05.07 数学史话之莉拉沃蒂婆什迦罗

在婆罗摩笈多之后，印度数学终于迎来了一个大牛，他是古印度历史上最重要的数学家、天文学家--婆什迦罗。

婆什迦罗出生在一个婆罗门教家庭，当然也属于婆罗门种姓。他的出生地在今天的迈索尔邦的比德尔，后来长期在乌贾因的天文台工作。因为他的名字和6世纪时候的另一个婆什迦罗同名，所以一般把这个婆什迦罗称为婆什迦罗第二，如果没有加第二的话，一般意义上都是指这第二个婆什迦罗。婆什迦罗留下的著作有很多，其中包括《莉拉沃蒂》、《算术本源》和《天文系统之冠》的一部分。

莉拉沃蒂

《莉拉沃蒂》的意思是"美丽"，传说这是婆什迦罗的女儿的名字。当初有个预言家说她终生不能结婚，婆什迦罗本身也是个占星家，于是他也预卜了一下自己女儿的良辰。他把一只杯子放在水中，杯底有一个小孔，水从小孔中慢慢进入杯中，杯子一旦沉没，就是他女儿的良辰吉日。他的女儿可能是着急了，跑去看杯子什么时候能够沉下去，没想到一颗珠子从首饰上滑落了下来，掉到杯子里去了，正好堵住了小孔，水不再进入杯中，杯子就无法下沉了。于是"莉拉沃蒂"命中注定的永不能出嫁了。婆什迦罗为了安慰女儿，就以她的名字来命名了这本书，说：你的名字将会同这本书一起流芳百世。在《莉拉沃蒂》中，婆什迦罗主要阐述了一些名字术语的定义、算术运算法则、有关利率的应用问题、算术和几何数列问题、平面及立体几何学、代数问题、组合问题。在《莉拉沃蒂》中，婆什迦罗用诗歌的形式讲述了许多数学题目，比如"莲花问题"。平平池水清可鉴，面上半尺生红莲，出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边。花触水面半浸没，偏离原位二尺远，能算诸君请解题，池水如何知深浅？这其实是一个勾股定理的问题，有兴趣的可以算一下。

婆什迦罗在《算术本源》中主要阐述了代数的一些问题，比如正数和负数、零、未知数、根式、粉碎法（库塔卡）、二次不定方程、简单方程、二次方程、多元方程、多元二次方程以及关于未知数乘积的运算等内容。在书中，婆什迦罗对于零做了专门的讨论，其中有创新，也有错误。比如婆什迦罗把0×a=a×0分开来描述，尽管两者结果相同，但是意义是不一样的。其实这里已经含有了无穷小的思想：

这两个式子的含义并不一样。另外，婆什迦罗还使用了式子(a/0)×0=a，这个式子是不争取的，但是他的本来想法可能是这样的：

在"库塔卡"运算方法的阐述中，婆什迦罗改进了婆罗摩笈多的解法，并将其命名为"循环过程"。

婆什迦罗的微分思想体现在他的《天球》一书中，《天球》是《天文系统之冠》的一部分。在该书中，婆什迦罗为了算出球的体积和表面积，明确提出了将球分割成细小部分的方法。在婆什迦罗之前，阿耶波多给出的球体积公式是V=πr^2根号πr^2，这其实是不对的。马哈维拉的公式也非常粗糙。婆什迦罗在《莉拉沃蒂》中写道：圆面积=周长·d/4=πr^2，球的表面积S=4πr^2，球体积V=4πr^3/3。婆什迦罗在《天球》一书对这些公式给出了推导过程。他使用的推导方式就是用许多平行的圆将球表面分割成圆环，然后再将这些圆圈的面积累加起来。婆什迦罗的时代，还没有严格的极限概念，所以他只是在运用的过程中，观察到了一些事物的本质，从而掌握了其中的真理。

婆什迦罗掌握的数学是相当全面的，他代表了当时印度数学的最高水平。他会熟练运用三角公式；他还比较系统地讨论了负数的概念，正确叙述了负数的运算法则；他还广泛地应用无理数。

印度人对婆什迦罗给予了极高的评价，在巴特那有一块石碑，上面刻着"胜利属于杰出的婆什迦罗，他受到智者的尊敬……"。另外，在印度数学中可以体现出印度人都有着非常强的直觉能力，十分善于用猜测的方法去寻找答案，比如印度现代的数学家拉玛努金就是其中的佼佼者。