有人說，把人逼急了，什麼事兒都幹得出來。相信我，費馬大定理真的把人逼急了！當我瞭解完費馬大定理的故事後，也是感慨萬千。接下來，首先給出費馬大定理的主要節點事件，對費馬大定理有了解的讀者可以直接忽略，然後去閱讀最後的啟示。

費馬大定理

1637年，法國業餘數學家費馬在研讀丟番圖的《算術》時，在書上寫了短短的幾行，大意為：除平方之外，任何次冪都不能拆分為兩個同次冪之和。我已經找到了一個絕妙的證明，但書邊空白過窄，寫不下。這個惡作劇式的問題就是著名的費馬大定理，這個謎題困惑了數學界整整358年之久，在這期間大名鼎鼎的數學家歐拉、高斯、柯西、勒貝格等人都有過不同的嘗試，但均未成功。直到1994年，由英國數學家安德魯-懷爾斯解決。

階段性的成果

• 費馬本人使用“無限下降法”證明了n=4的情形

• 歐拉證明了n=3時，費馬大定理成立；只是證明方法在用於n=5的嘗試時，就行不通了。

• 在已經證明了n=3和n=4的情形後，人們意識到為證明費馬大定理，只需再證明n=5、7、11、13等奇素數的情形。

• 狄利克雷和勒讓德分別獨立的證明了n=5的情形

• 拉梅證明了n=7的情形，值得一提的是高斯也做了n=7的嘗試，失敗後並無更多關注。狄利克雷、勒讓德和拉梅的結果都是在女數學家熱爾曼的工作基礎上作出的。

首次重大突破

高斯的學生，德國數學家庫默爾使用自己創立的理想數理論，首次對一批指數n給出了證明。庫默爾的工作是在高斯的思想方法的基礎上做出了進一步的研究。庫默爾的工作推動了代數數論的發展，經過戴德金等人的系統化，將庫默爾的工作推廣到代數數域，建立了理想理論。在庫默爾之後，費馬大定理陷入了停滯。

到20世紀初，德國的實業家大富豪沃爾夫斯凱爾為費馬大定理設立了10萬馬克的大獎，在接下來的100年之內誰能首先解決費馬大定理，誰將獲得該獎金。俗話說，重賞之下必有勇夫，這確實吸引了不少人的努力，然而主流的數學界卻動靜不大。

隨著計算機的發展，費馬大定理的成立的指數在逐漸增大，儘管如此，也無法窮盡所有的整數啊。

費馬大定理的最後攻堅階段

首先揭開序幕的是德國年輕的數學家法爾廷斯，1983年他證明了代數幾何中的猜想“莫德爾猜想”，該猜想由英國數學家莫德爾於1922年提出。莫德爾猜想成立，能確定費馬大定理成立的整數解最多有有限個。猜想描述如下：

虧格大於等於2的不可約代數曲線上只有有限多個有理點。

當然了，法爾廷斯的工作並沒有完成費馬大定理的證明，他排除了無窮多個解的可能。1955年，由日本的兩位青年數學家谷山豐和志村五郎提出了“谷山-志村猜想”：有理數域上的橢圓曲線都可以模形式化。而谷山-志村猜想與費馬大定理又有什麼關係呢？在谷山-志村猜想提出30年後，德國數學家弗雷給出了弗雷命題，而弗雷命題若成立，那麼谷山-志村猜想和費馬大定理是等價的。幸運的是：1986年美國加州大學伯克利分校的肯·裡貝特證明了弗雷命題，這使得費馬大定理的證明方向轉為了谷山-志村猜想，然而谷山-志村猜想同樣是一個讓人生畏的難題。

這費馬大定理的最後一棒是由英國數學家安德魯·懷爾斯完成的，懷爾斯在讀博期間的主要領域就是橢圓曲線、模形式和分圓域理論。在裡貝特證明了弗雷命題之前，懷爾斯也認為費馬大定理是一個孤立問題。在這之後改變了懷爾斯的這一想法，使他決定“一個人冒險”攻克費馬大定理。當然了，在解決費馬大定理之前，懷爾斯開始著手準備：用了18個月的時間來閱讀和收集橢圓曲線、模形式等相關的數學工具、技巧和方法。

懷爾斯從橢圓曲線和模形式入手，考慮使用歸納法證明，這需要對橢圓曲線和模形式進行“排隊”，於是引入伽羅瓦群的方法。開始使用自己熟悉的巖澤理論作出嘗試，持續一年而失敗。在鑑於自己已有的知識結構的侷限，懷爾斯意識到需要學習新的數學方法，幸運的是他找到了科裡瓦金-弗萊切方法。然而要使的該方法能成功奏效或進行改造，都需要學習更多新的數學，艱深的代數等，這讓懷爾斯意識到需要尋找他人的幫助或合作。最終，懷爾斯選擇了他在普林斯頓大學數學系的同事凱茲教授。經過一段時間的合作交流，科裡瓦金-弗萊切方法的有效性也得到了凱茲的肯定。

1993年6月21日至23日，懷爾斯在劍橋大學牛頓數學所以“模形式、橢圓曲線與伽羅瓦表示”為題分三次做了演講，他的演講表述的結果表明了：對有理數域上有“半穩定”的橢圓曲線谷山-志村猜想成立，而弗雷曲線恰好屬於這一大類曲線。而這一結果也實際上證明了費馬大定理。

這自然引起了不小的轟動，正當媒體與公眾還沉浸在這巨大的事件中時，數學界開始了緊張的審查工作。由於這篇長達200多頁的論文涉及多個數學分支和大量數學工具，德國《數學創造》雜誌主編要求6人對論文的6個章節分別進行審核，而負責第三章的正是凱茲。在論文的審查期間，懷爾斯多次回答審查人員提出的問題，直到歐拉系的構造問題。該問題的解決使得懷爾斯一度絕望，甚至想過放棄，宣佈證明失敗。懷爾斯向好友薩那克訴說自己面臨的壓力和處境，得到薩那克的建議：尋找一個信得過的人，再嘗試一次彌補缺陷。於是懷爾斯邀請了劍橋大學講師理查德·泰勒(懷爾斯論文的6個審查人之一)到普林斯頓與他一起工作。終於在1994年9月19日，懷爾斯在檢查科裡瓦金-弗萊切方法的時候，突然再次想到巖澤理論。巖澤理論和科裡瓦金-弗萊切方法相互結合，互相補足，徹底的解決了費馬大定理。

從費馬大定理的提出到熱爾曼給出新思路，出現新曙光；再到庫默爾確認當時的數學工具是缺乏的；最後伽羅瓦群論和裡貝特證明了弗雷命題，促使懷爾斯有信心決定“單打獨鬥”，當然這並非絕對單打獨鬥。費馬大定理確實是夠傳奇，牽動了數學界的頂級數學家的心絃。

啟示

事件已經過去多年了，瞭解過後還是給了我很大的震撼，跟給了我很大的啟發。我們的社會早就進入的高速的知識增長、爆炸時代，而我們的教育是以知識的積累為目的的，不敢說直接淘汰這種教育，但重新審視和改革是必須的。

知識的爆炸增長是全面覆蓋的，數學自然也不例外。很多年前就有人做過粗略統計說，數學界一年發表的定理高達20萬餘條，當然這其中大部分的定理都會是無人問津的。

數學的分支龐雜，每個分支深入研究後都能佔據一個人有限的時間和精力，而對於大多數人來說最具創造力的時光也非常有限。有人說龐加萊是最後一個數學全才；也有人說從希爾伯特之後，再也沒有能系統掌握數學的大師人物了；無論如何，現在很少有人能較全面的掌握數學，或者說在多個領域站到前沿。肯定不是現在的人比一兩百年前的人笨了，而是數學發展了、豐富了、更抽象和公理化了，想要進入一個領域的門檻，要學習的東西比之前要多的多。

對於目前數學的重大發展能夠持續進行，個人以為應該有以下幾個途徑：

第一，人的認知水平和智商的提高。要知道知識的大爆炸也說明一點，那就是在這之前，人類從來都沒有處理過如此多的信息，很難說人類的大腦就能勝任這些工作。從感官認知的角度來講，因為有眼睛，我們能見；因為有耳朵，我們能聽；等等。單就說眼睛，也只是對可見光產生視覺，因此也很難想象能看到更多波段光的眼睛，會看到什麼樣的多彩世界？然而我們卻又不得不借助我們的感官來認識世界。就比如在狗的視野裡，世界是黑白的，即便是看到紅色的花；那在人類的視覺看來，花是紅色的就是客觀的嗎？因為有著對應的器官，產生了相應的感官體驗。那麼有沒有什麼知覺是我們人類所沒有的，或者經過萬年的進化會不會產生新的器官和能力，來輔助認知？如果再單說人類大腦處理問題的能力能夠量化，那麼想必每個人的這個指標是不同的，那作為整體種群來講這種指標的增長就應該是有原因的，歷史上的遠古人類的大腦效率應該是比現代人低的，那麼未來人比現代人呢？沒錯兒，有人想到了一個詞“進化”，那推動進化速度的自然就是生產實踐，而短期爆炸式產生的知識以及人腦對知識的理解、加工和運用等能動作用，是提升人類大腦能力的主要因素。

第二，數學課題是有好壞的，因此數學問題的研究是需要有選擇的，並非所有問題都值得研究。這種觀點也被很多的數學大師所認同。因此，能夠判斷什麼樣的數學問題值得花費時間、精力去研究就是一個重要的素質。在個人有限的時間、精力的限制下，選擇適合自己和有價值的數學問題才是聰明的選擇。當然了，歷史上有不少的數學家在對一些問題進行探討的時候僅僅是憑藉著興趣，甚至都不考慮有什麼意義。然而尷尬的事情是，在沒有深入研究時，根本就不知道費馬大定理的價值和意義。就像費馬大定理，很長一段時間內都是一個孤立的問題，高斯就認為這是一個意義不大的問題。現在我們看到了費馬大定理絕不是一個孤立的問題，而且其證明的過程中大大的豐富和發展了數學的理論和方法，產生的影響是不可估量的。

第三，數學的交流是必不可少的。因為每個人的知識背景和結構是有區別的，豐富的數學內容更是加大了數學家的工作難度，使得對數學對象之間的聯繫更難把握。就如懷爾斯在使用歸納法證明猜想而一籌莫展的時候，由於參加學術會議從導師科茨那瞭解到新的有效方法；在文稿完成後，由於自己的數學知識欠缺，找到同時凱茲幫助審查；而在劍橋大學牛頓數學所演講後，多人對其手稿進行了審查，並發現嚴重缺陷，以及缺陷的補足都是得到了泰勒等人的幫助。

第四，對現有知識和方法的充分了解和掌握是解決問題的基石。要說懷爾斯與他人的溝通給了他至關重要的幫助，想必懷爾斯本人也不否認。但我認為更重要的是，在這之前的熱爾曼、拉梅、庫默爾、法爾廷斯、弗雷和谷山豐等人的努力同樣的不可磨滅，因為已知現有的知識或方法工具，在恰當的聯繫後也能顯示其巨大的威力，產生出深刻的結果。就如模形式理論是數論、幾何與函數論交叉的分支，而弗雷的工作把谷山-志村猜想和費馬大定理聯繫起來，至此才有了懷爾斯的工作，要知道懷爾斯研究領域雖然是橢圓曲線，但他並沒意識到這和費馬大定理能有什麼關聯。目前的學科交叉，產生了豐富的課題，這要求人們在瞭解現有成果的同時，必須與其他的學者進行交流。

第五，豐富的想象力或者直觀的形象思維也是不可缺少的。要知道費馬給出的猜想，就是一個開端。而這種開端就是通過一些直觀思維給出的結果，此時是不用考慮用嚴密的邏輯去論證的，然而這卻是很多數學工作的開端。這種形象思維或直覺能力多用於數學研究的最初階段，而我們的教育卻從來都是這種形象思維的訓練的。