用矢量叉積法對陀螺進動方程的推導及其分析

陀螺進動方程：Ωω=gl/r²

摘要 ：陀螺運動是剛體力學的重要組成部分，它在實際運用和物理探索中也佔有極其重要位置，因此，研究陀螺運動，瞭解陀螺進動方程推導及其物理意義很有必要，這對拓展陀螺運動方程應用與探討很有幫助。

但縱觀現代教科書，關於陀螺進動方程推導都是採用矢量叉積法予以推理的，這種推理存在“循環印證”之嫌，也不能讓人真正瞭解陀螺進動方程形成的物理機制；為此，本文從教科書出發，介紹了陀螺進動方程的推導過程，分析了這些推導中存在的“誤區”，並對動量矩、角動量及歐拉方程作了比較與分析，得出用用歐拉旋轉座標法推導陀螺進動方程要比矢量叉積法優越的多，這為以後探究陀螺進動方程的物理意義打下基礎。

關鍵詞：角動量量矢量叉積旋轉座標陀螺進動方程

中圖分類號： 0441 文獻標識碼：A

0、引言

矢量叉積又稱向量積，是一種在向量空間中向量的二元運算；與點積不同，它的運算結果是一個偽向量而不是一個標量，並且兩個向量的叉積與這兩個向量都垂直，如圖-1所示。

圖-1

其運算公式（a，b和c粗體字，表示向量）為：a×b=c,其中|c|=|a||b|·sinθ，c的方向遵守右手定則，如圖-2所示。

圖-2

其幾何意義為：c是垂直a、b所在平面，且以|b|·sinθ為高、|a|為底的平行四邊形的面積，如圖-3所示。

圖-3

矢量叉積理論從嚴格意義上來講，它即不屬於數學，也不屬於物理學，是一門獨特的人為制定的、專門對付像陀螺運動類型的遊戲規則，它即沒有數學上的邏輯一致性，也體現不了物理學中物體運動的物理機制，矢量叉積運算如圖-4所示。

圖-4

縱觀陀螺運動方程的研究歷史，我們不難發現：眾多教科書卻都是用矢量叉積來推導陀螺進動方程，但這只是叉積推演，並沒有真正從陀螺進動形成的物理機制上給以明晰論述。

我們查了很多關於陀螺進動方程推導的資料，包括歐拉給出的運動、動力學方程組等，總覺還是沒有真正解決陀螺進動形成的物理機制問題。

那麼，造成對陀螺進動物理機制研究研究陷入困境的主要原因是什麼呢？

瑞士數學家.物理學家-歐拉

我們認為：物理學開始研究陀螺進動的思路和方法可能有問題：以歐拉為代表，他開始就將陀螺進動研究過放在座標旋轉的思路上，將一個座標系固定作參考系，另一個則相當於這個固定座標系旋轉，從本質上講，這不是從物理而是從數學概念為出發點的一種描述形式，他曾沒有從物理最高原則—「動量、能量守恆」上去思考和研究陀螺進動問題；當人們“發明”了矢量法則後，他們的研究思路就都集中在了矢量叉積上；從現代陀螺理論整體來看，用動量、能量守恆來研究陀螺進動問題則少之又少。

歐拉的旋轉座標系

為什麼人們會拋棄用動量、能量守恆去研究陀螺運動問題呢？

我們認為其主要原因是：我們的動能、動量概念都是建立在質點基礎之上的，依照現行的剛體理論，陀螺自旋與進動問題須牽扯到空間r的變化，這無法與質點概念相融合，故人們不得不拋棄用動量、能量守恆去研究陀螺進動問題。

1、用矢量叉積法對陀螺進動方程的推導

歐拉的旋轉座標理論及後來的矢量叉積理論都不可能從根本上闡明陀螺進動形成的物理機制問題，也就是說，這些理論與“格物”思想融合得不是很好，其中存在一些不足和缺陷，為什麼這麼說？

下面我轉錄了二本影響力很大的教材，看看他們是如何推導陀螺進動方程的？從中我們或許可以得到一些有益的啟迪：

1.1、趙凱華、羅蔚茵著《力學》，高等教育出版社，1995年7月第1版，P201~202.

趙凱華、羅蔚茵著《力學》

陀螺儀的另一重要特性，是它受到外力矩作用時所產生的迴轉效應。圖4－53所示為一槓杆陀螺儀，杆AB可繞光滑支點O在水平面內自由轉動，也可偏離水平方向而傾斜。陀螺儀G和平衡重物W置於杆的兩端，若調至平衡，杆AB是水平的。當陀螺儀不轉動時，若移動W使之偏離平衡位置，杆就會傾斜。現在先調至平衡，並讓陀螺儀G繞自身的轉軸高速旋轉起來，此後再移動W．我們會發現，此時杆並不傾斜，而是在水平面內繞鉛直軸O′O″緩慢地旋轉起來。陀螺儀自轉軸的這種轉動，叫做進動（precession）。陀螺儀在外力矩作用下產生進動的效應，叫做迴轉效應。

當陀螺儀的自轉軸正在進動的時候，若我們加一水平力於槓桿之上，企圖加速它的進動，結果槓桿又出乎意料地向下偏轉。就這樣，給陀螺儀鉛直方向的力會使它沿水平方向運動，而給水平方向的力卻使它沿鉛直方向運動。陀螺儀的這種“不聽話”的運動規律，需要利用角動量和力矩的矢量性來說明。

按定義，力矩M等於角動量J的變化率，角動量的增量ΔJ等於力矩的衝量（衝量矩）MΔt：ΔJ=MΔt.

此外，陀螺儀是一個繞自轉軸轉動慣量I很大的軸對稱剛體，我們可近似地認為其角動量與角速度都沿自轉軸方向，並可寫成J＝Iω．設陀螺儀繞自轉軸高速旋轉的角動量為J0＝Iω0，方向沿AB．使槓桿失去平衡後，其重力矩M是沿OC方向的（見圖4－53，在水平面內與AB垂直），在時間間隔Δt內它的衝量矩MΔt產生同一方向的角動量增量ΔJ，在這段時間后角動量變為J＝J0+ΔJ．根據矢量的平行四邊形合成法則（見圖4-53，J仍在水平面內，但其方向繞鉛直軸O′O″轉過一個角度Δφ（對於俯視的觀察者，轉動是順時針的）。這就是說，陀螺儀自轉軸產生了沿此方向的進動。由於ΔJ＝JΔφ=IωΔφ，按上式，進動角速度為

Ω=△φ/△t=M/Iω. （4.57）

讀者以同樣的道理去解釋，為什麼當我們企圖加速陀螺儀的進動時，它卻向上跑去。

迴轉效應對我們來說並不陌生。小孩玩的陀螺就是繞自轉軸轉動慣量較大的軸對稱物體，當它繞自轉軸旋轉的時候，在重力矩的作用下，它並不倒下來，而是其自轉軸繞鉛直方向進動，維持自轉軸與鉛直方向間的夾角θ不變（見圖4-54）。

1.2、【美】Richard P.Olenick,Tom M.Apostol,David L.Goodstein 著《力學世界》；李椿、陶如玉譯北京大學出版社 2002年2月第1版 P316~318

早些時候我們把進動描寫為角動量矢量L的轉動，如圖24.14所示，由於重力引力的恆定力矩，迴轉儀以某個進動角速度Ω進動。考慮在時間t和t+△t時的角動量矢量，如圖24.14所示。

圖24.14 迴轉儀的進動

角動量矢量變化的大小|△L|為|△L|=（Lsinθ）△φ, 其中△φ是L尖端在時間△t內移動的角度，θ是L荷進動軸之間的角度，Lsinθ是L的尖端掃出來的圓的半徑。因此，|△L|∕△t= Lsinθ△φ∕dt，取△t→0的極限，得到角動量矢量大小的變化率為

這個矢量的方向垂直於L，並且在任何時候都正切於L的尖端所掃過的那個圓.

dφ/dt這個量是角動量矢量的進動速率，也是我們稱之為進動角速度Ω的大小.這個矢量的方向沿著轉動軸，用右手的手指握住進動的角動量矢量的方向，那麼拇指就指向Ω方向.

像上面那樣確定了Ω的方向後，就看到Ω和L之間的角度為θ.還有，方程（24.1）指出∣dL/dt∣=∣Ω×L∣.這提醒我們可以把dL/dt寫成矢量的叉積：dL/dt=Ω×L.

這很容易證明，因為dL/dt既垂直於Ω又垂直於L，並且在任何時候都正切於L的尖端掃出的圓.因此，矢量dL/d與Ω×L有相同的長度和相同的方向，由於力矩等於角動量的變化率，所以描述迴轉儀進動的方程為：τ=dL/dt=Ω×L.

有時把它稱為迴轉儀方程.

一個好的迴轉儀應當是漂移儘可能小的，或者說是儘可能慢的.因此，希望Ω儘可能小.從圖24.14看到由重力產生的繞支點的力矩為：τ=R×Mg，其中R是從支點到質心的矢量，M是輪子的質量.力矩的大小為：τ=MgRsinθ.

如前面看到的，dL/d的大小是∣dL/dt∣=Ω×Lsinθ. 這兩個表示式是相等的，這樣就可以解出角動量的大小Ω=MgR/L.

可以用自行車輪子迴轉儀的質量、半徑和角速度來表示它的角動量.想象輪子是一個質量為M的環邊，繞著它的中心轉動，每個小塊的質量都繞著半徑r的圓周運動，對角動量的貢獻為r×p.每一小片輪子的r×p都是指向軸的矢量，如圖24.15所示.

圖24.15轉動輪，角動量為L=Mr²ω

每個小塊的角動量都在同一方向，可以相加起來，結果輪子的角動量就是輪子的總質量乘上邊緣的速度再乘上半徑r：L=Mvr².可以把輪子上任意點的速度寫成v=rω，其中ω是轉動輪角速度，角動量可以寫成L=Mr²ω.

因此，可以把理想化的迴轉儀的進動率表示為：Ω=gR/ωr².

如果想使Ω儘量小，可以讓ω儘可能地大，即讓迴轉儀自旋得非常快.或者也可以讓r變得非常大，即把質量集中在儘可能遠離轉動軸的地方.減小Ω的另外一個辦法是讓支點到質心的距離R儘可能地小.

2、對矢量叉積法推導陀螺進動方程的的分析與解讀

仔細閱讀上述二本教材內容，我們會發現，在對待△J=M△t或dL=Mdt如何得來的問題上，他們都作了迴避處理；同樣，在△J=J△φ或dJ/dt=JΩ的推導上，都是使用矢量叉積，沒有運用動量、能量守恆，試想整個物理學都是建立在動量、能量守恆之上的，上述推導卻拋棄了這一基石，只一味強調矢量叉積運用，能不讓人產生費解嗎？

2.1、對△J=M△t、dL=Mdt含義的分析

在趙凱華、羅蔚茵《力學》P164中，質點組角動量定理ΔJ=MΔt，是用“定義”給出的，即是說這個角動量定理帶有公設性，不是由什麼物理原推來的：

“一對質點在相互作用中不但傳遞著動量，也傳遞著角動量。用角動量來表達就是dJ1=-dJ2，因為在單位時間內兩質點間交換的角動量為dJ1/dt=-dJ2/dt，我們定義，質點2給質點1的力矩M12為單位時間內質點2傳遞給質點1的角動量：.

反之，與此同時質點1給質點2的力矩M21為單位時間內質點1傳遞給質點2的角動量：.

由dJ1/dt=-dJ2/dt，則有M12=M21”。

這說明力矩等於質點角動量隨時間的變化率。

那麼，我們如何從基本物理原理上認識質點組角動量定理呢？

牛頓力學建立之初，為了說明力與時間的變化關係，給出了一個衝量概念，即F△t=m△v（這裡F∥v），其實就是F=ma的另一種描述，其中a=△v/△t，如圖-5所示。

圖-5

如果我們將F△t=m△v二邊都乘以R（這裡定義R⊥F、F∥v），則得FR△t=m△vR，這樣就有M△t=△J，即M=△J/△t=dJ/dt.

如圖-6，我們用自行車輪子作實驗，當在輪子邊緣施加一個力矩FR時，輪子旋轉產生的角動量就是mvR，但這種認識方式只適用於薄圓環物體或將轉動物體當作是質點來對待才成立。

圖-6 ................................圖-7

對於像圖-7不是超薄圓環的物體則就不能用超薄圓環或牛頓質點思想來解決，為此，須引入一個轉動慣量Ic，這是一個與空間R有關的量，這種解決思路就不是建立在質點概念之上的了—要想將它的轉動建立在質點概念之上，就必須另謀它法，具體論述請參閱司今《關於陀螺運動及其研究方法的探討——陀螺進動中動量、動能守恆之分析》一文。

2.2、對△J=J△φ、dJ/dt=JΩ含義的解讀

歐拉在研究陀螺運動時是將陀螺進動分為二個方面來考慮的，具體說就是：

（1）陀螺進動時的姿態變化描述，他用剛體運動學方程來表示：

（2）陀螺進動時的力矩變化描述，他用剛體動力學方程來表示：

也就是說，歐拉在對待陀螺進動問題上，使用了二個不同的“座標系”，分別代表如圖-8所示的空間座標極面和本體座標極面（具體可閱讀本博客：《歐拉的陀螺運動方程》）；而歐拉的空間極面上反映的是用極座標系表示陀螺進動時空間姿態的變化規則，本體極面則反映的是用笛卡爾座標系表示的陀螺自旋、進動與力矩變化關係。

圖-8歐拉定點進動極面 ...圖-9矢量叉積定點進動座標

今天，我們教科書拋棄了這種研究思路，將陀螺進動的姿態和力矩變化都雜揉到一個座標系中，如圖-9所示，結果就造成了人們對不同極面認識上的混亂，這就使陀螺運動方程的推導表現出“參考面”的混亂性（也就是座標系的混亂性），特別是矢量叉積的引入更增添了這種混亂度；在對待△J=J△φ的推導和解讀上，完全沒有考慮陀螺進動的物理機制問題，竟玩起了純“矢量叉積”規則遊戲。

為了看懂教科書中用矢量叉積推導陀螺進動方程的真正內涵，我們可以將圖-5放到柱座標系上來考察。

如圖-10所示，進動著的陀螺自旋角動量為J₁，且J₁=Icω，它在柱座標上的投影為J₁sinθ，它從t0到t時間內轉動φ弧度，則它在△t時間內掃過的面積是S₁=J₁sinθφ/2，其中φ=Ω△t，則有S₁= J₁sinθΩ△t /2.

圖-10

而從自旋陀螺質心運動情況來看，質心m掃過的面積是S₂=mRφ/2，這裡φ=v△t，則有S₂=mvR△t/2（這裡mvR是陀螺質心質量進動角動量，稱為J₂）；按二本教材的推導思路，這裡就必須假定S₁=J₁sinθΩ△t /2與S₂=mRφ/2二個弧三角形面積相等才有J₁sinθΩ△t /2= mvR△t/2成立，即J₁sinθΩ=mvR=J₂，J₂=J₁sinθ·Ω，用微分表示就是：

△J₂=△φ或dJ/dt=J₁Ω.

可見，矢量叉積法是將陀螺質心進動角動量J₂=mvR看作是由陀螺自旋角動量分量J₁sinθ轉化而來的。

由於J₁=Icω，R=Lsinθ，由此可得拉格朗日陀螺進動方程：

Ω=M/Icω或Ωω=gL/r²（這裡Ic=mr²，r是陀螺自旋半徑）。

通過分析，我們可以看出，歐拉採用二個分別獨立的方程組（即二個極面）來推導陀螺進動方程要比用矢量叉積推導要清晰、合理得多，至少他不會出現“二個弧三角形面積相等”這一“讓人困惑”的假定命題。

3、小結

不論是歐拉旋轉座標法還是目前矢量叉積法，都只是從“數學”層面對陀螺進動的解讀，沒有融入動量、動能等物理要素進行論述，因此，我們從中很難領悟到陀螺進動的物理真諦；那麼，我們該如何從“格物”意義上解讀陀螺進動現象呢？