04.05 奥数知识点：立体图形的计算

立体图形的计算

　　在小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下．见下图．

在数学中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来．

例1 下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积．

分析与解答 求这个长方体的表面积，如果一面一面地去数，把结果累计相加可以得到答案，但方法太繁．如果仔细观察，会发现这个立体的上下、左右、前后面的面积分别相等．因此列式为：

　　（9＋8＋7）×2＝48（平方厘米）．

　　答：它的表面积是48平方厘米．

例2 一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米．求这个圆柱体的表面积．

分析 一个圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．解题的关键在于求出底周长．根据条件：高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米，用右图表示，从图中不难看出阴影部分就是圆柱体表面积减少部分，值是12.56平方厘米，所以底面周长C＝12.56÷2＝6.28（厘米）．这个问题解决了，其它问题也就迎刃而解了．

解：底面周长（也是圆柱体的高）：12.56÷2＝6.28（厘米）．

　　侧面积：6.28×6.28＝39.4384（平方厘米）

　　两个底面积（取π＝3.14）：

表面积：39.4384＋6.28＝45.7184（平方厘米）

答：这个圆柱体的表面积是45.7184平方厘米．

例3 一个正方体形状的木块，棱长为1米．若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份，如下图，共得到大大小小的长方体60块，这60块长方体的表面积的和是多少平方米？

分析 如果将60个长方体逐个计算表面积是个很复杂的问题，更何况锯成的小木块长、宽、高都未知使得计算小长方体的表面积成为不可能的事．如果换一个角度考虑问题：每锯一次就得到两个新的切面，这两个面的面积都等于原正方体一个面的面积，也就是，每锯一次表面积增加1＋1＝2平方米，这样只要计算一下锯的总次数就可使问题得到解决．

解：原正方体表面积：1×1×6＝6（平方米），

　　一共锯了多少次：（次数比分的段数少1）

　　（3－1）＋（4－1）＋（5－1）＝9（次），

　　表面积： 6＋2×9＝24（平方米）．

答：60块长方体表面积的和是24平方米．

例4 一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米．瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？

分析 由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的3倍（6÷2）．

　62.172立方厘米＝62.172毫升＝0.062172升．

答：酒精的体积是62．172立方厘米，合0．062172升．

例5 一个稻谷囤，上面是圆锥体，下面是圆柱体（如下图）．圆柱的底面周长是9.42米，高2米，圆锥的高是0.6米．求这个粮囤的体积是多少立方米？

分析 按一般的计算方法，先分别求出锥、柱的体积再把它们合并在一起求出总体积．但我们仔细想一想，如果把圆锥形的稻谷铺平，把它变成圆

解：圆锥体化为圆柱体的高：

　　底面积：

体积：7.065×（2＋0.2）＝15.543（立方米）．

答：粮囤的体积是15.543立方米．

例6 皮球掉在一个盛有水的圆柱形水桶中．皮球的直径为12厘米，水桶底面直径为 60厘米．皮球有 2/3的体积浸在水中（下图）．问皮球掉进水中后，水桶的水面升高多少厘米？

分析 皮球掉进水中后排挤出一部分水，使水面升高．这部分水的体积的大小等于皮球浸在水中部分的体积，再用这个体积除以圆柱形水桶底面积，就得到水面升高的高度．

解：球的体积：

　＝288π（立方厘米）．

水桶的底面积：π×302＝900π（平方厘米）．

例7 下图所示为一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，求剩下的体积是原正方体的百分之几？（保留一位小数）．

分析 直圆锥底面直径是正方体的棱长，高与棱长相等．

剩下体积等于原正方体体积减去直圆锥体积．

解：正方体体积：63＝216（立方厘米）．

　　　　　　　　＝56.52（立方厘米）．

　　剩下体积占正方体的百分之几．

　　（216－56.52）÷216≈0.738≈73.8％．

答：剩下体积占正方体体积的73.8％．

例8 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如下图．圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米．如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？

分析 解题时，既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面，同时还要注意到零件的底面是圆环．由于打孔的深度与柱体的长度不相同，所以在孔内还要有一个小圆的底面需要涂油漆，这一点不能忽略．但是，我们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆，即原圆柱体的底面．

解：涂漆面积：

　　＝3.14×（18＋60＋20）

　　＝3.14×98＝307.72（平方厘米）．