用矢量叉积法对陀螺进动方程的推导及其分析

司 今（[email protected]）

陀螺进动方程：Ωω=gl/r²

摘 要 ：陀螺运动是刚体力学的重要组成部分，它在实际运用和物理探索中也占有极其重要位置，因此，研究陀螺运动，了解陀螺进动方程推导及其物理意义很有必要，这对拓展陀螺运动方程应用与探讨很有帮助。

但纵观现代教科书，关于陀螺进动方程推导都是采用矢量叉积法予以推理的，这种推理存在“循环印证”之嫌，也不能让人真正了解陀螺进动方程形成的物理机制；为此，本文从教科书出发，介绍了陀螺进动方程的推导过程，分析了这些推导中存在的“误区”，并对动量矩、角动量及欧拉方程作了比较与分析，得出用用欧拉旋转坐标法推导陀螺进动方程要比矢量叉积法优越的多，这为以后探究陀螺进动方程的物理意义打下基础。

关键词：角动量 量矢量叉积 旋转坐标 陀螺进动方程

中图分类号： 0441 文献标识码：A

0、引言

矢量叉积又称向量积，是一种在向量空间中向量的二元运算；与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量，并且两个向量的叉积与这两个向量都垂直，如图-1所示。

图-1

其运算公式（a，b和c粗体字，表示向量）为：a×b=c,其中|c|=|a||b|·sinθ，c的方向遵守右手定则，如图-2所示。

图-2

其几何意义为：c是垂直a、b所在平面，且以|b|·sinθ为高、|a|为底的平行四边形的面积，如图-3所示。

图-3

矢量叉积理论从严格意义上来讲，它即不属于数学，也不属于物理学，是一门独特的人为制定的、专门对付像陀螺运动类型的游戏规则，它即没有数学上的逻辑一致性，也体现不了物理学中物体运动的物理机制，矢量叉积运算如图-4所示。

图-4

纵观陀螺运动方程的研究历史，我们不难发现：众多教科书却都是用矢量叉积来推导陀螺进动方程，但这只是叉积推演，并没有真正从陀螺进动形成的物理机制上给以明晰论述。

我们查了很多关于陀螺进动方程推导的资料，包括欧拉给出的运动、动力学方程组等，总觉还是没有真正解决陀螺进动形成的物理机制问题。

那么，造成对陀螺进动物理机制研究研究陷入困境的主要原因是什么呢？

瑞士数学家.物理学家-欧拉

我们认为：物理学开始研究陀螺进动的思路和方法可能有问题：以欧拉为代表，他开始就将陀螺进动研究过放在坐标旋转的思路上，将一个坐标系固定作参考系，另一个则相当于这个固定坐标系旋转，从本质上讲，这不是从物理而是从数学概念为出发点的一种描述形式，他曾没有从物理最高原则—「动量、能量守恒」上去思考和研究陀螺进动问题；当人们“发明”了矢量法则后，他们的研究思路就都集中在了矢量叉积上；从现代陀螺理论整体来看，用动量、能量守恒来研究陀螺进动问题则少之又少。

欧拉的旋转坐标系

为什么人们会抛弃用动量、能量守恒去研究陀螺运动问题呢？

我们认为其主要原因是：我们的动能、动量概念都是建立在质点基础之上的，依照现行的刚体理论，陀螺自旋与进动问题须牵扯到空间r的变化，这无法与质点概念相融合，故人们不得不抛弃用动量、能量守恒去研究陀螺进动问题。

1、用矢量叉积法对陀螺进动方程的推导

欧拉的旋转坐标理论及后来的矢量叉积理论都不可能从根本上阐明陀螺进动形成的物理机制问题，也就是说，这些理论与“格物”思想融合得不是很好，其中存在一些不足和缺陷，为什么这么说？

下面我转录了二本影响力很大的教材，看看他们是如何推导陀螺进动方程的？从中我们或许可以得到一些有益的启迪：

1.1、赵凯华、罗蔚茵著《力学》，高等教育出版社，1995年7月 第1版，P201~202.

赵凯华、罗蔚茵著《力学》

陀螺仪的另一重要特性，是它受到外力矩作用时所产生的回转效应。图4－53所示为一杠杆陀螺仪，杆AB可绕光滑支点O在水平面内自由转动，也可偏离水平方向而倾斜。陀螺仪G和平衡重物W置于杆的两端，若调至平衡，杆AB是水平的。当陀螺仪不转动时，若移动W使之偏离平衡位置，杆就会倾斜。现在先调至平衡，并让陀螺仪G绕自身的转轴高速旋转起来，此后再移动W．我们会发现，此时杆并不倾斜，而是在水平面内绕铅直轴O′O″缓慢地旋转起来。陀螺仪自转轴的这种转动，叫做进动（precession）。陀螺仪在外力矩作用下产生进动的效应，叫做回转效应。

当陀螺仪的自转轴正在进动的时候，若我们加一水平力于杠杆之上，企图加速它的进动，结果杠杆又出乎意料地向下偏转。就这样，给陀螺仪铅直方向的力会使它沿水平方向运动，而给水平方向的力却使它沿铅直方向运动。陀螺仪的这种“不听话”的运动规律，需要利用角动量和力矩的矢量性来说明。

按定义，力矩M等于角动量J的变化率，角动量的增量ΔJ等于力矩的冲量（冲量矩）MΔt：ΔJ=MΔt.

此外，陀螺仪是一个绕自转轴转动惯量I很大的轴对称刚体，我们可近似地认为其角动量与角速度都沿自转轴方向，并可写成J＝Iω．设陀螺仪绕自转轴高速旋转的角动量为J0＝Iω0，方向沿AB．使杠杆失去平衡后，其重力矩M是沿OC方向的（见图4－53，在水平面内与AB垂直），在时间间隔Δt内它的冲量矩MΔt产生同一方向的角动量增量ΔJ，在这段时间后角动量变为J＝J0+ΔJ．根据矢量的平行四边形合成法则（见图4-53，J仍在水平面内，但其方向绕铅直轴O′O″转过一个角度Δφ（对于俯视的观察者，转动是顺时针的）。这就是说，陀螺仪自转轴产生了沿此方向的进动。由于ΔJ＝JΔφ=IωΔφ，按上式，进动角速度为

Ω=△φ/△t=M/Iω. （4.57）

读者以同样的道理去解释，为什么当我们企图加速陀螺仪的进动时，它却向上跑去。

回转效应对我们来说并不陌生。小孩玩的陀螺就是绕自转轴转动惯量较大的轴对称物体，当它绕自转轴旋转的时候，在重力矩的作用下，它并不倒下来，而是其自转轴绕铅直方向进动，维持自转轴与铅直方向间的夹角θ不变（见图4-54）。

1.2、【美】Richard P.Olenick,Tom M.Apostol,David L.Goodstein 著《力学世界》；李椿、陶如玉 译 北京大学出版社 2002年2月第1版 P316~318

早些时候我们把进动描写为角动量矢量L的转动，如图24.14所示，由于重力引力的恒定力矩，回转仪以某个进动角速度Ω进动。考虑在时间t和t+△t时的角动量矢量，如图24.14所示。

图24.14 回转仪的进动

角动量矢量变化的大小|△L|为|△L|=（Lsinθ）△φ, 其中△φ是L尖端在时间△t内移动的角度，θ是L荷进动轴之间的角度，Lsinθ是L的尖端扫出来的圆的半径。因此，|△L|∕△t= Lsinθ△φ∕dt，取△t→0的极限，得到角动量矢量大小的变化率为

这个矢量的方向垂直于L，并且在任何时候都正切于L的尖端所扫过的那个圆.

dφ/dt这个量是角动量矢量的进动速率，也是我们称之为进动角速度Ω的大小.这个矢量的方向沿着转动轴，用右手的手指握住进动的角动量矢量的方向，那么拇指就指向Ω方向.

像上面那样确定了Ω的方向后，就看到Ω和L之间的角度为θ.还有，方程（24.1）指出∣dL/dt∣=∣Ω×L∣.这提醒我们可以把dL/dt写成矢量的叉积：dL/dt=Ω×L.

这很容易证明，因为dL/dt既垂直于Ω又垂直于L，并且在任何时候都正切于L的尖端扫出的圆.因此，矢量dL/d与Ω×L有相同的长度和相同的方向，由于力矩等于角动量的变化率，所以描述回转仪进动的方程为：τ=dL/dt=Ω×L.

有时把它称为回转仪方程.

一个好的回转仪应当是漂移尽可能小的，或者说是尽可能慢的.因此，希望Ω尽可能小.从图24.14看到由重力产生的绕支点的力矩为：τ=R×Mg，其中R是从支点到质心的矢量，M是轮子的质量.力矩的大小为：τ=MgRsinθ.

如前面看到的，dL/d的大小是∣dL/dt∣=Ω×Lsinθ. 这两个表示式是相等的，这样就可以解出角动量的大小Ω=MgR/L.

可以用自行车轮子回转仪的质量、半径和角速度来表示它的角动量.想象轮子是一个质量为M的环边，绕着它的中心转动，每个小块的质量都绕着半径r的圆周运动，对角动量的贡献为r×p.每一小片轮子的r×p都是指向轴的矢量，如图24.15所示.

图24.15转动轮，角动量为L=Mr²ω

每个小块的角动量都在同一方向，可以相加起来，结果轮子的角动量就是轮子的总质量乘上边缘的速度再乘上半径r：L=Mvr².可以把轮子上任意点的速度写成v=rω，其中ω是转动轮角速度，角动量可以写成L=Mr²ω.

因此，可以把理想化的回转仪的进动率表示为：Ω=gR/ωr².

如果想使Ω尽量小，可以让ω尽可能地大，即让回转仪自旋得非常快.或者也可以让r变得非常大，即把质量集中在尽可能远离转动轴的地方.减小Ω的另外一个办法是让支点到质心的距离R尽可能地小.

2、对矢量叉积法推导陀螺进动方程的的分析与解读

仔细阅读上述二本教材内容，我们会发现，在对待△J=M△t或dL=Mdt如何得来的问题上，他们都作了回避处理；同样，在△J=J△φ或dJ/dt=JΩ的推导上，都是使用矢量叉积，没有运用动量、能量守恒，试想整个物理学都是建立在动量、能量守恒之上的，上述推导却抛弃了这一基石，只一味强调矢量叉积运用，能不让人产生费解吗？

在赵凯华、罗蔚茵《力学》P164中，质点组角动量定理ΔJ=MΔt，是用“定义”给出的，即是说这个角动量定理带有公设性，不是由什么物理原推来的：

“一对质点在相互作用中不但传递着动量，也传递着角动量。用角动量来表达就是dJ1=-dJ2，因为在单位时间内两质点间交换的角动量为dJ1/dt=-dJ2/dt，我们定义，质点2给质点1的力矩M12为单位时间内质点2传递给质点1的角动量：.

反之，与此同时质点1给质点2的力矩M21为单位时间内质点1传递给质点2的角动量：.

由dJ1/dt=-dJ2/dt，则有M12=M21”。

这说明力矩等于质点角动量随时间的变化率。

那么，我们如何从基本物理原理上认识质点组角动量定理呢？

牛顿力学建立之初，为了说明力与时间的变化关系，给出了一个冲量概念，即F△t=m△v（这里F∥v），其实就是F=ma的另一种描述，其中a=△v/△t，如图-5所示。

图-5

如果我们将F△t=m△v二边都乘以R（这里定义R⊥F、F∥v），则得FR△t=m△vR，这样就有M△t=△J，即M=△J/△t=dJ/dt.

如图-6，我们用自行车轮子作实验，当在轮子边缘施加一个力矩FR时，轮子旋转产生的角动量就是mvR，但这种认识方式只适用于薄圆环物体或将转动物体当作是质点来对待才成立。

图-6 ................................图-7

对于像图-7不是超薄圆环的物体则就不能用超薄圆环或牛顿质点思想来解决，为此，须引入一个转动惯量Ic，这是一个与空间R有关的量，这种解决思路就不是建立在质点概念之上的了—要想将它的转动建立在质点概念之上，就必须另谋它法，具体论述请参阅司今《关于陀螺运动及其研究方法的探讨——陀螺进动中动量、动能守恒之分析》一文。

2.2、对△J=J△φ、dJ/dt=JΩ含义的解读

欧拉在研究陀螺运动时是将陀螺进动分为二个方面来考虑的，具体说就是：

（1）陀螺进动时的姿态变化描述，他用刚体运动学方程来表示：

（2）陀螺进动时的力矩变化描述，他用刚体动力学方程来表示：

也就是说，欧拉在对待陀螺进动问题上，使用了二个不同的“坐标系”，分别代表如图-8所示的空间坐标极面和本体坐标极面（具体可阅读本博客：《欧拉的陀螺运动方程》）；而欧拉的空间极面上反映的是用极坐标系表示陀螺进动时空间姿态的变化规则，本体极面则反映的是用笛卡尔坐标系表示的陀螺自旋、进动与力矩变化关系。

图-8欧拉定点进动极面 ...图-9矢量叉积定点进动坐标

今天，我们教科书抛弃了这种研究思路，将陀螺进动的姿态和力矩变化都杂揉到一个坐标系中，如图-9所示，结果就造成了人们对不同极面认识上的混乱，这就使陀螺运动方程的推导表现出“参考面”的混乱性（也就是坐标系的混乱性），特别是矢量叉积的引入更增添了这种混乱度；在对待△J=J△φ的推导和解读上，完全没有考虑陀螺进动的物理机制问题，竟玩起了纯“矢量叉积”规则游戏。

为了看懂教科书中用矢量叉积推导陀螺进动方程的真正内涵，我们可以将图-5放到柱坐标系上来考察。

如图-10所示，进动着的陀螺自旋角动量为J₁，且J₁=Icω，它在柱坐标上的投影为J₁sinθ，它从t0到t时间内转动φ弧度，则它在△t时间内扫过的面积是S₁=J₁sinθφ/2，其中φ=Ω△t，则有S₁= J₁sinθΩ△t /2.

图-10

而从自旋陀螺质心运动情况来看，质心m扫过的面积是S₂=mRφ/2，这里φ=v△t，则有S₂=mvR△t/2（这里mvR是陀螺质心质量进动角动量，称为J₂）；按二本教材的推导思路，这里就必须假定S₁=J₁sinθΩ△t /2与S₂=mRφ/2二个弧三角形面积相等才有J₁sinθΩ△t /2= mvR△t/2成立，即J₁sinθΩ=mvR=J₂，J₂=J₁sinθ·Ω，用微分表示就是：

△J₂=△φ或dJ/dt=J₁Ω.

可见，矢量叉积法是将陀螺质心进动角动量J₂=mvR看作是由陀螺自旋角动量分量J₁sinθ转化而来的。

由于J₁=Icω，R=Lsinθ，由此可得拉格朗日陀螺进动方程：

Ω=M/Icω或Ωω=gL/r²（这里Ic=mr²，r是陀螺自旋半径）。

通过分析，我们可以看出，欧拉采用二个分别独立的方程组（即二个极面）来推导陀螺进动方程要比用矢量叉积推导要清晰、合理得多，至少他不会出现“二个弧三角形面积相等”这一“让人困惑”的假定命题。

3、小结

不论是欧拉旋转坐标法还是目前矢量叉积法，都只是从“数学”层面对陀螺进动的解读，没有融入动量、动能等物理要素进行论述，因此，我们从中很难领悟到陀螺进动的物理真谛；那么，我们该如何从“格物”意义上解读陀螺进动现象呢？

抽陀螺：童心不灭，旋转不止

敬请阅读司今《关于陀螺运动及其研究方法的探讨——陀螺运动中转动量、转动能守恒之分析》一文，或许它能够给你一点小小启迪。

1、赵凯华、罗蔚茵著《力学》 ，高等教育出版社，1995年7月 第1版

2、【美】Richard P.Olenick,Tom M.Apostol,David L.Goodstein 著《力学世界》；李椿、陶如玉 译 北京大学出版社 2002年2月第1版

3、《欧拉的陀螺运动方程》，新浪博客：“陀螺---上帝掷出的骰子”

4、[天涯社区.科学论坛] 塞外飞蝗：8711:http://bbs.tianya.cn/post-180-537794-1.shtml