你真的懂
勾股定理嗎
數是什麼？畢達哥拉斯會告訴你，數是眾神之母，萬物之源
——節選自《數學之旅 · 閃耀人類的54個數學家》
一般人看來，勾股定理只存在於特定的三角形或幾何圖形中。
但實際上，絕大多數人都小看了這條有2600年曆史的公式，很多看似不可能的圖形，只要涉及到了平方數，勾股定理就能插上一手！
什麼？你不信？
今天，超模君就來講一下勾股定理背後隱藏的大學問，不過在講之前，超模君先帶模友們重新認識一下“面積”這個詞。
面積是怎麼計算？
何謂面積？
當物體佔據的空間是二維空間時，所佔空間的大小就叫做該物體的面積。
舉個簡單的例子：正方形的面積 = 邊長 X 邊長
對此，相信模友們也能快速地列舉出大量的圖形面積公式，但你真的理解面積的性質嗎？
實際上，除了我們熟知的圖形面積公式，還有一種鮮為人知的面積計算方法——通過計算任意線段的平方來得到任意圖形的面積。
先不要質疑，繼續往下看。。。
舉個例子：
正方形的面積為邊長a的平方，平方項即邊長a（邊為5，那麼面積就是25）；圓的面積為πr²，平方項為半徑r（半徑是5，那麼面積就是25π）；
接下來，超模君要做一個大膽的假設：如果把半徑 r 當做邊長a的“替代品”，那麼圓的面積也可看成某條線段的平方，但由於線段選取和圖形的不同，在此過程中會產生一個“面積係數π”。
也就是說，任意圖形的面積公式將會變成這個樣子：
面積＝係數×(線段)²
然後我們再來看看，正方形和圓形的面積是怎麼算的：
也就是說，我們可以通過正方形上任意一條線段計算出正方形的面積。
因為在被選取的任意一條線段總可以通過一定的關係（比如說正方形的周長，正好是邊長的四倍）與通常意義上計算面積的線段相聯繫起來。
而線段的選取方式之間，只是會產生不同的面積係數而已，最終的計算結果仍是一致的。
那是不是所有圖形都能使用這個方法呢？
很遺憾地說，這一方法只適用於相似的圖形：
- 所有的正方形都是相似的（面積都是s²）
- 所有的圓也都是相似的（面積都是πr²）
- 不是所有的三角形都是相似的：有些是銳角三角形，有些是鈍角三角形——
- 根據選取線段的不同，每一種類型都有著各自的面積係數。改變了三角形的形狀，它的面積公式也要改變。
是的，所有的三角形都可以通過面積＝(1/2)·底·高來計算它的面積。
但是底與高的關係依賴於三角形的形狀，所以它們的面積係數也會有差異。
那問題又來了，為什麼我們需要相似性來保證它們可以使用相同的面積公式呢？
直覺告訴我們，我們等比例縮放一個圖形時，絕對大小會改變，但是比例卻不會發生改變。
比如說，一個正方形，無論它怎麼縮放，都有周長＝4*邊長。
因為面積係數的選擇基於圖形的比例，所以任何擁有相同比例的圖形都可以通過同一公式來計算面積。
就和大家的臂展都近似等於身高是一個道理，不管他是NBA球員還是一個孩子，他們都可以使用相同的公式因為他們都是相關的。
所以，關於面積的“新看法”可以總結為以下三點：
- 面積可以從任何線段的平方中得到，而不只是從邊長或半徑中
- 每一個線段都有相應的“面積係數”
- 相似圖形的面積係數是一樣的，可以使用同一面積公式
勾股定理背後的秘密
畢達哥拉斯作為第一個弘揚“萬物皆數”的人，估計當年提出勾股定理的時候，肯定有不少學徒心懷疑惑“為什麼一定是 a²+ b²＝c²”，但又不敢挑戰畢達哥拉斯的權威。
如今，勾股定理早已被數學家們證實，證明方法也是層出不窮、花樣百出。
但超模君今天要帶大家玩點有新意的：任意直角三角形都可以分解成兩個相似的直角三角形。
很酷，是吧？通過一個點畫一條垂線就可以把一個直角三角形分成兩個小直角三角形。
大家也可以嘗試著自己證明一下這個命題：利用相似性中的角-角-角來證明。
這個示意圖把一些事解釋的很清楚：
面積（大）＝面積（中）+面積（小）
小三角形是從大三角形中切出來的，所以面積就是把較小三角形的面積相加起來。
而更讓人意外的是：因為這些三角形都相似，所以它們的面積公式也都相同。
讓我們把最長的邊稱為c（5），較小的邊稱為b（4），而最小的邊長則稱為c（3）。
這種三角形的的面積公式就是：
面積＝F×斜邊
這裡的F是面積係數。
在這裡是6/25或0.24；具體是那個數值並不重要。
現在讓我們利用以下方程式做運算：
面積（大）＝面積（中）+面積（小）
F· c²＝ F· b² + F· a²
兩邊同除以F，便可以得到：
c²＝ b² + a²
萬萬沒想到吧，這就是那個最著名的勾股定理！
所以我們可以初步得到以下兩個結論：
- 一個三角形可以分成兩個更小的相似三角形
- 因為面積是通過相加得到的，所以邊長的平方(它決定了面積)也要相加。
應用到任意圖形上
我們再回過頭來看上文提到的圓形：
當我們把它們相加時會發生什麼呢？
你猜到了嗎：半徑為5的圓＝半徑為4的圓+半徑為3的圓。
相當神奇，是吧？
我們可以把勾股定理乘以面積係數（比如說這個例子中的π），然後就得出了任意一種圖形的關係。
記住，線段可以是圖形的任意部分。
我們可以選用圓的半徑，直徑，或者是圓周。
儘管有著不同的面積係數，但是3-4-5 的關係始終成立。
除此之外，這個定理甚至還能應用到一些你無法想象的領域，邊長的“長度”可以是距離，能量，工作，時間，甚至是在社交網絡中的人們...
1.社交網絡
麥卡福定理（Metcalfe's Law）（如果你相信的話）說網絡的價值與 n²（關係的數量）有關。
如下所示：
50M的網絡＝ 40M的網絡+ 30M的網絡
令人驚訝的是，第二項網絡與第三項網絡共有 70M 的人，但是它們並不是簡單的相加，反倒是與一個有五千萬人的網絡價值相當。
2.計算機科學
一些程序如果有n個輸入，那麼就要花費 n² 的時間（比如說冒泡排序法）。
耗費時間表示如下：
50個輸入＝ 40個輸入+ 30個輸入
相當有意思，總共70個元素的兩組輸入跟一組50個元素輸入所花費的時間相同。
是的，可能會有一些總開銷或是啟動開銷有所不同，但在這裡暫且不予以考慮根據這個關係，把元素進行分成子組進行運算就有意義了。
事實上，一種較優的排序法——快速排序法中就用到了這一關係。
畢達哥拉斯定理幫助我們理解了對50個元素進行排序跟對30個以及40個兩組不同的元素進行排序，所消耗的時間是一樣。
3.表面積
球面的表面積是 4πr²。所以就有：
半徑為50的球面積＝ 半徑為40的球面積+ 半徑為30的球面積
我們並不經常用到球面積，但是船身有著一樣的關係。
船身就像是畸形化的球面，對吧？假設船隻的形狀都相似，給50英尺的遊艇噴漆所用的顏料正好可以給40英尺與30英尺的遊艇噴漆。嘔耶！
4.物理學
如果你還記得在物理課上學過的，一個質量為m，速度為v的物體的動能等於mv² /2。
因此有:
500邁的能量＝400邁的能量+ 300邁的能量
加速一個子彈到500邁的能量，可以把兩個同樣的子彈分別加速到400邁與300邁。
......
總而言之，勾股定理絕非表面那麼淺顯，這個定理還有許多有意思的地方等著我們去發掘呢~
寫在最後
絕大多數人在經歷了十幾年的學校生涯後，對許多公式定理都停留在瞭解題層面，上文提到的勾股定理就是一個很好的例子。
其實，往往也是那些看似簡單的公式定理，最能推動這個世界的發展，而那些看起來枯燥無味的定義，背後往往也有一個鮮為人知的趣事。
而這一切的發現，都離不開數學史上的那一群偉大的人。
為此，我們以人類歷史上的54個數學家為創作元素，採用最美幾何——斐波那契曲線為設計理念打造了一款數學文化圈藝術收藏品。
每張撲克的背後都有一段珍貴的歷史，它們共同承載著人類的數學文明、凝聚著世上頂尖數學家的文明結晶、閃爍著智慧的光芒，這不是一副普通的撲克牌，而是屬於你的
數學之旅！
我們期待著你，也希望和你一起，感知這一場數學之旅~
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