

而对于计算 current 指向墙和新的栈顶之间的水，根据图的关系，我们可以直接把这两个墙当做之前解法三的 max_left 和 max_right，然后之前弹出的栈顶当做每次遍历的 height [ i ]。水量就是 Min ( max _ left ，max _ right ) - height [ i ]，只不过这里需要乘上两个墙之间的距离。可以看下代码继续理解下。

时间复杂度：虽然 while 循环里套了一个 while 循环，但是考虑到每个元素最多访问两次，入栈一次和出栈一次，所以时间复杂度是 O(n)。

空间复杂度：O(n)。栈的空间。

总结

解法一到解法二，利用动态规划，空间换时间，解法二到解法三，优化动态规划的空间，这一系列下来，让人心旷神怡。