在那篇文章裡，我為大家介紹了新加坡數學裡的“Model Drawing”建模方法，這裡我先簡單總結一下，之前沒讀過的同學就不用回翻了。
建模可以說是新加坡數學的核心精髓。
不過大家不用把它想成我們高中大學時參加的數學建模競賽，沒那麼複雜，但思想是類似的，就是想辦法用固定的、規整的模型來描述一個現實問題，這樣，對現實問題的思考就轉化成對這個模型的研究。最常用的建模方法是Bar Model，就是下面這種方框圖，我們看兩個用建模方法來解應用題的簡單例子：
Grant 有345個水果派，Ken比Grant多230個，問Ken有多少個水果派？
Amanda和Nancy一共有60塊錢，Amanda的錢比Nancy多10塊，問她們各有多少錢？
方法很簡單，就一個關鍵點，用不同長度的方框表示數量，畫的時候儘量符合比例，這樣孩子在用建模方法解答的過程中，對數量的大小，數量之間的關係就會有很直觀的感受。
很多孩子覺得數學困難，往往是因為從具體到抽象這關過不好，剛開始數學啟蒙時可以掰手指，數積木塊，這時的數學是具象的，在生活中可見的。但後面一上到抽象的數字符號，運算公式時，數學就變成一門看不見摸不著的學科了，不適應的孩子很容易產生畏懼心理。
而建模用的方框圖，就相當於從具體實物到抽象符號中間的橋樑。新加坡數學把這種方法稱為“CPA教學法”，最早是美國心理學家傑羅姆 · 布魯納提出來的，他經過長期的研究觀察發現，孩子學習要經歷三個階段：C - Concrete 具象化、P - Pictorial 形象化、A - Abstract 抽象化。
對應地，從具體實物（積木塊），到抽象的數學算式（2+1=3），中間需要有一個“形象化”的過渡，就是建模。
看起來很簡單對吧？
但後來我發現，建模的意義還遠不僅在於幫助孩子從具體過渡到抽象，更關鍵的是，經常練習、懂得熟練運用的話，它能讓孩子養成“把複雜問題形象化、簡化”的思維習慣。
今天要分享的就是一次我被逃逃用建模“打敗”的經歷。
我家陪娃做數學作業（需要陪的也幾乎都是我們自己課外給他佈置的）時有個特點，無論是我陪還是逃爸陪，都喜歡跟逃逃一起做同樣的題，一來一起做題他就特來勁兒，常常上綱上線地要跟我們比比速度、正確率啥的，很有正向激勵作用；二來我們跟著做熟悉一下題型思路，如果他有什麼搞不懂的，也能馬上輔導得上。當然我們也是自恃當年數學還不錯，對一些需要動點腦筋，有些挑戰的數學題也很感興趣。
這是我和逃逃一起做的一道題：
我先翻譯並簡化一下：
一人叫C，一人叫P，他們手上都有些卡片。一開始C的卡片數是P的5倍。然後，C把自己的1/4給了P，P收下之後又把自己目前總擁有的1/3給了C。現在，C的卡片比P多96張。問一開始C有多少張卡片？
咋一看挺複雜，卡片給過來給過去的，有點兒頭大。我知道用一元一次方程肯定能解出來，但直覺應該有更好的方法，正在思考中發現逃逃已經刷刷刷地在草稿紙上塗塗寫寫了。我心想不能落後，索性就用方程吧，反正他在準備AMC8的數學競賽裡也接觸過方程了，應該不會覺得我耍賴～
於是我開始按部就班地算，假設一開始P的卡片數量是p的話，那麼，他們倆初始卡片數量分別是，
C把自己的1/4給了P之後，他們的卡片數量變成，
P收下之後又把自己目前總擁有的1/3給C，所以這時他們的卡片數量就變成，
現在C的卡片比P多36張，也就是說，
好長的算式，但肯定是可以算出來的嘛，於是我就繼續一步一步往下走。還沒算到一半的時候，逃逃在旁邊喊“Done”（搞定！）。
我心想，哼，讓你圖快，一會兒看誰算得對。
我於是飛快地計算，然後和他對答案，我倆的答案一樣，都是160。
逃逃看了看我的草稿紙，搖搖頭“對是對的，不過這方法有點兒笨啊”，然後得意洋洋得給我秀他的方法：
啊，對呀！用建模圖，我怎麼沒想到？！
我一下恍然大悟，為了讓他攢足成就感，我開始作虛心聽講狀（對了，這招很管用，跟孩子認慫，讓他給你講講，他講的過程也是他再次理清思路的過程，不過這次我是真慫，不是故意的～）
然後逃逃就開講，他講得還挺細緻的（為了讓大家看得比較清楚，以下我重新用電腦畫圖來說明一下過程）：
1. 一開始他們倆擁有的卡片數量是1:5，C的數量是P的5倍，可以這麼表示：
2. C把自己的1/4給P，但是C現在被分成5份，怎麼取1/4呢？沒關係，把每一份都分成4小格，每一份中取一小格出來，就是1/4了。相應的，我們也把P分成4小格：
3. C把1/4，也就是上面標黃的5個小格給了P後，他們倆的數量就是這樣：
4. P再把自己的1/3給C，就變成了這樣：
到這裡就很清楚了，C比P多了12小格，這12小格是96張，所以每一小格是96/12=8張。那麼C一開始是有20小格的，所以一開始Cathy擁有的卡片數量就是8*20=160張。
哇，是挺簡捷的！
但我依然有點不服氣，說他算是走運，因為到最後一步P有9小格，而剛好是要分1/3，如果要分1/4不就壞菜了嗎？逃逃說沒關係啊，你就再繼續分格子啊，每小格分四份，和第2步的方法一樣啊……想想的確可行，而且小學數學重在培養思維，人家題目也不會特意在數值上搞得太複雜，我也不再鑽牛角尖了。
而且，兩種方法的對比中，我發現很關鍵的一點，在用建模畫圖時，孩子心中是一直有數量的概念在的，C和P之間的數量對比關係，是怎麼交互、變化的，一清二楚，這對培養孩子的數感很有幫助，能讓孩子養成把複雜問題形象化、簡化的思維習慣。
不過，這種習慣要靠長期的練習，因為逃逃長期在用新加坡數學的練習冊，我發現它有個特點，很多重要的知識點和方法是循環遞進地訓練，比如這個建模方法，每個年級都會練，但難度逐年往上走一點點。
比如學前班階段會藉助實物教具：
到了1、2年級，從實物過渡到建模圖：
開始解決簡單的問題：
而3、4年級之後，會用建模來解決更復雜的問題：
即便是到了學方程，依然會用建模來輔助理解，比如下面這個簡單的二元一次方程：
x+y=7
x+2y=11
用建模圖來表示如下，能非常清楚地看到兩個式子的比較關係，是不是對x和y的數量理解更形象了？
我發現，這個“Model Drawing”建模方法之所以威名遠揚，被稱之為新加坡數學的核心精髓，不僅在於方法本身，更重要的是，它還被細化到每個年級，循環遞進，成為一整套輔助和幫助孩子掌握、理解、靈活運用的訓練體系，這個非常有價值。
畢竟搞明白是一回事，而能否熟練運用，養成一種把複雜問題形象化、簡化的思維習慣又是另一碼事了，這之間的gap就是要多練，而且是循環遞進，有針對性的練習。
雖敗，但很服氣！
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