【分析方法導引】
當幾何問題中，出現了角平分線和向角平分線所作的垂線的時候，就要想到可應用等腰三角形中重要線段的基本圖形進行證明。
若角平分線的垂線沒有過角的頂點時，可直接將角平分線的垂線延長到與角的兩邊相交，構成等腰三角形中重要線段的基本圖形，然後再應用一次軸對稱型全等三角形來完成分析。
若角平分線的垂線經過角的頂點時，則應將角平分線的垂線平行移動，使它離開角的頂點，然後再與角的兩邊相交構成等腰三角形中的重要線段的基本圖形。
例9 如圖3-143，已知：△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，F是DB上的一點，且DF=AE，AG是角平分線，FH⊥AG，垂足是H且交BC於M。求證：BM=CM。
圖3-143
分析：本題的條件中出現了AG是角平分線和FH⊥AG是向角平分線所作的垂線，就必定構成一個等腰三角形的基本圖形。由於這個等腰三角形應是由角平分線的垂線和角的兩邊相交得到的，所以延長FH交AC的延長線於K，即可得△AFH≌△AKH，AF=AK（如圖3-144）。由條件給出DF=AE，就可推得AD=AF-DF=AK-AE=EK，而已知AD=BD=BF+DF，所以BF=BD-DF=EK-DF=EK-AE=EK-CE=CK。
圖3-144
本題要證明的結論是BM=CM，而BC、FK又在M點相交，這樣就出現了BM和CM這兩條要證明的相等線段是位於一組對頂角的兩邊且成一直線，所以可添加中心對稱型全等三角形進行證明。添加的方法是過端點作平行線，於是過C作CN∥FB交FK於N，可得△BFM和△CNM必定全等（如圖3-145）。而在這兩個三角形中，已經出現的條件是∠FMB=∠NMC，∠FBM=∠NCM，而BM=CM是要證明的結論不能用，所以必定要另找一組邊對應相等的條件。由於我們已經證明BF=CK，所以問題就應證明與這一性質有關的對應邊相等，也就是要證明BF=CN，從而又可進一步轉化為要證CN=CK，但由CN∥AF，可得△KCN∽△KAF，而我們已證AF=AK，所以CN=CK可以證明。
圖3-145
例10 如圖3-146，已知：△ABC中，AD是角平分線，CE⊥AD，BF⊥AD，垂足分別為E、F，G是BC的中點。求證：GE=GF=1/2（AB-AC）。
圖3-146
分析：本題條件中出現了AD是角平分線和CE⊥AD，就構成了角平分線和向角平分線所作垂線之間的組合關係，從而就必定得到一個等腰三角形的基本圖形，由於這個等腰三角形應是由角平分線的垂線和角的兩邊相交得到的，而現在這條CE尚未與角的一邊AB相交，所以應將它們延長到相交，也就是延長CE交AB於M（如圖3-147），就可得△AME≌△ACE，AM=AC，ME=CE。
圖3-147
現在由ME=CK可知E是CM的中點，而已知G是BC的中點，出現了兩個中點，是多箇中點問題，從而就可應用三角形中位線的基本圖形的性質進行證明。由於E、G這兩個中點所在的線段CM、CB有公共的端點C，可以組成△CMB，所以GE就是△CMB的中位線，從而可推得EG=1/2BM=1/2（AB-AM）=1/2（AB-AC）。（如圖3-148）
圖3-148
對於AD是角平分線和BF⊥AD的條件我們可以用同樣的方法進行分析，由此也就可得延長BF交AC的延長線於N，BF=FN，AB=AN和GF=1/2CN=1/2（AB-AC），分析就可以完成（如圖3-149）。
圖3-149
閱讀更多 上海莘越 的文章
