丈量新世界

微積分的本質是什麼？能否用通俗易懂的語言表達？

微分和積分的本質必須合起來講，才有可能通俗易懂；要是分開來講，反而變抽象了。

我們不妨以事物在時間中產生變化為例。積分相當於是指事物經歷時間後產生的總變化量，微分則相當於指事物在每一個剎那的微小變化量。因此，積分顯然是由微分累積而成的。所以這個道理其實只是一個非常簡單的常識，可以歸納為一句話：

這是不是簡單到跟廢話沒有差別？的確就是這麼簡單。

我們將總變化量切分成一份一份（由時間來衡量的話，就是一剎那一剎那）的變化量的過程叫做微分；而將一份一份的變化量累積出總變化量的過程叫做積分。

我們要特別注意到，這裡有一個難點：

• 每個剎那的變化量，或者說每一份微分其實基本都是不同的，因為每個剎那的變化率在絕大多數情況下都不是均勻的（否則我們就不需要微積分了）。
  
• 就像我們開車時，由於每個剎那的實際速率其實都是不同的，導致每個剎那的位移量也有大小不同。
  

因此，我們就必須能找到辦法來計算每一份微分，然後能通過微分來計算積分。這就是微積分所要完成的總任務。

微積分的本質，事實上徹底體現在一個數學公式，被稱為“微積分基本定理”，又稱為“牛頓-萊布尼茲公式”：

這個公式如果能夠理解的話，其實就等於徹底理解了微積分思想的全部。剩下的就只是對微分與積分規則的技術性掌握了。既然是談本質，我們這裡就不談技術性問題了。

這個公式涉及到兩個函數，一個是f(x)，一個是F(x)。至於什麼是函數，不懂的話得自己去自學，畢竟這屬於初高中的知識，否則得通俗到從小學講起了。

在這個公式中，F(x)可稱為f(x)的一個原函數或者不定積分。F(x)在x點上的變化量，也即在x點時的微分，我們標記為dF(x)；它是在x點的變化率也即f(x)與該點發生的微小變化量dx的乘積，也即dF(x)＝f(x)dx。所以f(x)＝dF(x)/dx，因此f(x)又稱為F(x)的導數函數。

假設有一個事物在運動，我們不妨將函數f(x)理解為記錄該事物的速度關於時間的函數，而將F(x)理解為該事物的位移關於時間的函數。於是dF(x)＝f(x)dx的意思其實是指x剎那時的微小位移量，等於x剎那時的速率與該剎那時間的乘積。

如果初始時刻是a，而末了時刻是b，則時間的自變量x就從a變化到了b。於是F(b)－F(a)顯然就是指從時刻a到時刻b，事物的位移量，也即f(x)在這個時間段的定積分。它是怎麼計算出來的呢？它是從時刻a到時刻b的每一份微小位移（微分）累積而成的總位移量(積分)。

明白了上述道理後，我們會發現，如果我們掌握了計算微分以及積分的基本規則，我們也就有辦法計算變化率不均勻事物在運動變化中的瞬間變化率(導數)，瞬間變化量(微分）以及積累的總變化量(積分）的根本辦法。這顯然就更加對應現實世界了。

思想真正掌握了，再具體去熟悉計算規則，微積分也就不見得有多少難度了。

建章君

今年我家孩子上大學。暑假裡我給他講了一下微積分的本質。我給自己設定的要求是沒有一個公式，而且中學生都能聽得懂，我是這樣講的：

求一個直角三角形的高，可以通過底長和夾角來推算，但如果三角形是一個曲邊的呢？再用加角和底邊兒推算就會產生很大的誤差。

那該怎麼辦呢？不妨曲邊三角形分成三段，形成三個藍色直角三角形的，再通過它們夾角和底長推算數三個小高度，這三個小高度就叫做“微分”。

然後，將這三個微分累積起來，就叫做“積分”，這個積分就是我們所求的曲邊三角形的高度。

問題來了，這三個藍色直角三角形的高度，其實是低於實際高度的，會有一個紅色的小誤差。

如何將這個誤差消除呢？如果分成更多段，形成更多的藍色直角三角形，那麼這個紅色的誤差就會快速縮小。

如果分成無窮多段，形成無窮多個藍色直角三角形，那這個紅色的小誤差就會消失。

所以說微積分的本質就是：通過無窮小來求總和。

這算不算史上最容易理解的微積分科普？

先不忙誇我，這個例子及其說法是我從中國科學院林群院士那裡偷學來的。

這個問答可是有院士背書啊😄請大力點贊評論和轉發！

奧卡姆剃刀

小學時候我們就學過圓的面積公式

其中S是圓的面積，π是圓周率，R是圓的半徑。大家還記得這個公式是怎麼得到的嗎？

首先，我們畫一個圓，這個圓的半徑為R，周長為C。我們知道，圓的周長與直徑的比定義為圓周率，因此

這個公式就是圓周率π的定義，是不需要推導的。

然後，我們把圓分割成許多個小扇形，就好像一個比薩餅分割成了很多小塊。再然後，我們把這些比薩餅一正一反的拼在一起，這樣就形成了一個接近於長方形的圖形。

可以想象，如果圓分割的越細，拼好的圖形就越接近長方形。如果圓分割成無限多份，那麼拼起來就是一個嚴格的長方形了。而且，這個長方形的面積與圓的面積是相等的。我們要求圓的面積，只需要求出這個長方形的面積就可以了。

這個長方形的寬就是圓的半徑R，而長方形的長是圓周長的一半

其實，這個推導過程很簡單，那就是先無限分割，再把這無限多份求和。分割就是微分，求和就是積分，這就是微積分的基本思想。

大家知道微積分是誰發明的方法嗎？

其實，從古希臘時代開始，數學家們就已經利用微積分的思想處理問題了，比如阿基米德、劉徽等人，在處理與圓相關問題時都用到了這種思想，但是那時微積分還沒有成為一種理論體系。直到十七世紀，由於物理學中求解運動-如天文、航海等問題越來越多，微積分的需求變得越來越迫切。於是，英國著名數學家和物理學家牛頓和德國哲學家和數學家萊布尼茨分別發明了微積分。

1665年，牛頓從劍橋大學畢業了，當時他22歲。他本來應該留校工作，但是英國突然爆發瘟疫，學校關閉了。牛頓只好回到家鄉躲避瘟疫。在隨後的兩年裡，牛頓遇到了他的蘋果，發明了流數法、發現了色散，並提出了萬有引力定律。

牛頓所謂的流數法，就是我們所說的微積分。但是牛頓當時並沒有把它看得太重要，而只是把它作為一種很小的數學工具，是自己研究物理問題時的副產品，所以並不急於把這種方法公之於眾。

十年之後，萊布尼茨瞭解到牛頓的數學工作，與牛頓進行了短暫的通信。在1684年，萊布尼茨作為微積分發明第一人，連續發表了兩篇論文，正式提出了微積分的思想，這比牛頓提出的流數法幾乎晚了20年。但是在論文中，萊布尼茨對他與牛頓之間通信的事隻字未提。

牛頓憤怒了。作為歐洲科學界的學術權威，牛頓通過英國皇家科學院公開指責萊布尼茨，並刪除了鉅著《自然哲學的數學原理》中有關萊布尼茨的部分。萊布尼茨也毫不示弱，對牛頓反唇相譏。兩個科學巨匠的爭論直到二人去世依然沒有結果。所以我們今天談到微積分公式，都稱之為“牛頓-萊布尼茨公式”。

他們在自己的著作中刪除對手的名字時，如果知道後人總是把他們的名字放在一塊寫，又會作何感想呢？歷史就是這麼有趣。

為了讓大家更瞭解微積分和它的應用，我們再來計算一個面積：有一個三條邊為直線，一條邊為曲線的木板，並且有兩個直角。我們希望求出木板的面積。

為了求出這個面積，我們首先把木板放在一個座標系內，底邊與x軸重合。左右兩個邊分別對應著x=a和x=b兩個位置，而頂邊曲線滿足函數y=f(x).函數的意思就是一種對應關係：每個x對應的縱座標高度是f(x)。

如果我們把這個圖形使用與y軸平行的線進行無線分割，那麼每一個豎條都非常接近於一個長方形，而且長方形的寬是一小段橫座標Δx，高接近於f(x)，所以這一小條的面積就是f(x)Δx。

現在我們把無限多的小豎條求和，就是板子的面積，寫作

其中a叫做下限，b叫做上限，f(x)叫做被積函數，這個表達式就是積分，表示f(x)、x=a、x=b和x軸四條線圍成的圖形面積。

怎麼樣？雖然微積分的計算比較複雜，但是明白原理還是十分簡單的，對不對？

李永樂老師

答：個人理解，站在哲學的角度：微積分的本質是量變到質變的統一。

比如我們求陰影部分A的面積，由於A的大小是由曲線y=x^2決定，而y=x^2的曲線又由無數個點組成，這些點就決定了面積A的大小。

可是點和麵積有著本質的區別，兩者卻有著即分離又統一的聯繫，而聯繫兩者的正是微積分。

從微分到積分，就是量變到質變的過程，居然有著如此完美的關聯，實在是妙不可言。

更讓人驚訝的是，這種聯繫居然可以用人類數學語言來描述。

如果我們站在不同的角度，會得到不同的答案，也會有不同的理解，站在純數學的角度：微積分就是把函數作為研究對象，發展起來的一套自洽的運算法則，其目的是研究函數的變化趨勢。

這樣或許更好理解些，加、減、乘、除可以把數字作為研究對象，我們的微積分就是把函數作為研究對象，本質說來微積分就是比加減乘除更高級的運算法則。

以上回答純屬個人理解，僅作參考！

好啦！我的答案就到這裡呢，喜歡我們答案的讀者朋友，歡迎點擊關注我們！

艾伯史密斯

微積分的本質可以從物理上求速度和位移來說明！

首先，說微分。沒有這個概念以前，高中物理最多敢講授勻變速運動。唯一涉及到變加速運動還是在功裡面，通過汽車加速過程中，通過不斷增加檔位，減小牽引力，提高速度，最終達到勻速。大學裡面解決這一問題就簡單了，我們可以假設如上圖的，如果

t2—t1無限趨緊於0，則這時：

v＝ds／dt，即由上圖的平均速度變成了瞬時速度，這就是求位移對時間的導數。可見，小夥伴再也不是隻能計算勻速、勻變速運動了，任何運動都可以用導數來計算。總結來說，就是微分就是如果我們將複雜的變加速運動速度，分割成很多的極短時間的勻速運動，就可以計算出物體各個時刻的速度了。

其次說積分。沒有積分以前，我們也只能通過運動學公式計算勻速或者勻變速物體的位移。而有了積分我們面對變速運動也可以通過計算每一段不同速度的位移再加起來就可以了。如上圖所示，只要我們把每一段的時間的位移進行疊加，就可以近似得到總的位移。分的時間段越小，最後疊加以後就越接近真實的位移。因此，變速運動的位移也就通過積分得到解決了！

總之，微積分的出現使人類認識世界和改造世界的能力大大提高！

地震博士

微積分就是微分和積分，微分和積分都是研究函數的，函數是用來描述變量之間的變化關係的數學工具。

從微觀的角度研究函數就是微分，從整體的角度去研究函數就是積分。 微分是函數在某點的瞬時變化率，積分是函數在整個區間上每一點效果的總和。一個從局部研究函數，一個從整體研究函數，那麼這二者有什麼關係呢？

微積分之所以叫微積分，而不是微分和積分就在於通過牛頓萊布尼茲公式將此二者的聯繫了起來。牛頓萊布尼茨公式非常重要，可以說是微積分的核心

這個定理有兩個形式，一個是變上限函數的形式（微分形式丿，一個是定積分的形式（不定積分的形式）。

八哥兔侃數學Bin

微積分的本質是什麼？

微積分是一門變量學科，包含著豐富的辨證思想。恩格斯說:“有了變量，辯證法就進入了數學”，“變數的數學——其中最重要的部分微積分——本質上不外是辯證法在數學方面的運用”，通過變量、函數、極限、微分和積分等基本概念和基本方法，將辨證思想滲透到整個微積分之中，在一定條件下，使數學中直與曲、常量與變量、有限與無限、局部與整體、近似與精確、特殊與一般、離散與連續、對立與統一、量變與質變、否定與肯定等基本矛盾的對立面相互轉化，是微積分中辨證思想的具體體現。

一、直與曲的思想

恩格斯曾經指出:“高等數學的主要基礎之一是這樣一個矛盾，在一定條件下直線和曲線應當是一回事，我們知道，直與曲是有嚴格區別的兩個概念，從直觀形象看，前者平直後者彎曲；從幾何特徵來看，前者曲率為0，後者曲率不恆為0;從代數表達式來看，前者是線性方程，後者是非線性方程；一般情況下，無論在理論的處理上還是在實際的計算上，直比曲要簡單得多，然而在形而上學看來，曲就是曲，直就是直，非此即比;辯證法認為，在一定條件下，直與曲可以相互轉化。

通過直認識曲是微積分中解決許多問題的一個重要思想，直與曲的轉化是微積分必不可少的一個方法，微積分正是利用直與曲的矛盾轉化達到了初等數學所完全不能達到的目的，微積分中有許多在曲的局部以直代曲來解決問題的典型例子。

二、常量與變量的思想

常量與變量是數學中的兩個基本概念，常量是反映事物相對靜止狀態的量，而變量則是反映事物運動變化狀態的量，這兩種量的意義有著嚴格的區分，但是它們又是相互依存、互相滲透，在一定條件下相互轉化的，在微積分的內容體系中，要充分重視常量與變量在一定條件下的相互轉化關係。

三、有限與無限的思想

有限與無限是對立的統一，在微積分中，我們往往通過有限來認識無限，也通過無限來確定有限。

四、局部與整體的思想

變量變化過程中的局部與整體之間的相互對立統一的辨證關係，使得整個微積分在這對矛盾的基礎上得以展開，在微積分中，通過局部的性質來揭示整體的性質，又通過整體來刻畫局部，是一個經常用到的重要方法。

五、近似與精確的思想

微積分中通過先近似、再精確的轉化使得問題變得比較容易解決。

六、特殊與一般的思想

從一般到特殊和從特殊到一般乃是人類認識客觀世界的一個普遍規律，一方面由於事物的特殊性中包含著一般性，即共性存在於個性之中;另一方面，一般概括了特殊，一般比特殊更能反映事物的本質

七、連續與離散的思想

在數學中，無論是描述相對靜止狀態的量，還是描述運動變化狀態的量，都存在著兩種情況:連續與離散，連續與離散是數學研究中的重要矛盾之一，它們既有本質的差別，又在一定的條件下互相轉化。

八、對立與統一的思想

對立統一規律是唯物辯證法的實質和核心，是唯物辯證法的最基本的規律，它認為:任何事物自身都包含既相互聯繫又相互排斥的兩個方面，也就是每一事物都是一分為二的，都分裂為兩個對立的部分、方面和趨勢，它們互相排斥、對立，但又互相聯繫，兩者共處於矛盾的統一體中，數學中到處充滿著矛盾，充滿著各種對立面的轉化，比如，數學中直線可以看成半徑為無窮大的圓，半徑為無窮大的圓，也可以看成直線.就是說在這種意義下，直線和圓可以互相轉化或者說“直和曲”可以互相轉化，類似地，平面可以看成半徑為無窮大的球，半徑為無窮大的球也可以看成平面，在這種意義下，兩者是統一的，可以互相轉化、替代。

九、量變與質變的思想

辯證唯物主義告訴我們，一切物質都是質與量的統一物質的運動、變化和發展，不僅有一定的空間形式，而且有一定的數量關係，這就是說，量是形和數的統一，數學正是以現實世界的空間形式和數量關係為研究對象的，即從量的關係方面去把握事物的質及其變化規律，事物的量變質變規律反映在數學中，一是表現為數學的質的差異;二是從量變到質變的飛躍過程。

十、否定與肯定的思想

任何事物的內在矛盾都可以歸結為肯定和否定兩個方面，唯物辯證法從事物肯定和否定的對立關係中，揭示了事物發展是辨證否定的過程，用發展的觀點揭示和闡述科學內容的辯證實質，是馬克思運用唯物辯證法研究科學問題的一種獨到的思想方法，運用這種思想方法可以將科學概念、理論和方法從唯心主義、形而上學等錯誤哲學觀點的束縛下解放出來，使其置於正確哲學思想之上。

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思維技術

微積分是建立在兩個概念上的：

第一，變量的概念；第二，變量極限的概念。

可以說沒有第一個概念就沒有第二個概念，沒有第二個概念就沒有微積分。

牛頓的流數法產生於求曲線的切線斜率問題，即曲線在某一點切線斜率問題：dy/dx=k

只有當dy 與dx 都趨近於零時，比值才是切線在某點的真正斜率。但當增量dx 為零時，分母為零是數學上所不允許的。因此，牛頓說，增量dx 趨於無窮小時（無窮小量不為零），比值就為切線的斜率。

這引起了牛頓的教父本特利牧師的極大不滿，說無窮小量是失去靈魂的鬼魂，因此斷定微積分沒有任何合理的內容。第二次數學危機，也就是微積分危機，就是這樣產生的。

直到哥西依據嚴格的實數理論建立了完整的極限理論，才解決了這個問題。

牛頓要解決的曲線的切線斜率問題，是牛頓的老師巴羅首先提出來的，所以說巴羅也是微積分的創始人之一。

在大洋彼岸的德國，萊布尼茨獨立地發現了與牛頓相同的新的數學方法，並創立了一套完整的符號。所以，我們至今沿用的微分與積分的符號，都是萊布尼茨創立的。

如果進一步追溯，微積分的思想早在遠古就有萌芽。例如，中國古代數學家劉維的割圓術，就是微分法，由割圓再求和就是積分求和，可以看作是最早的定積分。

經濟相對論580

很高興回答你的問題。

說到微積分，我覺得這是我們接近世界本質，所邁出的第一步。

為什麼這麼說呢？因為，如果數學還停留在算個橫平豎直、矩形三角的面積的話，那麼離應用真的是差太遠了。

數學是什麼？

一個工具，如果說物理是在探究這個世界的一些規律和原理的話，那麼數學就是物理的語言。

如果沒有微積分，這個語言就幾乎失去了價值。這個世界其實沒有那麼多稜角，連隨便一塊石頭，都有風、水和歲月的侵蝕，來把稜角打磨。那麼微積分就是打開了通向這個“圓滑”的世界的大門；除此之外，這個世界還是多變的，雖然說“你不可能踏入同一條河流兩次”這樣的觀點太唯心，但是正是這樣的思想告訴了我們一個道理：

這個世界變化太快。

而微積分給了我們去跟上變化的資本。

萬變不離其宗，你怎麼變，我都可以去積分積出來。

用哲學的角度看：

積分是看到了量變產生的質變。

微分是放大絲毫的變化，讓你不被任何一個“平滑掉”的數據，矇蔽雙眼。

微積分，讓我們有可能看清世界。

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畢竟，我辣麼萌~

不哈韓的小韓

一、早期的微積分的思想

17世紀，微積分成為一門學科，但微積分的思想很早就產生了。

公元前七世紀，古希臘的泰勒斯就對球的面積、體積與長度等問題進行研究。

公元前三世紀，阿基米德寫出著作著作《圓的測量》《論球與圓柱》。

三國時期劉徽，利用割圓術計算圓周率，通過牟合方蓋計算球的體積。

上面的這些例子都蘊涵了微積分的思想。

二、微積分的產生

到了17世紀，有好多科學問題需要解決，促使微積分產生並逐漸成為一門學科，歸結起來有以下四類問題。

1、求即時速度的問題。

2、求曲線的切線問題。

3、函數的最值與極值問題。

4、求曲線的長度、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積及物體的重心。

微積分的創立者一般認為是牛頓和萊布尼茨，下面這個公式被稱為牛頓-萊布尼茨公式。

牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發點是直觀的無窮小量，因此微積分早期也被稱為無窮小分析。牛頓研究微積分，側重於從運動學來考慮。牛頓在1671年寫了《流數術和無窮級數》。書中指出，變量是點、線、面的運動產生的。連續變量叫做流動量，這些流動量的導數叫做流數。牛頓在《流數術》中的中心問題是已知連續運動的路程，求給定的時刻的速度；已知運動的速度，求給定時間內經過的路程。

萊布尼茨側重於幾何學來考慮。萊布尼茨在1684年發表了《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用於分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》，這篇文章被認為是最早的微積分文獻。現在微積分中通用的符號就是萊布尼茨創建的。

三、第二次數學危機

在微積分廣泛應用的同時，關於微積分基礎的問題也越來越凸顯出來。無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此直接引發第二次數學危機。

直到19世紀20年代。一些數學家才比較關注微積分的嚴格基礎。從波爾查諾，阿貝爾，柯西、狄裡赫利等人的工作開始，直到威爾斯特拉斯、狄德金和康託的工作結束。中間經歷了50多年。基本上解決了矛盾，建立了公理化體系，為數學分析奠定了嚴格的基礎。

關鍵字: 積分 數學 科學