現在我們使用的汽車、手機，都安裝了全球定位系統，全球定位系統是一個衛星導航系統。現在衛星導航系統，普遍使用美國的GPS，美國人從20世紀70年代就開始研究全球定位系統。現在，中國、歐盟、俄羅斯都開發了自己的導航系統，相信未來，會有更多、更先進的衛星導航系統出現。
太空中的衛星是如何知道我們在哪裡的呢？我們在開車的時候，導航發出“向左轉”、“向右轉”、“直行”這樣的指令，是根據什麼原理呢？其實，這來自於一個古老的數學知識，那就是三角學。
衛星可以用於導航
今天，我們以《古今圖書集成》裡的一幅圖為中心，講一講人類定位的歷史。
一個小小的三角形，無非就6個信息，三條邊的邊長，三個角的度數，有什麼好研究的呢？實際上，人類對於三角形的研究歷經了幾千年的時間，形成了三角學，三角學是數學的一個重要分支。有了解析幾何之後，三角學還發展為了三角函數。
第一、勾股定理
《九章算術》是現存的中國古代最古老的數學著作，由西漢的張蒼、耿壽昌整理，但裡面的很多內容可追溯到上古時期。
《九章算術》的第九章是《勾股章》，《勾股章》的一道題是：
《海島算經》是對《九章算術》勾股章的發展
今有句三尺，股四尺，問為弦幾何？答曰：五尺。
中國古代稱直角三角形為“勾股形”，直角三角形較短的直角邊為勾，較長的直角邊為股，已知“勾”與“股”的長度，求直角三角形的弦（斜邊）的長度。勾的平方加上股的平方等於弦的平方。勾股定理在西方稱之為“畢達哥拉斯定理”。《九章算術》裡認為：“句股各自乘，並，而開方除之，即弦。”中國人和歐洲人，相當於各自獨立發現了“畢達哥拉斯定理”，這是人類對於三角學最早的認識。勾股定理的本質就是：在已知直角三角形的兩條邊的邊長的情況下，求另一條邊的邊長。但是，三角形的形狀是千變萬化的，角的度數不會總是90度，如何不是直角三角形，如果在已知最少的信息的情況下，求得最多的信息呢？
第二：三角學
三國時期的數學家劉徽所著之《海島算經》是《九章算術》之《勾股章》的延續與發展，這表明中國古代的勾股定理，已發展為了三角學。《海島算經》裡的九個問題，都是關於三角學的。
《古今圖書集成》裡的望海島
《海島算經》裡的第一道題是“望海島”，海島究竟有多遠，有多高，隔著茫茫大海，無法實地測量，怎麼用最簡單方法，得到海島的距離與海拔呢？劉徽在《海島算經》裡介紹了一個辦法，在大海的這一邊立一個標杆，標杆與地面垂直，呈90度，人眼貼地觀察，使得標杆的頂端與海島的最高峰對齊，此時，人眼觀察所在地與標杆之間就有一段距離，這個距離可以實地測量，如為123步，那麼，再向後移動標杆1000步，按照前面的方法，再測出人眼觀察所在地與標杆之間的距離，如為127步，那麼，就可以得出海島的距離與高度了。
望海島轉換成的幾何圖形
我們把“望海島”的題目轉換為圖形，就一目瞭然了，如圖，標高的高度CD、EF肯定是已知的，測出DG、FH、DF的情況下，我們根據相似三角形的定理，很容易知道AB和BD的長度了。根據這個方法，我們同樣可以測出一座山峰、一座高塔的高度。
第三：三角函數與解析幾何
如圖所示的三角形是三個比例完全相同的三角形，那麼，它們的三個邊的長度的比值都是相等的。這就是我們在中學數學中所學到的三角函數。
假如∠A＝30°，那麼CB與AC的比值，就是0.5，即sinA＝0.5。另外，兩個直角三角形的邊長的比值與這個三角形的邊長的比值是一樣的。sinA、sinD 、sinG都是0.5。
三個比例相同的直角三角形
由於比值是一樣的，那麼，在直角三角形中，知道了一個角的度數和另外任意一條邊的長度，其他的角的度數與邊的長度，就都可以知道了，這就是我們所學的正弦（sin）、餘弦（cos）、正切（tan）、餘切（cot）。
正弦（sin）、餘弦（cos）在定位中有什麼應用呢？那就是我們知道了A點與B點的距離，並且確定了A點與C的角度，那麼，C點有多高以及A點與C點的距離，就顯而易見了，而無需實際測量，這就需要製作三角函數表，從1°到90°的數值都列入表中。
有了三角函數表之後，“望海島”其實還有一個更簡便的方法，那就是測出DG與CG之間的角度，根據三角函數的定理，馬上就能得到斜邊CG的長度，再根據相似三角形的定理，得到AB和BD的長度。
研究三角學的古希臘天文學家喜帕恰斯
想要馬上知道DG與CG之間的角度，就必須製作出一個儀器，這個儀器就是六分儀和八分儀。
我們仰望星空，兩個星星之間的距離是多少，根本無法實地測量的。那麼，如何知道兩個星星之間的距離呢？我們用六分儀或者八分儀測算出星星與地平線之間的角度，或者兩個星星之間的夾角，就可以知道兩個星星的距離了。
六分儀的原理最早是由牛頓提出來的，後來，還發展為了八分儀。六分儀，就是把一個360度的圓周分為六等分，角度為60度；八分儀就是把一個360度的圓周分為八等份，角度為45度。
牛頓
六分儀、八分儀就是大航海時代的GPS，人們可以根據恆星與地平線之間的角度，確定航船在地球上的緯度，從而為自己定位。
六分儀在實際的操作過程是十分複雜的，我們不是學測繪學和天文學的，無需知道其中的複雜原理。我們來看一個有趣的歷史故事，就是知道三角函數確定位置的原理了。
地球距離太遠有多遠，是人類一直想要得到的答案，如何測量呢？無法測量！還是需要根據三角函數來計算。科學家是通過金星凌日的現象，首次測算出了日地距離，此事發生在1761年至1769年，因為當時發生了金星凌日的天文現象。人們從西比利亞、北美洲、澳大利亞、南太平洋等地觀察了同一場金星凌日，然後，根據三角函數，計算出了日地距離，這就是三角測量法。我們以海上航船的位置，來簡單說明一下這個原理。
C點是海船
我們站在海邊，有一艘航船正在駛來，我們怎麼知道這艘船與海岸的距離呢？如圖所示，假設有兩個人站在A點和B點，航船的位置在C點，CE就是船與海岸的垂直距離。那麼，我們只要測算出A點與B點的距離即AB的長度，並且測算出CA與BA之間的夾角，就可以得出圖上三角形所有的信息了。所以，三角測量學，最重要的是精確地測算出兩個物體之間的夾角，夾角度數越精確，距離就越準確。
18世紀，關於金星凌日的數學計算
那麼，手機是如何定位的呢？我們在觀看偵探劇的時候，常常遇到這樣一個情景：警察需要根據犯罪嫌疑人使用的電話的位置，確定犯罪嫌疑人的大致位置，這同樣需要用到三角函數。手機接受信息，需要有信號點發出信號，那麼，只要知道了與這部手機最近的三個信號發射點的位置，並且測算出了這部手機與最近的三個信號點的距離，就可以知道這部手機的位置了。如圖所示：三個信號發射點，分別為A、C、D，手機的位置是B，那麼，以A、C、D為圓心，以AB、CB、DB為半徑，畫一個圓，這三個圓相交於B點，B的位置就是手機的位置。在座標軸中，信號發射點A、C、D的座標位置是已知的，那麼，以A、C、D為圓心，AB、CB、DB為半徑，畫一個圓，三圓相交於B點，B點的座標，是可以用解析幾何的方法求得的。
三角定位法
當然，如圖所示的案例，是理想狀態，考慮到信號的物理損耗以及測量的誤差，有的時候，三個圓並不相交於一點，即使不相交於一點，那麼在三個圓的交集處，也可以大致尋找到手機B的位置。這裡面需要大量的計算，現在這種計算，人類已經交給了計算機了，但是，其核心仍然是三角函數和三角測量法的運用。
用解析幾何的辦法，求座標
如同所示的案例，是二維座標，是通過信號發射點尋找手機的位置，理論上來說，是地面與地面構成的二維座標。現在有了全球定位系統，全球定位系統使用的是衛星，太空中的衛星與地面，構成的則是三維座標，是一個立體畫面。那麼，在三維座標中，求一個點的位置，計算程度更復雜了，好在，現在有計算機，計算機的運行速度非常快，能夠即使計算出結論，但這些複雜的計算過程，其核心還是使用了以正弦函數和餘弦函數為中心的三角學的知識。
全球定位系統，需要4顆衛星實時定位手機的位置，手機B到衛星A、衛星C、衛星D的距離是可以測量的，衛星A、衛星C、衛星D的座標肯定是已知的，那麼，用解析幾何、三角學的方法，就可以求得B的座標。但為什麼衛星定位，需要4顆衛星呢？
在沒有衛星的年代，人們根據三角學知識定位
衛星A、衛星C、衛星D是負責測量的衛星，衛星是通過電磁波測得距離，得出座標點的數據的，電磁波的傳播是有速度的，太空與地面的距離所產生的的誤差是相當可觀的，需要有另外一顆衛星E來提供時間參數，通俗一點來講，衛星E是定時的。
當然，圖中所描述的三角定位法，是理想狀態，在實際的操作過程中，三個圓不一定會相交於一點，這涉及到測量的技術問題了。但是，無論怎麼樣，都需要用到三角學的知識。
測量為什麼非要用到三角學呢？因為僅僅已知B點與A點的距離，我們是無法得到B點的準確位置的。我們想象一下，假如在一個城市中，我們要找一個朋友，他的位置是在B點，我的位置是在A點，他只告訴我，他與我的距離，什麼都沒說，那麼，我只能以我的位置為圓心，以我與他的距離為半徑，畫一個圓，他的位置可以是這個圓周上的任意一點。
僅已知距離，B點位置是圓的任意一點
如何才能進一步確定呢？他還必須告訴我，他與另外一個朋友的距離，假設另外一個朋友的距離是C點，那麼，再以C點為圓心，以CB為半徑畫一個圓，兩個圓相交的位置，必然是朋友B的位置。但是，兩個圓相交，有兩個點，他的位置還是無法確定的。
B點可以是兩圓相交的兩個點
他還必須告訴我，他與朋友D的距離，那麼，再以D點為圓心，以DB為半徑畫圓，三個圓就相交於一個點了，朋友B的座標，就明確了。
三個圓相交
然而，在實際生活中，沒有誰那麼無聊，去朋友家，只告訴你三個點的距離，讓你畫圓，再用三角學和解析幾何的辦法，求座標。我們一般都是用聊天軟件實時定位，然而，實時定位的背後，則是計算機的大量的數據運算，這些數據運算的核心，就是三角學。實時定位必須配合已知的地圖，座標要落實到地圖上，才可確定位置，而人類製作地圖的過程，就是運用三角學的過程。
引入座標軸，可以計算每個點的座標，座標就是位置
三角學的實質，就是在已知最少量的情況下，求得最多的未知量，這是人類一直追求的一個目標之一，花最小的成本得到最大的利益。
我們把歷史與數學放在一起學，就會覺得數學非常的有趣。
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