03.07 初中數學常用十大解題方法

下面介紹的解題方法，都是初中數學中最常用的，有些方法也是中學教學大綱要求掌握的。

1、配方法

所謂配方，就是把一個解析式利用恆等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪的和形式。通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數學中一種重要的恆等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的極值和解析式等方面都經常用到它。

例題：

用配方法解方程x²+4x+1=0，經過配方，得到()

A．(x+2) ²=5 B．(x－2) ²=5 C．(x－2) ²=3 D．(x+2) ²=3

【分析】配方法：若二次項係數為1，則常數項是一次項係數的一半的平方，若二次項係數不為1，則可先提取二次項係數，將其化為1後再計算。

【解】將方程x²+4x+1=0，

移向得：x²+4x=－1，

配方得：x²+4x+4=－1+4，

即(x+2) ²=3；

因此選D。

2、因式分解法

因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恆等變形的基礎，它作為數學的一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定係數等等。

例題：

若多項式x²+mx-3因式分解的結果為（x-1）（x+3），則m的值為

A．-2 B．2 C．0 D．1

【分析】根據因式分解與整式乘法是相反方向的變形，先將（x-1）（x+3）乘法公式展開，再根據對應項係數相等求出m的值。

【解】∵x²+mx-3因式分解的結果為（x-1）（x+3），

即x²+mx-3=（x-1）（x+3），

∴x²+mx-3=（x-1）（x+3）=x²+2x-3，

∴m=2；

因此選B。

3、換元法

換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是在一個比較複雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易於解決。

例題：

已知(x²+y²+1)(x²+y²+3)=8，則x

A．-5或1 B．1 C．5 D．5或-1

【分析】解題時把x²+y²當成一個整體來考慮，再運用因式分解法就比較簡單

【解】設x²+y²=t，t≥0，則原方程變形得

(t+1)(t+3)=8，化簡得：

(t+5)(t-1)=0，

解得：t₁=-5，t₂=1

又t≥0

∴t=1

∴x²+y²的值為只能是1．

因此選B．

4、判別式法與韋達定理

一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c屬於R，a≠0）根的判別，△=b²-4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。

韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根；已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用外，還可以求根的對稱函數，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。

注意：①△=b²-4ac＜0，方程無實數根，即無解；②△=b²-4ac =0，方程有兩個相等的實數根；③△=b²-4ac＞0，方程有兩個不相等的實數根。

5、待定係數法

在解數學問題時，若先判斷所求的結果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的係數，而後根據題設條件列出關於待定係數的等式，最後解出這些待定係數的值或找到這些待定係數間的某種關係，從而解答數學問題，這種解題方法稱為待定係數法。它是中學數學中常用的方法之一。

例題：

6、構造法

在解題時，我們常常會採用這樣的方法，通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數、一個等價命題等，架起一座連接條件和結論的橋樑，從而使問題得以解決，這種解題的數學方法，我們稱為構造法。運用構造法解題，可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透，有利於問題的解決。

例題：

如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分線交BC於點D。求證：AB＋BD＝AC

【分析】若遇到三角形的角平分線時，常構造等腰三角形，藉助等腰三角形的有關性質，往往能夠找到解題途徑。

【解】延長CB到點F，使BF=AB，連接AF，則△BAF為等腰三角形，且∠F=∠1.再根據三角形外角的有關性質，得出∠ABD=∠1+∠F , 即∠ABD=2∠1=2∠F，而∠ABD=2∠C，所以∠C=∠1=∠F ， △AFC為等腰三角形，即AF=AC，又可得△FAD為等腰三角形,因此 ，AF=DF=DB+BF=DB+AB,即AB＋BD＝AC。

7、反證法

反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然後，從這個假設出發，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設；(2)歸謬；(3)結論。

反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行於/不平行於；垂直於/不垂直於；等於/不等於；大(小)於/不大(小)於；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n一1)個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。

歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設矛盾；自相矛盾。

例題：

若P是兩條異面直線l、m外的任意一點，則

A．過點P有且僅有一條直線與l、m都平行

B．過點P有且僅有一條直線與l、m都垂直

C．過點P有且僅有一條直線與l、m都相交

D．過點P有且僅有一條直線與l、m都異面

【分析】 對於A，若存在直線n，使n∥l且n∥m

則有l∥m，與l、m異面矛盾；對於C，過點P與l、m都相交的直線不一定存在，反例如圖(l∥α)；對於D，過點P與l、m都異面的直線不唯一．

【答案】B

8、面積法

平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計算有關的性質定理，不僅可用於計算面積，而且用它來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。運用面積關係來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。

用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線。面積法的特點是把已知和未知各量用面積公式聯繫起來，通過運算達到求證的結果。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關係變成數量之間的關係，只需要計算，有時可以不添置補助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。

例題：

如圖2，C是線段AB

求證：∠AOC=∠BOC。

證明：過點C作CP⊥AE，CQ⊥BD，垂足分別為P、Q。

因為△ACD、△BCE都是等邊三角形，

所以AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，

所以∠ACE=∠DCB

所以△ACE≌△DCB

所以AE=BD，

可得CP=CQ

所以OC平分∠AOB

即∠AOC=∠BOC

9、幾何變換法

在數學問題的研究中，常常運用變換法，把複雜性問題轉化為簡單性的問題而得到解決。所謂變換是一個集合的任一元素到同一集合的元素的一個一一映射。中學數學中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至於無法下手的習題，可以藉助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點滲透到中學數學教學中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運動中的研究結合起來，有利於對圖形本質的認識。

幾何變換包括：（1）平移；（2）旋轉；（3）對稱。

例題：

1. 平移變換把圖形中的某一個線段或者一個角移動到一個新的位置，使圖形中分散的條件緊密地結合到一起。

一般有2種方法：

1.平移已知條件

2.平移所求問題，把所求問題轉化，其實就是逆向證明。幾何題多數都是逆向思考的。

例 ：在三角形ABC中，BD=CE,求證：AB+AC大於AD+AE。這是典型的平移條件問題。

【解】我們把三角形AEC平移到如圖所示的FBD位置。這裡用了BD=EC的條件 。設AB與FD交於P

這樣，容易構造兩個全等的三角形 AEC,FBD 由於

PA+PD大於 AD

PF+PB大於 BF

兩式相加 PA+PB+PD+PF大於AD+BF

又因為BF= AE，AC= FD

所以AB+AC大於AD+AE

2.旋轉變換把平面圖形繞旋轉中心,旋轉一個定角，使分散的條件集中在一起.

例：

【解】要證BM^2+CN^2=MN^2,容易想到勾股定理.但是BM,CN,MN都不在同一個三角形上,所以,我們就設法將BM,CN,MN移到同一三角形上。考慮到△ABC是等腰三角形，且是直角三角形，將△ABM繞點A逆時針旋轉90.使AB與AC重合.得到△ACD ，則△NCD為直角三角形

只需證明MN=ND即可

因為∠MAN=45,所以∠BAM+∠NAC=45 ，即∠NAD=45

又因為AM=AD

所以△AND≌△AMN

所以MN=ND，在直角△NDC中，有ND^2=NC^2+DC^2，所以BM^2+CN^2=MN^2

3.對稱變換通過作關於某一直線或一點的對稱圖，把圖形中的圖形對稱到另一個位置上，使分散的條件集中在一起。

當出現以下兩種情況時，經常考慮用此變換：1.出現了明顯的軸對稱、中心對稱條件時。2.出現了明顯的垂線條件時。

例△ABC中,∠BAC=90, △ACD為等邊三角形，已知∠DBC=2∠DBA，求∠DBA。

【解】由對稱可知，△BAE全等於△BAD ，DE⊥AB,

所以BE=BD,AE=AD, ∠ABE=∠ABD

因為∠DBC=2∠DBA 所以∠DBC=∠DBE

在BC上取點F，使BF=BE

又因為∠BAC=90 ，DE⊥AB

所以DE∥BC ，∠ADE=∠DAC=60

所以ADE是等邊三角形

DE=AD=DC

因為EF關於BD對稱

所以DF=DE=DC ,BF=BE=BD,

設∠DBA=a 則∠DBF=2a

因為BF=BD，所以∠BFD=（180-2a）/2=90-a

由於DF=DC ，所以∠DCF=90-a

∠ACB=180-60-（90-a）=30+a

因為∠ABC+∠ACB=90，即 a+2a+30+a=90 ，a=15

所以∠DBA=a=15

10.客觀性題的解題方法

選擇題是給出條件和結論，要求根據一定的關係找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構思精巧，形式靈活，可以比較全面地考察學生的基礎知識和基本技能，從而增大了試卷的容量和知識覆蓋面。

填空題是標準化考試的重要題型之一，它同選擇題一樣具有考查目標明確，知識覆蓋面廣，評卷準確迅速，有利於考查學生的分析判斷能力和計算能力等優點，不同的是填空題未給出答案，可以防止學生猜估答案的情況。

要想迅速、正確地解選擇題、填空題，除了具有準確的計算、嚴密的推理外，還要有解選擇題、填空題的方法與技巧。下面通過實例介紹常用方法。

（1）直接推演法：直接從命題給出的條件出發，運用概念、公式、定理等進行推理或運算，得出結論，選擇正確答案，這就是傳統的解題方法，這種解法叫直接推演法。

（2）驗證法：由題設找出合適的驗證條件，再通過驗證，找出正確答案，亦可將供選擇的答案代入條件中去驗證，找出正確答案，此法稱為驗證法（也稱代入法）。當遇到定量命題時，常用此法。

（3）特殊元素法：用合適的特殊元素（如數或圖形）代入題設條件或結論中去，從而獲得解答。這種方法叫特殊元素法。

（4）排除、篩選法：對於正確答案有且只有一個的選擇題，根據數學知識或推理、演算，把不正確的結論排除，餘下的結論再經篩選，從而作出正確的結論的解法叫排除、篩選法。

（5）圖解法：藉助於符合題設條件的圖形或圖象的性質、特點來判斷，作出正確的選擇稱為圖解法。圖解法是解選擇題常用方法之一。

（6）分析法：直接通過對選擇題的條件和結論，作詳盡的分析、歸納和判斷，從而選出正確的結果，稱為分析法。

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