1.由特殊到一般，猜想具有鮮活的發現力

問題：1³＋2³=，1³＋2³＋3³=，1³＋2³＋3³+4³=，…，你能發現自然數的立方和有什麼規律嗎？

分析：試算一歸納一猜想一論證是研究與發現數學規律的重要手段，也是探求數學模式的重要途徑。要解決本題，我們可先考察前2個自然數的立方和，前3個自然數的立方和，前4個自然數的立方和等特殊情形，再從中尋求一般的規律。

解：試算：1³＋2³=9=3²，1³+2³＋3³=36=6²，1³＋2³+3³+4³=100=10²　，1³+2³＋3³＋4³+5³=225=15²。

歸納：從以上的試算可發現它們的結果均為一個平方數，那麼這些平方數又有怎樣的規律呢？

我們再進行試算：1＋2=3，1＋2＋3=6，1＋2+3+4=10，1+2＋3＋4＋5=15

由此我們可進一步歸納發現前n個自然數的立方和正好等於前n個自然數和的平方。

因此我們猜測：1³＋2³+3³＋…＋n³=(1＋2＋3+…+n)²

反思：以上為了發現前n個自然數的立方和的規律，我們先觀察n=2，3，4，5的一些特殊情況，從中發現規律，進而對它的一般情況作出預測，猜測前n個自然數的立方和為前n個自然數之和的平方。數學家或科技人員面對某一個問題，在研究它的一些特殊情況的基礎上，對它的一般情況作出預測，這樣的預測叫做猜想。例如，德國數學家哥德巴赫(Gold-bach，1690—1764)經過觀察，發現一個有趣的現象：任何大於5的整數，都可以表示為三個質數的和，他猜想這個命題是正確的，但他本人無法給予證明。

1742年6月6日，哥德巴赫去求教當時頗負盛名的瑞士數學家歐拉(Euler，1707—1783)歐拉經過反覆研究，發現解決問題的關鍵在於證明任意大於2的偶數，都能表示為兩個質數的和。於是，歐拉對大於2的偶數逐個加以觀察，得到如下一張長長的表：4=2＋2，6=3＋3，8=3＋5　，10=3＋7=5＋5　，12=5+7　，14=3+11=7+7，16=3＋13=5＋11　，18=5＋13=7＋11　，20=3＋17=7+13　，22=3＋19=5＋17=11+11

，24=5＋19=7+17=11＋13，26=3＋23=7＋19=13＋13，28=5＋23=11＋17…，

這張表還能繼續延長下去，最後歐拉猜想上述結論是正確的。6月30日，他覆信哥德巴赫，信中指出："任何大於2的偶數都是兩個質數的和，雖然我還不能證明它，但我確信無疑這是完全正確的定理。"

這就是著名的哥德巴赫猜想。兩百多年來，許多優秀的數學家為攻克這猜想付出了辛勤的勞動。目前，利用計算機已經驗證了1億3千萬個偶數，還未發現反例。

我國數學家在對篩選法作了重大改進後，於1966年5月，證明，任何一個充分大的偶數，都可以表示成兩個數之和，其中一個是素數(即質數)，另一個或者是素數，或者是兩個素數的乘積。這結果震驚中外，被命名為"陳氏定理"。這定理已與證明哥德巴赫猜想僅一步之遙了，但這是最艱難的一步。近年來，各國數學家競相攀登，但至今還未有人能摘到這顆數學"皇冠上的明珠"。人們對一個個猜想所作的大量研究工作，無論是攻克了，還是沒有攻克，均促進了數學的發展。

數學中的許多定理、法則等都是以個別、特殊的數學現象中，通過尋求共性，發現規律，作出合情合理的猜想後得到的。猜想不一定總是成立，有時它是正確的，但有時也可能是錯誤的，必須對它加以證明，才能確認。法國數學家費爾馬1640年發現：

即F(0)=3，F(1)=5，F(2)=17，F(3)=257，F(4)=65537，都是質數，於是，他猜想F(n)(n為自然數)都是質數，

4294967297，這個數能被641整除，所以f(5)不是質數，後來又有人發現n=6，7，8，9，11，12，15，18，23時，f(n)都不是質數。

雖然由猜想得出的結論並不一定可靠，然而從數學發現和培養探索能力的角度來說，則是十分重要的。牛頓也曾說過："沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現"。

2. 問題的證明及反思

對於以上歸納猜測得到的1³＋2³＋…+n³=(1+2＋…＋n)²這種與自然數有關的數學命題，我們常採用數學歸納法來證明它們的正確性。

所謂數學歸納法就是：先證明當n取第一個值n0(例如n0=1)時命題成立，然後假設當n=k(k∈N，k≥n0)時命題成立，證明當n=k＋1時命題也成立(因為證明了這一點，就可以斷定這個命題對於n取第一個值後面的所有自然數也都成立)。

證明：(這裡用幾何方法)

當n=1時，畫一個邊長為1個單位的正方形，面積為1²，數值上等於1³。

當n=2時，把長為1的正方形看作第1層殼，在它上面再鑲上第2層殼，構成邊長為1＋2的正方形，面積為(1＋2)²，這層殼的面積為8，因此(1＋2)²=1＋8=1³＋2³，再鑲上第3層殼(圖1—1)

就有(1＋2＋3)²=1＋8＋27=1³＋2³＋3³，

需要證明：第k層殼(圖1—2)的面積S為k³。

因為S=SA+SB＋SC

SC=k2

此處無聲勝有聲，因為數學證明中包含的美麗與精巧實在是一道亮麗的風景線，而這種亮麗甚至不需要用語言來描述。下面進行無字證明（圖形證明）：

方法1;

方法2：

方法3：

觀察(或試算)往往可以看出事物的個別的特徵，是探索規律的基本條件。歸納就是將所反映出來的特徵進行分類、整理、加工、使之初步上升為本質的東西。它是探索規律的前提。正確的歸納，抓住規律的本質，充分根據數字、式子、圖形的基本特徵，是合理猜想的基礎。猜想不是盲目瞎猜，是根據特徵分析，帶有規律的發現，證明是用數學工具對思維的正確程度加以判斷的手段，只有嚴格論證才能反映出對規律猜想的合理性。觀察(或試算)、歸納，猜想，證明在探求或研究具體數學規律中有機地結合在一起，這樣能起到積極的作用。

最後，再說明一點，通常猜想是指數學家對重大數學問題，根據所發現的規律作出的合情推理，對於我們所遇到的數學問題，在發現規律後，所作的合情推理，往往只能稱為猜測。猜測法也是解決問題的一個重要策略，它有助於構思解題的方向。在解決問題時，學會做各種數學猜測，然後加以證明，有利於發展創造性思維。

3. 42，人類破解宇宙生命終極答案，竟是3個整數立方和

42，可以寫成3個整數的立方和！這是數學界的一大突破，由MIT和布里斯托大學的數學家共同發現，他們以"生命、宇宙以及一切"的網頁標題，公佈了這一成果。

人類第一次將42寫成了3個整數的立方和！

昨天，有人在 MIT 數學系的網站上貼出一個等式，網頁很簡單，但沒給出結果：

（-80538738812075974）³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³

等於 42！